贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高二下学期教学质量监测（四）数学试卷

高二数学试卷 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第「卷第1页至第2 页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120 分钟 第1卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效， 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知命题p:3x>号，amx->0,则命题p的否定是 A.Vxs 3,tanx-x>0 B.Vx> 3,tanx-xs0 C.3x≤号，a->0 D.anx-o 2.曲线y=sinx+cosx在x=T处切线的倾斜角为 A.0 B牙 C.” D.3n 4 3.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之 粟五斗，羊主日：“我羊食半马.”马主日：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思 是“现有羊、马、牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗 粟。羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半.”马主人说：“我的马所吃数是牛 吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？ 1 6 4.(x+y)(x-2y)的展开式中x'y2的系数是 A.48 B.-48 C.72 D.-72 高二数学·第1页（共4页） 5.小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个， 骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的 排法共有()种。 A.48 B.72 C.216 D.432 6.已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,内角A,B,C为等差数列， 若AC边上的中线长为√3，且△ABC的面积为√3，则b的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知点P在函数f(x)=2lx-x+2的图象上，点Q在直线l:x-y+3=0上，记M= 1PQ2,则 A.当M取最小值时，点Q的横坐标为-1 B.当M取最小时，点Q的横坐标为1 C.当M取最小值时，点Q的横坐标为2 D.当M取最小时，点Q的横坐标为2 8.已知a= 32-n3）,b= 1 e2 4，c=。,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是 A.设已知随机变量X,Y满足Y=3X-1,E(Y)=5,则E(X)=2 B.若X10,,则D(X)=2 C.若X-N(2,2),设P(X≥1)=0.6，则P(X≥3)=0.4 D.若事件A,B相互独立且0<P(B)<1,则P(AB)=P(AB)=P(A) 10.已知函数f(x)=e+alnx,下列说法中正确的是 A.对于任意a>0,函数f(x)在定义域上是单调递减函数 B.对于任意a<0,函数(x)存在最小值 C.存在a>0,使得对于任意x∈(0，+∞)都有f代x)>0恒成立 D.存在a<0,使得八x)在定义域上有两个零点 11.已知A,B为两个随机事件，A,B分别为其对立事件，则下列说法正确的是 若P(A)=子代B)=则PAUB)=子 B若P4)=行PB=子代BA=子，则PB) 8 C若代4=子rAB=PBA=石则PB=号 D.若P(A)=2PdB)=PAB)=,则P(B)= 3 高二数学·第2页（共4页） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分）】 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.某社团有3名女生、4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用X表示选到男 生的人数，则X≥1的概率是 13.若x0=a+a1(x+1)'+a2(x+1)2+…+ao(x+1)",则a1+a+a5+a2+a,= (用数字作答) 14.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(3)=-5e,2(x)-f'(x)<2e,则不等式f(lnx) ≤x2-2x21nx的解集为 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）》 15.(本小题满分13分) 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导 数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回 (1)求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的 概率； (2)求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率； (3)求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线” 试题的概率. 16.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C1中，底面ABC是边长为6的正三角形，O是△ABC的 重心，∠C,CA=∠C,CB,∠C,C0=60°，M,=43. (1)证明：C,O⊥平面ABC; (2)求二面角A-CC,-B的正弦值 高二数学·第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9 年，某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在 贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩￡近似服从正态分布 N(77,2),且P(77≤E≤80)=0.3. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数： (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高， 现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量 X,求X的分布列和数学期望 18.(本小题满分17分) 已知圆：r+y-4+3=0的圆心为椭圆G:。疗1(ab>0)的右焦点F,且椭圆C 25 的离心率为 (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点F且不与x轴重合的直线I交椭圆C于A,B两点，N为AB的中点，O为 坐标原点，分别过A,B作椭圆C的切线，两切线相交于点M ()求证：O,M,N三点共线： (i)当1不与x轴垂直时，求AB:FM四 的最小值 FN 19.(本小题满分17分)》 设'(x)是函数f八x)的导函数，若f'(x)可导，则称函数f'(x)的导函数为f八x)的二 阶导函数，记为"(x).若”(x)有变号零点x=x,则称点(x,f(x))为曲线y= (x)的“拐点” (1)研究发现，任意三次函数f(x)=ax+bx2+x+d(a≠0)，曲线y=f八x)都有“拐 点”，且该“拐点”也是函数y=f八x)的图象的对称中心.已知函数f(x)=x+bx-24x +d的图象的对称中心为(1,3)，求函数(x)的解析式，并讨论f八x)的单调性： (2)已知函数g(x)=+-r4,x-,2 m 6 2m3m-l(m>0). (i)求曲线y=g(x)的“拐点”； .2 (i)若g(x)+g(x2)=-2(x1≠2)，求证：x1+x2< m 高二数学·第4页（共4页）2022级高二年级教学质量监测卷（四) 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 6 7 8 答案 B D c D D C 【解析】 1.命题m3r>子amr-r>0的否定是x>元 anr-≤0，故选B. 2.因为y=cosx-s血x,所以曲线在x=交处的切线的斜率为k=-1,所以倾斜角为3弧，故 选D. 3.由题意，设羊主人应赔偿a斗，则马主人应赔偿2a,斗，牛主人应赔偿4a斗，由题意 +2a+4=7a=5,所以a=号，所以马主人应赔偿2a-9斗，故选C. 4.由题意(x+y(x-2y)°的展开式中，xy2的系数等于C2(-2)+C(-2)=48,故选A. 5.由题意，应将同种类型的纪念品先有序捆绑，在整体排序，所以不同的排法共有 AAAA=432种，故选D. 6,设AC中点为M,所以2BM=BA+BC,由题意，|BM=√5，所以 (BA+BC)2=4BM=12,即a2+c2+2 accos B=12,又因为内角A,B,C成等差数列， 所以8-号所以d+e+ac=2,又因为5方csnB=5e=5,所以ac=4 a2+c2=8,由余弦定理，b2=a2+c2-2 accos B=4,所以b=2,故选A. 7.由题意，当M最小时，函数f(x)=2nx-x+2在P点处的切线平行于直线1，过P点作直 线/的垂线，垂足即为点Q.设P的坐标为(2nx-+2),因为f)=2-1,所以 ∫化)=2-1=1，解得x=1,即P点的坐标为山)，所以过P点，且与直线1垂直的直 线方程为x+y-2=0,联立方程r+y-2=0, 故选D. x-y+3=0, 解得Q的坐标为 高二数学参考容案·第1页（共9页） 8令函数-华，则/-1c>0,所以函数心在@o)上单调递增，又因为 e a=- b=n4.n2=f2,c=-ne=je,而2<g<e,所以b<a<c, 42 ee 3 3 故选C, 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ACD BD BCD 【解析】 9.因为Em=3()-1,所以E)=B-2,A正痛：因为X-80号》所以 3 兮×号号B错误：因为XN2.),所以PX≥)=PK=1-PX DK)=10x'x48 =O4,C正确：因为B相互独立，所以PA1B)=P4B)-PPB=PA,PA= P(B)P(B) PAB_P-PAB)_P)-P0PB=P),D正确，故选ACD. P(B) P(B) 1-P(B) 10.因为f)=c+alnr,所以f)=c+C(x>0).当a>0时，f)=e+2>0,函数f) 在(0，+o)上单调递增，A错误；又因为当a>0,x→0时，f(x)→-o,C错误：当a<0 时，显然f)=e+日在(0，+四)上单调递增，且当x→0时，f八)→-0，当x→+∞时， ∫'x)→+0，所以存在x∈(0，+o),使得函数f(x)在(0，x)上单调递减，在(x,+o)上 单调递增，所以函数f(x)有最小值，B正确：又因为当a<0时，当x→0时，f(x)→+0， 当x→+0时，f(x)→+0，所以只需要函数f(x)的最小值小于0，函数f(x)就有两个零 点，D正确，故选BD. I1,4UB)=+PB)-P4),A错误：因为0=写PB)=,所以 21 =80=O所以P81面--8-p- ，B正确： P(A)1-P(A) 18 1- 5 高二数学参考答案·第2页（共9页） 因为0-时A-,P@0- ,所以PAB=P(B)PAB)=2PB), P代HB=P代PBA)=乙，所以PAB)+PAB=P,解得PB)=},C正确：因为 48 4 R0=片，所以A闭=方，又因为P=aP, 3 4 Pan=rPrA=P画--PB,所以P+Pa西-P+-PB 4 -子PB)=P面，解得PB团=D正确，故选BCD. 88 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 34 5 -512 (0,e3] 【解析】 12.PX≥D=1-PX=0)=1- C3_34 35 13.令x=0,可得a+a1+42+…+a。=0:令x=-2,可得a-4+43-4…-ay+ao=1024: 所以a+a+a+a,+a,=-512. 14.令g)=/四+2xx>0,则gm)=)-2Y)+2c>0,所以函数g是定义在 (0,+四)上的增函数，不等式fmx长-2xnx可变形为f血0+2nr≤1，又因为 e2 g6)=f包+6=-5+6=1，所以不等式f血型+2n≤1等价于gmx长g),所以 1lnx≤3， 解得0<x≤e3. x>0, 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：记“选手甲第1次抽到‘圆锥曲线’试题”为事件A, “选手甲第2次抽到‘函数与导数'试题”为事件B, 高二数学参考容案·第3页（共9页） (1)法一： P(AB)= CC_4×3_2 A 7×67 法二： 由概率乘法公式可得 43.2 P(AB)=P(A)P(B|A)=-×二= …(4分) 767 (2) 法一：P(B)= CC63×63 A号7×67 …(9分) 法二：由全概率公式可得 43323 P(B)=P(4A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=-×二+三×三 …(9分) 76767 (3)由条件概率公式可得 P4IB)=PAB_Z」 2 P(B)3 …(13分) 3 7 16.(本小题满分15分) (1)证明：如图1，连接CO并延长交AB于点D, 连接C4,CB,CD, 'O是△ABC的重心， D是AB的中点， 图1 又，底面ABC是正三角形， AB⊥CD. …(1分) 在△CCA与△CCB中，CA=CB,∠CCA-∠CCB,CC为公共边， .△CCA≌△CCB, .CA=CB, AB⊥CD, 又，CD∩CD=D,CDc平面CCD,CDc平面CCD, ∴.AB⊥平面CCD. …(3分） 又COc平面CCD, 高二数学参考答案·第4页（共9页） .AB⊥CO. …(4分) :正△ABC的边长为6， .CD=3W5, .C0=25, 又.CC=A4=4N5,∠CC0=60°， 在△CC0中，由余弦定理可得，CO=6, .|C02+1C0CC2, .C0⊥CO. …(6分) 又：AB∩CO=D,ABC平面ABC,COc平面ABC, .CO⊥平面ABC …(7分) (2)解：如图2，建立空间直角坐标系D-z, 则A(-3,0,0,B3,0,0,C(0,3V5,0,C(0,√5,6， ∴.AC=(3,33,0,CC=(0.-2360, 设平面ACC的法向量n=(,yz), 图2 3x+3W5y=0, -2V5y+6z=0 令x=3,解得y=52=-1, ∴平面ACC的一个法向量元=3，-5，-). …(10分) 同理，平面BCC的一个法向量m2=(3,√3，). …(11分) 设二面角A-CC-B的大小为B, 则1cos9外m·乃，L-5 …(14分) 16113 ·sin0=12 13 即二面角A-CC-B的正弦值为 3 …(15分) 高二数学参考答案·第5页（共9页） 17.(本小题满分15分) 解：(1)：5近似服从正态分布N(77,σ2)，且P(77≤5≤80)=0.3， ∴.P(5>80)=0.5-P(77≤5≤80)=0.2， …(5分) .1000×0.2=200, .估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数为200人。…(7分) (2)由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为0.2，且X~B(3,0.2), …(9分) .随机变量X的分布列为P(X=k)=C0.2×0.84,k=0,1,2,3, (13分) .随机变量X的均值为E(X)=3×0.2=0.6 …(15分) (分布列以表格开式给出，计算正确也给13分) X 0 1 2 3 0.512 0.384 0.096 0.008 …(13分)】 .随机变量X的均值为E(X)=3×0.2=0.6. …(15分) 18.(本小题满分17分) (1)解：由题可得：圆心F(2,0), c=2, …(1分) 又离心率25=→a=5. …(2分) 5 a b2=2-2=1,…(3分)） 树圆标准方程为号+y户=1。 …(5分) (2)(i)证明：①当1斜率不存在时，1⊥x轴，由椭圆的对称性可知，M,N均在x轴 上，所以O,M,N三点共线 …(6分) ②当1斜率存在时，设1的方程为y=k(x-2k≠0)，且A(:,),B(xy), y=k(x-2) 联立方程组 x 可得：(5k2+1)x2-20k2x+(20k2-5)=0, +y2=1, 则x+2 20k2 20k2-5 点N的坐标为 10k2-2k 5k+1’= 5k2+1 5k2+1'5k2+1 …(7分) 高二数学参考答案·第6页（共9页） 一ON所在的直线的方程为y=- 5k 设在点A(x,)处的切线为：y-=(x-x), 与椭圆联立后由△=0，可得k=- 5% 整理得：椭圆C在A,B处的切线方程为+y=1, g+y=1: …(9分) +yy= 联立方程组 5 x2x 5 +y=l, 解得点M的坐标为 52-)x- …(10分) 乃-x2yxy-x3y -x2 aw=丛二5 1 5-y) 0% x乃2-2y 故O,M,N三点共线。 (ii)解：由(i)可知，|AB=V1+k2x-x2= 2W51+k2) …(12分) 5k2+1 点M化简得 +k巴 …(13分) 21k FN1+k 10k2 2V+k2 5k2+1 …(14分)） 5k2+1 2N50+k2)1+k |AB1·FM1 5k2+121k15k2+1 …(15分) IFNI 2W1+k k 5k2+1 …(16分) 当且仅当华太 ,即k1时，等号成立 所以MBFM的最小值为5. …(17分) FNI 高二数学参考答案·第7页（共9页） 19.(本小题满分17分) (1)解：：f(x)=x3+br2-24x+d, .f'(x)=3x2+2br-24, .f"(x)=6x+2b, 又，函数f(x)=x+br2-24x+d的图象的对称中心为(1,3)，即拐点为1,3)， 060-据631= .f(x)=x3-3x2-24x+29, 小…(3分) .f"(x)=3x2-6x-24=3x-4)x+2) 函数(x)在(-0，-2)上为正，在(-2,4)上为负，在(4，+o)上为正， ∴，函数f(x)在(-0，-2)上单调递增，在(-2,4)上单调递减，在(4，+0)上单调递增. …(5分) (2)(i)解：g(x)= e+1m-1x 2-1 6 2m3m2 ∴g0)=1e4+5mr2-2x+ 1 2 2m .g"(x)=er-+mr-2. **(7分】 显然，g"(x)=em+mr-2在R上单调递增，且g” =e+m×L-2=0, x=1是g()的变号零点， 11,112 六曲线=g国的拐点是分-小月 …(10分) 证明：由①可得，当x(局》时，8)<0，g网单调适减 当x日+西时，g>0,g单调递增： 1+1=0, m 2m 高二数学参考答案·第8页（共9页） ,函数g(x)在R上单调递增，不妨设：< <.…（1分） 要证与+与<房 2 即证x< 又g(x)+g(3)=-2, 即2-8火8 即证+-小2。 4…(13分) 令=+-小 则=8国-后-小 +层-小ew-日-小 =e+e--2=em-+ e- -2≥0 函数)=8)-8品在R上单调通增。 :g)层}o 函数=g+g合在) 上单调递减， 在仁，+ 上单调递增. …(15分） =s)*s层-小日日品周 =-2得证， 即斯+<2成立 …(17分) 高二数学参考答案·第9页（共9页）