2025届高三数学一轮复习对点练53：数列中的子数列、新情境问题

2025届高三数学一轮复习对点练53　数列中的子数列、新情境问题 1.已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在同一列，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3. 第一列 第二列 第三列 第一行 1 5 2 第二行 4 3 10 第三行 9 8 20 (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝[lg bn]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg 2]＝0， [lg 98]＝1，求数列{cn}的前100项的和T100. 2.(2024·宁波调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝，{bn}的前n项之积Tn＝2(n∈N*). (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列称为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值. 3.定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d为常数)，则称{an}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”.已知“绝对和数列”{an}中，a1＝2，绝对公和为3，求数列{an}前2 025项和S2 025的最小值. 4.(2024·西安调研)已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，a－2Sn＝n＋1(n∈N*)，其中Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式； (2)在ak和ak＋1(k∈N*)中插入k个相同的数(－1)k＋1·k，构成一个新数列{bn}：a1，1，a2，－2，－2，a3，3，3，3，a4，…，求{bn}的前100项和T100. 5. (2024·嘉兴模拟)已知{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1. (1)证明{bn－n}是等比数列，并求{an}，{bn}的通项公式； (2)若数列{an}与{bn}中有公共项，即存在k，m∈N*，使得ak＝bm成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{cn}，求c1＋c2＋…＋cn. 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)保持{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T100的值(用数字作答). 7. (2024·济南模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝4，b1＝2，a2＝2b2－1，a3＝b3＋2. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前60项和S60. 8. (2024·长沙调研)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表： a1 a2a3 a4a5a6 a7a8a9a10 …… 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7……构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足＝1(n≥2). (1)证明数列成等差数列，并求数列{bn}的通项公式； (2)上表中，若从第三行起，每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和. 参考答案 1.解　(1)由题意知a1＝2，a2＝4，a3＝8， 所以等比数列{an}的公比q＝2， an＝a1qn－1＝2n. 设等差数列{bn}的公差为d，则 2＝b3－2b1＝2d－b1， S7＝＝7b4＝7a3， 所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，bn＝2n. (2)因为bn＝2n，所以cn＝[lg(2n)]. 所以T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg 2]＋[lg 4]＋…＋[lg 8]＋[lg 10]＋…＋[lg 98]＋ [lg 100]＋…＋[lg 200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147. 2.解　(1)由Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1， 当n＝1时，上式也成立， 所以an＝3n－1， 由Tn＝2， 当n＝1时，b1＝T1＝2， 当n≥2时，bn＝＝2n， 当n＝1时，上式也成立， 所以bn＝2n. (2)设3n－1＝2m＝(3－1)m ＝C·3m(－1)0＋C·3m－1(－1)1＋…＋C×3×(－1)m－1＋C30·(－1)m ＝3M＋(－1)m，m∈N*，M为3的正整数倍， 故当m为奇数时，n＝M， 故公共项为m＝1，3，5，7，…， ∴21，23，25，27，…，构成首项为2，公比为4的等比数列，cn＝2·4n－1， 则c1＋c2＋…＋c20＝＝(420－1). 3.解　依题意，要使S2 025的值最小，只需每一项的值都取最小值即可. 因为a1＝2，绝对公和d＝3， 所以a2＝－1或a2＝1(舍去)， 所以a3＝－2或a3＝2(舍去)， 所以a4＝－1或a4＝1(舍去)，…， 所以满足条件的数列{an}的通项公式 an＝ 所以S2 025＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 024＋a2 025) ＝2＋(－1－2)×＝－3 034. 4.解　(1)当n＝1时，a2＝2， 当n≥2时，递推得a－2Sn－1＝n， 两式相减得a－a＝2an＋1， a＝a＋2an＋1＝(an＋1)2， 因为数列{an}各项均为正数， 所以an＋1－an＝1， 又∵a2－a1＝1，∴数列{an}为等差数列， 故an＝a1＋n－1＝n. (2)设ak和插入的k个数(－1)k＋1·k构成一组数， 则前k组共有k＋＝个数， 令≤100，又k∈N*，解得k≤12； 当k＝12时，＝90<100， ∴{bn}的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个， ∴T100＝(a1＋1)＋(a2－22)＋(a3＋32)＋…＋(a11＋112)＋(a12－122)＋(a13＋13×9) ＝(a1＋a2＋…＋a13)＋(1－22＋32－42＋…＋112－122)＋117 ＝－(3＋7＋11＋…＋23)＋117 ＝91－＋117 ＝91－78＋117＝130. 5. 解　(1)由题意可得an＝2＋(n－1)×3＝3n－1， 而b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1， 变形可得bn＋1－(n＋1)＝3bn－3n＝3(bn－n)，b1－1＝3， 故{bn－n}是首项为3，公比为3的等比数列， 从而bn－n＝3n，即bn＝3n＋n(n∈N*). (2)由题意可得3k－1＝3m＋m(k，m∈N*)， 因为3k，3m是3的倍数，所以m＋1也为3的倍数， 令m＋1＝3n，则m＝3n－1(n∈N*)， 则3k－1＝33n－1＋3n－1＝3(33n－2＋n)－1，此时满足条件，即当m＝2，5，8，…，3n－1时为公共项， 所以c1＋c2＋…＋cn＝b2＋b5＋…＋b3n－1 ＝32＋35＋…＋33n－1＋(2＋5＋…＋3n－1) ＝＋(n∈N*). 6. 解　(1)由数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n＋1， 当n≥2时，Sn－1＝2n－1＋1， 所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，n≥2， 当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3，不符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝ (2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入k个1， 则新数列{bn}的前100项为3，1，21，1，1，22，1，1，1，23，1，1，1，1，24，…，212，1，1，1，1，1，1，1，1，1， 则T100＝[3＋(21＋22＋…＋212)]＋[(1＋2＋3＋…＋12)＋9] ＝90＋213－2＝88＋213＝8 192＋88＝8 280. 7. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 由∴ ∴q＝2，d＝3，∴an＝3n＋1，bn＝2n. (2)当{cn}的前60项中含有{bn}的前6项时， 令3n＋1<27＝128，∴n<， 此时至多有41＋6＝47项，不符合题意. 当{cn}的前60项中含有{bn}的前7项时， 令3n＋1<28＝256，∴n<85， 且22，24，26是{an}和{bn}的公共项， 则{cn}的前60项中含有{bn}的前7项且含有{an}的前56项，再减去公共的三项. ∴S60＝＋2＋23＋25＋27＝4 844＋170＝5 014. 8. 解　(1)当n≥2时，＝1， ＝1，＝1，－＝， 又S1＝b1＝a1＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列. ＝1＋(n－1)＝(n＋1)，Sn＝， 所以n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－＝－， 因此bn＝ (2)设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0，表中到12行尾共含数列{an}的前78项，a81是表中第13行第三列， a81＝b13q2＝－，b13＝－，q＝2. 记表中第k(k≥3)行所有项的和为S， 则S＝＝－× ＝(1－2k)(k≥3). 学科网（北京）股份有限公司 $$