2025届高三数学一轮复习对点练58：空间直线、平面的垂直

2025届高三数学一轮复习对点练58　空间直线、平面的垂直 【基础巩固】 1.(多选)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是真命题的为(　　) A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β 2.(2024·河南名校联考)设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法正确的是(　　) A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B.若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α C.若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n D.若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m 3.(2024·杭州质检)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β成立的充分条件是(　　) A.a∥α，b∥β，a⊥b B.α⊥γ，β⊥γ C.a∥α，a⊥β D.α∩β＝a，a⊥b，b⊂β 4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 5.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 6.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是(　　) A.平面ANS⊥平面PBC B.平面ANS⊥平面PAB C.平面PAB⊥平面PBC D.平面ABC⊥平面PAC 　　 第6题图　　　　　　第7题图 7.(2024·东营模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(　　) A.有且仅有1条 B.有且仅有2条 C.有且仅有3条 D.有无数条 8.如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱________所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.(注：填上你认为正确的一条棱即可，不必考虑所有可能的情况) 9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可). 10.在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论： ①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直； ②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直； ③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直. 其中正确结论的序号是________. 11.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE. 12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 【能力提升】 13.(2024·沈阳模拟)在四面体ABCD中，△BCD为正三角形，AB与平面BCD不垂直，则(　　) A.AB与CD可能垂直 B.A在平面BCD内的射影可能是B C.AB与CD不可能垂直 D.平面ABC与平面BCD不可能垂直 14.(2024·武汉模拟)已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥A－BCD，则在折叠过程中，不可能出现(　　) A.AB⊥CD B.AC⊥BD C.三棱锥A－BCD的体积为 D.平面ABD⊥平面BCD 15.(多选)(2023·衡阳调研)在三棱锥D－ABC中，已知AB＝BC＝2，AC＝2，DB＝4，平面BCD⊥平面ABC，且DB⊥AB，则(　　) A.DB⊥AC B.平面DAB⊥平面ABC C.三棱锥D－ABC的体积为 D.三棱锥D－ABC的外接球的表面积为16π 16.在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P－ABCD的体积. 参考答案 1.ACD　[由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A正确； 过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确； 根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确.] 2.B　[A选项，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，如图1，m∥n，且满足m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，但此时l与α斜交，故A错误； B选项，因为l∥m，m∥n，所以l∥n， 因为l⊥α，所以n⊥α，故B正确； C选项，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n， 因为l∥m，所以l∥n，故C错误； D选项，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，如图2，满足m⊂α，n⊥α，l⊥n，但此时l与m异面，故D错误.故选B.] 3.C　[对于A，a∥α，b∥β，a⊥b，α与β可分别绕直线a与b任意转动，则α与β可能相交，也可能平行，故不是α⊥β的充分条件，A错误； 对于B，α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，也可能平行，B错误； 对于C，设过直线a的平面与α交于直线c， 因为a∥α，所以a∥c， 又a⊥β，所以c⊥β， 又c⊂α，所以α⊥β， 所以C为α⊥β的充分条件，C正确； 对于D，α∩β＝a，a⊥b，b⊂β， 若作直线d使得a⊥d，且d⊂α，则b与d的夹角即二面角α－a－β的平面角，由于该二面角不一定为直角， 所以α与β不一定垂直，D错误.故选C.] 4.A　[连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1. ∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC. ∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.] 5.BD　[对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直； 对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ ED＝E，所以AB⊥平面CDE； 对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB， 因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.] 6.ACD　[∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又AC为圆O直径，所以AB⊥BC， 又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB， 又AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN， 又AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴AN⊥平面PBC， ∵AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC， ∴A，C，D正确.] 7.D　[如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E， 连接DE， 当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下： 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD， 又MD＝NE， 所以四边形MDEN为平行四边形， 所以MN∥DE. 因为DD1⊥平面ABCD，且DE⊂平面ABCD， 所以DD1⊥DE，则DD1⊥MN. 所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN， 此时满足条件的直线MN有无数条.] 8.CG，DH，EH，FG(任选一个作答)　[如图，结合平面图形还原出正方体， 结合正方体性质易知，棱CG，DH，EH，FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.] 9.②(或③)　[连接AC(图略)，∵PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥BD. ∵底面各边都相等，∴AC⊥BD. ∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC， ∴BD⊥PC. 当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD， ∴平面MBD⊥平面PCD.] 10.②　[①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E， 连接CE，如图所示. 则⇒BD⊥平面AEC，则BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，故假设不成立，①不正确； ②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，CD∩AD＝D， ∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC， 由AB<BC可知，存在这样的直角三角形，使AB⊥AC，故假设成立，②正确； ③假设AD⊥BC，∵CD⊥BC，AD∩CD＝D， ∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC， 即△ABC为直角三角形，且AB为斜边， 而AB<BC，故矛盾，假设不成立，③不正确.] 11.证明　(1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. (2)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°， 且E为CD的中点，所以AE⊥CD. 所以AB⊥AE. 又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB， 所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PAE. 12.证明　(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB∥CD. 又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC， 所以AB∥平面PDC. 又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF， 所以AB⊥AF.又AB⊥AD， 由点E在棱PC上(异于点C)， 所以点F异于点D， 所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又AB⊂平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD. 13.A　[对于A，C，当四面体ABCD为正四面体时，如图所示，A在平面BCD上的射影为O， 即OA⊥平面BCD. 由于CD⊂平面BCD， 所以OA⊥CD. 连接BO并延长交CD于F，则CD⊥BF， 由于AO∩BF＝O，AO，BF⊂平面ABO， 所以CD⊥平面ABO. 由于AB⊂平面ABO， 所以AB⊥CD，故A正确，C错误. 对于B，若A在平面BCD内的射影是B，则AB与平面BCD垂直，与已知矛盾，故B错误. 对于D，当A在平面BCD内的射影在直线BC(除点B)上时，平面ABC与平面BCD垂直，故D错误.故选A.] 14.A　[对于A，若AB⊥CD，因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC， 所以CD⊥平面ABC， 又AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC，而CD＝2，AD＝2，即直角边长与斜边长相等，显然不正确； 对于B，取BD的中点O，连接AO，OC， 因为AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC， 所以BD⊥平面AOC， 又AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC； 对于C，当折叠所成的∠AOC＝150°时，顶点A到底面BCD的距离为 ×sin 30°＝， 此时VA－BCD＝×2×＝； 对于D，当∠AOC＝90°时，有平面ABD⊥平面BCD.故选A.] 15.ABC　[因为AB＝BC＝2，AC＝2， 所以cos∠ABC＝＝－， 所以∠ABC＝， 如图，过D作DE⊥BC于E. 因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC， 所以DE⊥平面ABC， 因为AB⊂平面ABC， 所以DE⊥AB， 假设DB，DE不重合， 因为DB⊥AB，DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BCD， 所以AB⊥平面BCD， 因为BC⊂平面BCD， 所以AB⊥BC，与∠ABC＝矛盾， 所以假设不成立， 所以DB，DE重合，即DB⊥平面ABC. 因为AC⊂平面ABC，所以DB⊥AC. 因为DB⊂平面DAB， 所以平面DAB⊥平面ABC，故A，B正确； 三棱锥D－ABC的体积为××2×2×sin ×4＝，故C正确； 如图，设△ABC的外心为F，其外接圆半径为×＝2， 过F作FO⊥平面ABC， 设O为外接球的球心，则FA＝FB＝2，OA＝OD， 所以＝， 所以＝， 解得OF＝2， 所以外接球的半径为OA＝＝2， 所以三棱锥D－ABC的外接球的表面积为S＝4π·OA2＝32π，故D错误.] 16.解　(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD. 证明如下： 如图，连接MC，PM. 由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，AD为平面PAD和平面ABCD的交线，且PM⊂平面PAD，可得PM⊥平面ABCD， 又PM⊂平面PCM， 可得平面PCM⊥平面ABCD. (2)设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a， 由(1)可得MC＝AB＝MD＝a， 则CD＝a，PD＝2a，PM＝a， 由PM⊥MC，可得 PC＝＝＝2a， 而△PCD的面积为 S△PCD＝·a·＝a2＝8，可得a＝4， 四棱锥P－ABCD的体积V＝S四边形ABCD·PM＝××(4＋8)×4×4＝32. 学科网（北京）股份有限公司 $$