2025届高三数学一轮复习对点练56：空间点、直线、平面之间的位置关系

2025届高三数学一轮复习对点练56　空间点、直线、平面之间的位置关系 【基础巩固】 1.(多选)下列推断中，正确的是(　　) A.M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C.l⊄α，A∈l⇒A∉α D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合 2.若直线上有两个点在平面外，则(　　) A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内 C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内 3.(多选)下列命题中不正确的是(　　) A.空间四点共面，则其中必有三点共线 B.空间四点不共面，则其中任意三点不共线 C.空间四点中有三点共线，则此四点不共面 D.空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 4.(2024·广州模拟)已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是(　　) A.直线b与直线c可能是异面直线 B.直线a与直线c可能平行 C.直线a，b，c必然交于一点(即三线共点) D.直线c与平面α可能平行 5.(2024·金华模拟)已知直线l、平面α满足l⊄α，则下列命题一定正确的是(　　) A.存在直线m⊂α，使l∥m B.存在直线m⊂α，使l⊥m C.存在直线m⊂α，使l，m相交 D.存在直线m⊂α，使l，m所成角为 6.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面 C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面 7.(2024·郑州质检)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 8.已知a，b，c是不同直线，α是平面，若a∥b，b∩c＝A，则直线a与直线c的位置关系是________；若a⊥b，b⊥α，则直线a与平面α的位置关系是________. 9.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________. 10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ＝________. 11.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 12.如图，已知在空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角. 【能力提升】 13.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为(　　) A. B. C. D. 14.(多选)(2024·苏州调研)已知直线l与平面α相交于点P，则(　　) A.α内不存在直线与l平行 B.α内有无数条直线与l垂直 C.α内所有直线与l是异面直线 D.至少存在一个过l且与α垂直的平面 15.(多选)(2023·济宁模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，则在这个正四面体中(　　) A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线 C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直 16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD. (1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P－ABCD的体积； (2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值. 对点练57　空间直线、平面的平行 【基础巩固】 1.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　) A.EF∥PA B.EF∥PB C.EF∥PC D.以上均有可能 2.如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.AC在此平面内 D.平行或相交 3.下列命题中正确的是(　　) A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　) A.2∶3 　　　　 B.2∶5 C.4∶9 　　　　　 D.4∶25 5.(2024·成都诊断)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) ①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1； ③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1. A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 6.(2024·杭州质检)已知α，β是两个不重合的平面，则“α∥β”的充要条件是(　　) A.平面α内存在无数条直线与β平行 B.存在直线l与α，β所成的角相等 C.存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β D.平面α内存在不共线的三个点到β的距离相等 7.(2024·新乡模拟)在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是(　　) 8.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________.(填序号) 9.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________. 11.如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明： (1)DF∥平面PBE； (2)DF∥l. 12.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 【能力提升】 13.(多选)(2024·苏州质量评估)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，则(　　) A.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行 B.平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行 C.平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行 D.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行 14.(2024·武汉调研)如图所示，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P是棱AD上一点，且AP＝，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝(　　) A.a B.a C.a D.a 15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为________. 16.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点. (1)当点P在棱DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论； (2)若P是DD1的中点，Q是BB1的四等分点，且B1Q＝3QB，求证：平面MNQ∥平面A1C1P. 参考答案 1.ABD　[对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确； 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，则α∩β＝AB，B正确； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错误； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确.] 2.D　[根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.] 3.ACD　[对于平面四边形来说不成立，故A不正确； 空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，故B正确；由B的分析可知C不正确； 平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故D不正确.] 4.C　[因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O， 所以O∈α，O∈β，O∈γ. 因为β∩γ＝c，所以O∈c， 所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)，故A，B错误，C正确； 假设直线c与平面α平行， 由O∈c，可知O∉α， 这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误.] 5.B　[对于A，若直线l与α相交，则α内的直线与l相交或异面，因此若l与α相交，则不存在直线m⊂α，使l∥m，故A错误； 对于B，由于l⊄α，所以l与α相交或平行，不论是相交还是平行，均可在α内找到与l垂直的直线m，故B正确； 对于C，当l∥α时，α内的直线与l平行或异面，所以不存在m⊂α，使l，m相交，故C错误； 对于D，当直线l⊥α时，直线l与α内的所有直线均垂直，故不存在直线m⊂α，使l，m所成角为，故D错误.] 6.ABC　[∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1， ∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1， ∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线， ∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面， ∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1， ∴M在平面BB1D1D外， 即B，B1，O，M不共面，故选ABC.] 7.C　[法一　如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1， 连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1， 则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角(或其补角). 因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB＝BC＝1，AA1＝， 所以DE1＝＝＝2， DB1＝＝， B1E1＝＝＝， 在△B1DE1中，由余弦定理， 得cos∠B1DE1＝＝， 即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 法二　如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知点O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角(或其补角). 因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝， 所以AD1＝＝2， DM＝＝， DB1＝＝， 所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝， 于是在△DMO中，由余弦定理， 得cos∠MOD＝＝， 即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.] 8.相交或异面　a∥α或a⊂α　[a，b，c是不同直线，α是平面， 因为a∥b，b∩c＝A， 所以直线a与直线c的位置关系是相交或异面. 因为a⊥b，b⊥α， 则直线a与平面α的位置关系是a∥α或a⊂α.] 9.4　[因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交.] 10.　[如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为点P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，∠POC1＝θ或π－θ. 设正方体的棱长为2，则OP＝A1D＝，OC1＝，PC1＝， 则cos θ＝|cos∠POC1|＝＝＝.] 11.证明　(1)因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD. 在△BCD中，＝＝， 所以GH∥BD，所以EF∥GH. 所以E，F，G，H四点共面. (2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. 所以P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC∩平面ADC＝AC， 所以P∈AC， 所以P，A，C三点共线. 12.解　如图，取BD的中点E，连接EN，EM， 则EN∥BC，ME∥AD， 故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角. 由AD＝BC，知ME＝EN， 所以∠EMN＝∠ENM＝30°， 所以∠MEN＝180°－30°－30°＝120°， 即BC与AD所成的角为60°. 13.A　[延长AN，与CC1的延长线交于点P， 则P∈平面BB1C1C， 连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形，由题意解三角形可得 NE＝ME＝， AM＝AN＝，MN＝， ∴△AMN中MN边上的高 h1＝＝， △EMN中MN边上的高 h2＝＝. ∴AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积 S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·(h1＋h2)＝××＝.] 14.ABD　[如图，对于A，直线l与平面α相交于点P，所以平面α内不存在直线与l平行，故A正确； 对于B，平面α内存在与l在平面α的射影PO垂直的直线n，平面α内与n平行的直线都与l垂直，有无数条，故B正确； 对于C，平面α内过点P的直线m与直线l相交，不是异面直线，故C错误； 对于D，取直线l上除斜足外一点A，过该点作平面α的垂线AO，则平面POA垂直于平面α，故D正确.] 15.BCD　[把平面展开图还原成正四面体A－DEF，如图所示， 其中H与N重合，A，B，C三点重合， 易知GH与EF异面，BD与MN异面， 连接GM，∵△GMH为等边三角形， ∴GH与MN成60°角. 由图易得DE⊥AF， 又MN∥AF，∴MN⊥DE， 因此正确的选项是BCD.] 16.解　(1)∵正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点， ∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin 60°＝2， 又PE⊥平面ABCD， ∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×42×2＝. (2)如图，连接EF， ∵AD∥BC， ∴∠PCB即PC与AD所成的角. ∵PE⊥平面ABCD，EF，BC⊂平面ABCD， ∴PE⊥EF，PE⊥BC， 又PF与平面ABCD所成角为45°， 即∠PFE＝45°， ∴PE＝EF·tan ∠PFE＝4， ∴PB＝＝＝2. 又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB， 又PB⊂平面PAB， ∴BC⊥PB， ∴tan ∠PCB＝＝， ∴PC与AD所成角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$