小专题7 旋转的性质在几何证明中的应用-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

小专题 7　 旋转的性质在几何证明中的应用 一、应用旋转的性质证明三角形全等 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 如图,将矩形 ABCD 绕点 B 旋转得到矩形 GBEF,点 E 在 AD 上,延长 DA 交 GF 于 点 H。 (1)求证:△ABE≌△FEH; (2)连接 BH,若∠EBC= 30°,求∠ABH 的度数。 2. 将两块大小相同的含 30°角的直角三角尺(∠BAC= ∠B1A1C= 30°)按图 1 的方式放 置,固定三角尺 A1B1C,然后将三角尺 ABC 绕直角顶点 C 顺时针方向旋转(旋转角 小于 90°)至图 2 所示的位置,AB 与 A1C 交于点 E,AC 与 A1B1 交于点 F,AB 与 A1B1 交于点 O。 (1)求证:△BCE≌△B1CF; (2)当旋转角等于 30°时,AB 与 A1B1 垂直吗? 请说明理由。 图 1 　 图 2 二、应用旋转的性质证明线段的数量关系 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=α,M 是 BC 的中点,点 D 在 MC 上,以点 A 为中 心,将线段 AD 顺时针旋转 α 得到线段 AE,连接 BE,DE。 (1)用等式表示线段 BE,BM,MD 之间的数量关系,并证明; (2)过点 M 作 AB 的垂线,交 DE 于点 N,用等式表示线段 NE 与 ND 的数量关系,并 证明。 501 4. 如图 1,四边形 ABCD 是矩形,将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 α(0°<α<180°),得 到矩形 FGCE,连接 AF,BG。 (1)当 α= 90°时,BG 的延长线交 EF 的延长线于点 H。 求证:AF 与 BH 互相平分; (2)如图 2,当 90°<α<180°时,过点 F 作 FH∥AB,FH 交 BG 延长线于点 H,(1)中的 结论还成立吗? 说明理由? 图 1 　 　 图 2 三、应用旋转的性质证明直线的位置关系 5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△DEC,点 D 落 在线段 AB 上,连接 BE。 (1)求证:DC 平分∠ADE; (2)试判断 BE 与 AB 的位置关系,并说明理由。 6. 已知 P 为线段 AB 上一点,将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°,得到线段 AC;再将线 段 BP 绕点 B 逆时针旋转 120°,得到线段 BD;连接 AD,取 AD 的中点 M,连接 BM,CM。 (1)如图 1,当点 P 在线段 CM 上时,求证:PM∥BD; (2)如图 2,当点 P 不在线段 CM 上时,写出线段 BM 与 CM 的数量关系与位置关系, 并证明。 图 1 　 图 2 601 2. D　 【解析】如图,由题可知将矩形 ABCD 绕点 A 逆时 针旋转,每次旋转 90°,∴ 每旋转 4 次则回到原位置。 ∵ 2 023÷4 = 505……3,∴ 第 2 023 次旋转结束后,图 形顺时针旋转了 90°。 ∵ 点 B(3,0),D(1,2),∴ C(3, 2)。 ∴ 第 2 023 次旋转结束时,点 C 的坐标为(3, -2)。 故选 D。 3. (1,- 3 )或( -1, 3 )　 【解析】在△ABO 中,AB⊥OB, OB= 3,AB = 1,∴ ∠AOB = 30°。 当△ABO 绕点 O 顺 时针旋转 90° 后 得 到 △A1B1O,如 图 1。 ∵ △AOB ≌ △A1OB1, ∴ OB1 = OB = 3, A1B1 = AB = 1。 ∴ 点 A1(1,- 3);当△ABO 绕点 O 逆时针旋转 90°后 得到△A1B1O,如图 2。 同理点 A1(-1, 3)。 图 1 　 　 图 2 4. ②③④　 【解析】∵ AB = AC,∠B = 30°,∴ ∠B = ∠C = 30°,∠BAC= 120°。 ∴ 将△ADE 绕点 A 逆时针旋转至 点 B,A,E 在同一条直线上,△ADE 的旋转角为 180°- 120° = 60°。 故①错误;∵ DE∥BC,∴ ∠ADE = ∠B, ∠AED= ∠C。 ∴ ∠ADE = ∠AED。 ∴ AD = AE。 ∴ BD =CE,BE = AE+AB = AD+AC。 故②,③正确;∵ ∠BAC = ∠DAE= 120°,∴ ∠CAE = 180° -∠BAC = 60°,∠CAD = 120°-∠CAE= 60°。 ∴ ∠DAC = ∠EAC。 ∵ AD = AE, ∴ DE⊥AC。 故④正确。 5.解:(1)证明:由旋转的性质,得∠BCE= ∠ACD。 ∵ AC=BC, ∴ ∠B= ∠BAC。 ∵ CE=BE, ∴ ∠B= ∠BCE。 ∴ ∠ACD= ∠BAC。 ∴ AB∥DC。 (2)四边形 BEDC 是平行四边形。 理由如下: 由旋转的性质,得 CD=CE。 ∵ CE=BE, ∴ CD=BE。 ∵ AB∥DC, ∴ 四边形 BEDC 是平行四边形。 6.解:(1)证明:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ CB=CA,∠ACB= 60°。 ∵ CO=CD,∠OCD= 60°, ∴ ∠ACB= ∠OCD。 ∴ ∠BCO= ∠ACD。 ∵ CB=CA,CO=CD, ∴ △BCO≌△ACD(SAS)。 (2)∵ △BCO≌△ACD, ∴ OB=DA= 8,∠BOC= ∠ADC= 150°。 ∵ CO=CD,∠OCD= 60°, ∴ △ODC 是等边三角形。 ∴ OD=OC= 6,∠ODC= 60°。 ∴ ∠ADO= ∠ADC-∠ODC= 150°-60° = 90°。 ∴ S△AOD = 1 2 ·AD·DO= 24。 7.解:(1)BE=BF。 证明如下: ∵ AB=BC,∴ ∠A= ∠C。 ∵ △ABC 绕点 B 顺时针旋转角 α ( 0° < α < 90°) 得△A1BC1 , ∴ BA=BC=BC1 ,∠A= ∠C= ∠C1 ,∠ABE= ∠C1BF。 ∴ △ABE≌△C1BF。 ∴ BE=BF。 (2)四边形 BC1DA 是菱形。 理由如下: ∵ AB=BC= 2,∠ABC= 120°, ∴ ∠A= ∠C= 30°。 ∴ ∠A1 = ∠C1 = 30°。 ∵ ∠ABA1 = ∠CBC1 = 30°, ∴ ∠ABA1 = ∠A1 ,∠CBC1 = ∠C。 ∴ A1C1∥AB,AC∥BC1 。 ∴ 四边形 BC1DA 是平行四边形。 又∵ AB=BC1 , ∴ 四边形 BC1DA 是菱形。 小专题 7　 旋转的性质在几何证明中的应用 1. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=DC,∠BAE= ∠D= 90°。 由旋转性质,得 EF=CD,∠EFH= ∠D= 90°, ∴ AB=EF,∠BAE= ∠EFH。 在矩形 BEFG 中,FG∥BE,∴ ∠AEB= ∠FHE。 在△ABE 和△FEH 中, ∠AEB= ∠FHE, ∠BAE= ∠EFH, AB=FE, { ∴ △ABE≌△FEH(AAS)。 (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠BEH= ∠EBC= 30°。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 451 ∵ △ABE≌△FEH,∴ BE=EH。 ∴ ∠EHB= ∠EBH= 1 2 (180°-∠BEH)= 75°。 ∵ ∠BAH= 90°, ∴ ∠ABH= 90°-∠EHB= 15°。 2. (1)证明:由题意,得 BC=B1C,∠B= ∠B1 = 60°。 又∵ ∠BCE+∠ECF= 90°,∠B1CF+∠ECF= 90°, ∴ ∠BCE= ∠B1CF。 ∵ BC=B1C,∠B= ∠B1 , ∴ △BCE≌△B1CF(ASA)。 (2)解:当旋转角等于 30°时,AB 与 A1B1 垂直。 理由如下: ∵ ∠ECF= 30°, ∴ ∠BCE= 60°。 ∴ △BCE 是等边三角形。 ∴ ∠BEC= 60°。 ∴ ∠A1EO= 60°。 又∵ ∠A1 = 30°, ∴ ∠A1OE= 90°,即 AB 与 A1B1 垂直。 3.解:(1)BE+MD=BM。 证明如下, ∵ ∠DAE= ∠BAC=α, ∴ ∠DAE-∠BAD= ∠BAC-∠BAD,即∠BAE= ∠CAD。 在△ABE 和△ACD 中, AB=AC, ∠BAE= ∠CAD, AE=AD, { ∴ △ABE≌△ACD(SAS)。 ∴ BE=CD。 ∵ M 是 BC 的中点,∴ BM=CM。 ∴ BE+MD=BM。 (2)NE=ND。 证明如下, 如图,过点 E 作 EH⊥AB 交 BC 于点 H,交 AB 于点 F。 由(1),得△ABE≌△ACD,∴ ∠ABE= ∠ACD。 ∵ AB=AC,∠ACD= ∠ABC。 ∴ ∠ABE= ∠ABD。 在△BEF 和△BHF 中, ∠EBF= ∠HBF, BF=BF, ∠BFE= ∠BFH, { ∴ △BEF≌△BHF(ASA)。 ∴ BE=BH。 由(1),得 BE+MD=BM,∴ HM=DM。 ∵ EH⊥AB,MN⊥AB,MN∥HF。 ∴ NE=ND。 4.解:(1)证明:如图 1,连接 BF,AH。 ∵ 将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 α(0° <α<180°), 得到矩形 FGCE, ∴ BC=CG,CD=CE。 ∵ 四边形 ABCD 和四边形 CGFE 是矩形, ∴ AB=CD,CE=GF,∠ABC= ∠CEF= 90°。 ∴ AB=GF,HF∥AB。 ∵ ∠BCG= 90°, ∴ ∠CBG= 45°。 ∴ ∠HGF= ∠GHF= 45°。 ∴ GF=HF。 ∴ AB=HF。 ∴ 四边形 ABFH 是平行四边形。 ∴ AF 与 BH 互相平分。 图 1 　 　 图 2 (2)(1)中的结论还成立。 理由如下: 如图 2,连接 BF,AH。 ∵ 将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 α(0° <α<180°), 得到矩形 FGCE, ∴ BC=CG,CD=CE。 ∴ ∠CBG= ∠BGC。 ∵ 四边形 ABCD 和四边形 CGFE 是矩形, ∴ ∠ABC= ∠CGF= 90°,AB=CD,CE=GF。 ∴ ∠ABH+∠CBG= 90°,∠BGC+∠HGF= 90°,AB=GF。 ∴ ∠ABH= ∠HGF。 ∵ AB∥FH, ∴ ∠ABH= ∠GHF。 ∴ ∠GHF= ∠HGF。 ∴ GF=HF。 ∴ AB=HF。 ∴ 四边形 ABFH 为平行四边形。 ∴ AF 与 BH 互相平分,即(1)中的结论还成立。 5. (1)证明:∵ △DEC 是由△ABC 旋转得到, ∴ CA=CD,∠A= ∠CDE。 ∴ ∠A= ∠CDA。 ∴ ∠CDA= ∠CDE。 ∴ DC 平分∠ADE。 (2)解:BE⊥AB。 理由如下, 由旋转的性质可知∠ACD= ∠BCE。 ∵ CA=CD,CB=CE, ∴ ∠CAD= ∠CDA= ∠CBE= ∠CEB。 ∵ ∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB= 180°, ∴ ∠ABC+∠CBE+∠BCE+∠DCB= 180°。 ∴ ∠DBE+∠DCE= 180°。 ∵ ∠DCE= 90°,∴ ∠DBE= 90°。 ∴ BE⊥AB。 6. (1)证明:根据题意,得∠CAP= 60°,且 AP=AC, ∴ △APC 是等边三角形。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 551 ∴ ∠APC= 60°。 ∴ ∠BPM= 60°。 又∵ ∠PBD= 120°, ∴ ∠BPM+∠PBD= 180°。 ∴ PM∥BD。 (2)解:CM⊥BM,CM= 3BM。 证明如下: 如图,延长 BM 至点 G,使得 MG = BM,连接 AG,BC, GC,PC,GD。 ∵ M 是 AD 的中点, ∴ AM=MD。 ∵ MG=BM, ∴ 四边形 AGDB 是平行四 边形。 ∴ AG=BD,AG∥BD。 ∴ ∠BAG= 180°-∠ABD= 60°。 ∵ ∠CAP= 60°, ∴ ∠CAG= 60°+60° = 120°。 ∵ △APC 是等边三角形, ∴ AC=PC,∠APC= 60°。 ∴ ∠CPB= 120°。 ∵ PB=BD=AG, ∴ △CAG≌△CPB(SAS)。 ∴ CG=CB,∠ACG= ∠PCB。 ∴ ∠GCB= ∠ACP= 60°。 ∴ △CBG 是等边三角形。 ∵ M 是 AD 的中点, ∴ CM⊥BM,CM= 3BM。 11. 3　 图形的中心对称 第 1 课时　 中心对称及其基本性质 【边学边练】 1. C 2. D　 【解析】对应点的连线被对称中心平分,A,B 正 确;成中心对称的两个图形是全等形,那么对应线段 相等,C 正确。 故选 D。 3. (2,-1)　 【解析】如图,连接 AD,CF,则交点就是对称 中心点 H。 观察图形可知,点 H(2,-1)。 4. A　 【解析】∵ 点 A(a,1)与点 B(5,b)关于原点对称, ∴ a= -5,b= -1。 ∴ a+b 的值为-5-1 = -6。 故选 A。 【随堂小测】 1. B　 【解析】∵ 点 P(a,2-a)关于原点对称的点(-a, a-2)在第四象限,∴ -a>0 且 a-2<0。 解得 a<0。 则 a 的取值范围在数轴上表示为 。 故选 B。 2. D　 【解析】△ABC 与△CDA 关于点 O 对称,则 AB = CD,AD=CB,故四边形 ABCD 是平行四边形,则①点 E 和点 F,点 B 和点 D 是关于点 O 的对称点,正确;②直 线 BD 必经过点 O,正确;③四边形 DEOC 与四边形 BFOA 的面积必相等,正确;④△AOE 与△COF 成中 心对称,正确。 其中正确的有 4 个。 故选 D。 3. D　 【解析】将点 A 向下平移 3个单位长度,得到对应点 的坐标为(a,b- 3),再将其绕原点旋转 180°可得对称点 的坐标为(-a,-b+ 3),然后再向上平移 3个单位长度 可得点 A′的坐标为(-a,-b+2 3)。 故选 D。 4. 2　 【解析】如图,与△ABC 成中心对称的三角形有 ①△CGA:关于中心点 I 对称;②△DFG:关于中心点 O 对称。 共 2 个。 5. 5　 【解析】∵ △ABC 与△DEC 关于点 C 成中心对称, AG= 2,∴ CE=CB= 5,S△DEC = S△ABC。 ∴ S△ABC = 1 2 BC× AG= 1 2 ×5×2 = 5。 ∴ S△DEC = 5。 6. 2 17 　 【解析】∵ 菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于 点 O,∴ AC⊥BD。 ∴ ∠BOC = 90°。 ∵ △BOC 绕着点 C 旋转 180°得到△B′O′C,∴ ∠CO′B′ = ∠BOC = 90°, O′C=OC= OA = 1 2 AC = 2。 ∴ AO′ = 6。 ∵ AB′ = 10,在 Rt△AO′B′中,根据勾股定理,得 O′B′= 102 -62 = 8。 ∴ OB= 8。 ∴ BC= 82 +22 = 2 17。 ∴ 菱形的边长是 2 17。 7.证明:∵ DE 是△ABC 的中位线, ∴ DE∥AC,DE= 1 2 AC。 ∵ 将△BDE 绕着 CB 的中点 D 逆时针旋转 180°,点 E 到了点 E′的位置, ∴ DE=DE′。 ∴ EE′= 2DE=AC。 ∴ 四边形 ACE′E 是平行四边形。 8.解:(1)∵ 点 A( -8,0)向右平移 4 个单位长度后,再 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 651