11.2.3 有关旋转问题的证明-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

第 3 课时　 有关旋转问题的证明 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 旋转问题中的坐标变换 1. 在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,1),将点 A 绕原点 O 逆时针旋转 90°,则点 A 的对应点的坐标为 (　 　 ) A. ( -3,1) B. ( -1,3) C. (3,-1) D. (1,-3) 2. 如图,将含有 30°角的直角三角尺 OAB 放置在平面直角坐标系中,OB 在 x 轴上,且 点 A 的坐标为( 3 ,1),若将三角尺绕原点 O 顺时针旋转 75°,则点 A 的对应点 A1 的 坐标为　 　 　 　 。 知识点二　 有关旋转问题的证明 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC =α,AD 是 BC 边上的中线,延长 AD 到点 E,将线 段 AE 绕着点 A 逆时针旋转 α 度得到线段 AF,连接 CE,CF。 求证:CE=CF。 【随堂小测】 1. 已知坐标平面上有一等边三角形 ABC,其坐标分别为点 A(0,0),B(2,0),将△ABC 绕点 B 顺时针方向旋转 60°,如图所示,则旋转后点 C 的坐标为 (　 　 ) A. (2+ 3 ,1) B. (2+ 3 , 3 ) C. (3,1) D. (3, 3 ) 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. (必考题)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上,点 B(3,0), 点 D(1,2),将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转,每次旋转 90°,当第 2 023 次旋转结 束时,点 C 的坐标为 (　 　 ) A. ( -1,-2) B. ( -1,2) C. (2,-3) D. (3,-2) 301 3. (易错题)如图,在△ABO 中,AB⊥OB,OB= 3 ,AB= 1。 将△ABO 绕点 O 旋转 90°后 得到△A1B1O,则点 A1 的坐标为　 　 　 　 　 　 　 　 。 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠B = 30°,D,E 分别是 AB,AC 上的点,且 DE∥BC。 △ADE 绕点 A 逆时针旋转至点 B,A,E 在同一条直线上,连接 BD,CE。 下列结论: ①△ADE 的旋转角为 120°;②BD = CE;③BE = AD+AC;④DE⊥AC。 其中正确的有 。 5. 如图,在△ABC 中,AC = BC,E 是 AB 上一点,且 CE = BE,将△CBE 绕点 C 旋转得 到△CAD。 (1)求证:AB∥DC; (2)连接 DE,判断四边形 BEDC 的形状,并说明理由。 6. 如图,O 是等边三角形 ABC 内一点,将 CO 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 CD,连接 OD, AO,AD, (1)求证:△BCO≌△ACD; (2)若∠BOC= 150°,OB= 8,OC= 6,求△AOD 的面积。 7. (核心素养·推理能力)在△ABC 中,AB =BC = 2,∠ABC = 120°,将△ABC 绕点 B 顺 时针旋转角 α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B 交 AC 于点 E,A1C1 分别交 AC,BC 于 D,F 两点。 (1)如图 1,观察并猜想,在旋转过程中,线段 BE 与 BF 有怎样的数量关系? 并证明 你的结论; (2)如图 2,当 α= 30°时,试判断四边形 BC1DA 的形状,并说明理由。 图 1 　 图 2 401 (2) 如图, △OA2B2 即为所求作。 点 A2 的坐标为 ( -1,3)。 (3)6 【随堂小测】 1. C 2. C　 【解析】如图,设 AB 与 EF 的交点为 H。 正方形 ABCD 的边长为 1,将其绕顶点 C 按逆时针方向旋转 一定角度到正方形 CEFG 的位置,使得点 B 落在对角 线 CF 上,∴ EF = CE = 1。 ∴ CF = 2。 ∴ BF = 2 - 1。 ∵ ∠BFE= 45°,∴ BH=BF= 2 -1。 ∴ S阴影部分 = 1 2 ×1× 1- 1 2 ×( 2 -1) 2 = 2 -1。 故选 C。 3. 作线段 AA′,BB′的垂直平分线,交点 O 即为旋转中心 如图所示。 4. 3- 7 　 【解析】∵ 正方形 OABC 和正方形 ODEF 的面 积分别为 7 和 9,∴ a = OA = 7,b = OD = 3。 ∴ b-a = 3- 7。 5.解:(1)如图,四边形 ABCD 即为所求。 (2)矩形　 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【解析】 ∵ ∠1 = ∠2,∴ OA = OB。 由旋转的性质知 OA=OC,OB = OD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ AC= 2OA,BD= 2OB,OA=OB,∴ AC=BD。 ∴ 四边形 ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)。 6.解:(1)如图,线段 CD 和线段 EF 即为所求作。 (2)( -1,-1) 7.解:(1)如图,△BEF 即为所求作。 (2)如图,过点 B 作 BH⊥AF 于点 H。 ∵ ∠C= 90°,AC= 4,BC= 3, ∴ AB= AC2 +BC2 = 5。 由旋转的性质可知 BE=BC = 3,BF = AB = 5,EF = AC = 4,∠BEF= ∠C= 90°, ∴ AE=AB-BE= 5-3 = 2。 在 Rt△AEF 中,根据勾股定理, 得 AF= EF2 +AE2 = 42 +22 = 2 5 。 ∵ S△ABF = 1 2 AB·EF= 1 2 AF·BH, ∴ 1 2 ×5×4 = 1 2 ×2 5BH。 解得 BH= 2 5 。 故 AF 边上的高为 2 5 。 第 3 课时　 有关旋转问题的证明 【边学边练】 1. B 2. ( 2 ,- 2 )　 【解析】如图,过点 A1 作 A1C⊥OB。 ∵ 将三角尺绕 原 点 O 顺 时 针 旋 转 75°, ∴ ∠AOA1 = 75°, OA1 = OA。 ∴ ∠COA1 = 45°。 ∴ △OA1C 是 等腰直角三角形。 ∵ 点 A( 3, 1),∴ OA1 = OA = ( 3) 2 +12 = 2。 ∴ 2OC2 = OA1 2。 ∴ OC=CA1 = 2。 ∴ 点 A1 的坐标为( 2,- 2)。 3.证明:∵ AB=AC,∠BAC=α,AD 是 BC 边上的中线, ∴ ∠BAD= ∠CAD= 1 2 α。 ∵ 将线段 AE 绕着点 A 逆时针旋转 α 度得到线段 AF, ∴ AE=AF,∠EAF= ∠BAC=α。 ∴ ∠BAD= ∠CAF= ∠CAE。 ∴ △ACE≌△ACF(SAS)。 ∴ CE=CF。 【随堂小测】 1. D　 【解析】如图,设旋转后点 C 对应点 D,过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E。 ∵ △ABC 是等边三角形,点 A(0, 0),B(2,0),且将△ABC 绕点 B 顺时针方向旋转 60°, ∴ AB= BC = CD = DB = 2,∠ABD = 120°。 ∴ ∠DBE = 60°。 ∴ BE= 1 2 BD = 1,DE = 3。 ∴ AE = AB+BE = 3。 ∴ 旋转后点 C 的坐标为(3, 3)。 故选 D。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 351 2. D　 【解析】如图,由题可知将矩形 ABCD 绕点 A 逆时 针旋转,每次旋转 90°,∴ 每旋转 4 次则回到原位置。 ∵ 2 023÷4 = 505……3,∴ 第 2 023 次旋转结束后,图 形顺时针旋转了 90°。 ∵ 点 B(3,0),D(1,2),∴ C(3, 2)。 ∴ 第 2 023 次旋转结束时,点 C 的坐标为(3, -2)。 故选 D。 3. (1,- 3 )或( -1, 3 )　 【解析】在△ABO 中,AB⊥OB, OB= 3,AB = 1,∴ ∠AOB = 30°。 当△ABO 绕点 O 顺 时针旋转 90° 后 得 到 △A1B1O,如 图 1。 ∵ △AOB ≌ △A1OB1, ∴ OB1 = OB = 3, A1B1 = AB = 1。 ∴ 点 A1(1,- 3);当△ABO 绕点 O 逆时针旋转 90°后 得到△A1B1O,如图 2。 同理点 A1(-1, 3)。 图 1 　 　 图 2 4. ②③④　 【解析】∵ AB = AC,∠B = 30°,∴ ∠B = ∠C = 30°,∠BAC= 120°。 ∴ 将△ADE 绕点 A 逆时针旋转至 点 B,A,E 在同一条直线上,△ADE 的旋转角为 180°- 120° = 60°。 故①错误;∵ DE∥BC,∴ ∠ADE = ∠B, ∠AED= ∠C。 ∴ ∠ADE = ∠AED。 ∴ AD = AE。 ∴ BD =CE,BE = AE+AB = AD+AC。 故②,③正确;∵ ∠BAC = ∠DAE= 120°,∴ ∠CAE = 180° -∠BAC = 60°,∠CAD = 120°-∠CAE= 60°。 ∴ ∠DAC = ∠EAC。 ∵ AD = AE, ∴ DE⊥AC。 故④正确。 5.解:(1)证明:由旋转的性质,得∠BCE= ∠ACD。 ∵ AC=BC, ∴ ∠B= ∠BAC。 ∵ CE=BE, ∴ ∠B= ∠BCE。 ∴ ∠ACD= ∠BAC。 ∴ AB∥DC。 (2)四边形 BEDC 是平行四边形。 理由如下: 由旋转的性质,得 CD=CE。 ∵ CE=BE, ∴ CD=BE。 ∵ AB∥DC, ∴ 四边形 BEDC 是平行四边形。 6.解:(1)证明:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ CB=CA,∠ACB= 60°。 ∵ CO=CD,∠OCD= 60°, ∴ ∠ACB= ∠OCD。 ∴ ∠BCO= ∠ACD。 ∵ CB=CA,CO=CD, ∴ △BCO≌△ACD(SAS)。 (2)∵ △BCO≌△ACD, ∴ OB=DA= 8,∠BOC= ∠ADC= 150°。 ∵ CO=CD,∠OCD= 60°, ∴ △ODC 是等边三角形。 ∴ OD=OC= 6,∠ODC= 60°。 ∴ ∠ADO= ∠ADC-∠ODC= 150°-60° = 90°。 ∴ S△AOD = 1 2 ·AD·DO= 24。 7.解:(1)BE=BF。 证明如下: ∵ AB=BC,∴ ∠A= ∠C。 ∵ △ABC 绕点 B 顺时针旋转角 α ( 0° < α < 90°) 得△A1BC1 , ∴ BA=BC=BC1 ,∠A= ∠C= ∠C1 ,∠ABE= ∠C1BF。 ∴ △ABE≌△C1BF。 ∴ BE=BF。 (2)四边形 BC1DA 是菱形。 理由如下: ∵ AB=BC= 2,∠ABC= 120°, ∴ ∠A= ∠C= 30°。 ∴ ∠A1 = ∠C1 = 30°。 ∵ ∠ABA1 = ∠CBC1 = 30°, ∴ ∠ABA1 = ∠A1 ,∠CBC1 = ∠C。 ∴ A1C1∥AB,AC∥BC1 。 ∴ 四边形 BC1DA 是平行四边形。 又∵ AB=BC1 , ∴ 四边形 BC1DA 是菱形。 小专题 7　 旋转的性质在几何证明中的应用 1. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AB=DC,∠BAE= ∠D= 90°。 由旋转性质,得 EF=CD,∠EFH= ∠D= 90°, ∴ AB=EF,∠BAE= ∠EFH。 在矩形 BEFG 中,FG∥BE,∴ ∠AEB= ∠FHE。 在△ABE 和△FEH 中, ∠AEB= ∠FHE, ∠BAE= ∠EFH, AB=FE, { ∴ △ABE≌△FEH(AAS)。 (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠BEH= ∠EBC= 30°。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 451