小专题3 勾股定理及其逆定理的应用-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

小专题 3　 勾股定理及其逆定理的应用 一、判定三角形的形状 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 如图,李大爷计划在一块△ABC 空地上铺设地板砖,其中 BD= 6 米,BC= 10 米,CD= 8 米,AC= 17 米,若每平方米铺设地板砖费用需要 100 元,则在这块空地上铺设地板 砖费用预算为多少元? 二、几何中的折叠问题 2. 如图,折叠长方形一边 AD,点 D 落在边 BC 的点 F 处,已知 BC = 10 厘米,AB = 8 厘 米,那么 CE 的长为 (　 　 ) A. 5 2 厘米 B. 5厘米 C. 3 厘米 D. 7 3 厘米 三、平面图形中的最短路线问题 3. 如图,在菱形 ABCD 中,∠D = 135°,AD = 3 2 ,CE = 2,P 是线段 AC 上一动点,F 是线 段 AB 上一动点,则 PE+PF 的最小值为 (　 　 ) A. 2 2 B. 3 C. 2 5 D. 10 4. 在一条东西走向的河一侧有一村庄 C,河边原有两个取水点 A,B,其中 AB=AC,由于 某种原因,由 C 到 A 的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个 取水点 H(A,H,B 在同一条直线上),并新修一条路 CH,测得 CB = 2. 5 千米,CH = 2 千米,HB= 1. 5 千米。 (1)问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路? 请通过计算加以说明; (2)求原来的路线 AC 的长。 (结果精确到 0. 01) 四、立体图形中的最短路线问题 5. 如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为 9,3 和 1,A 和 B 是这个台阶 两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,则这只蚂蚁沿着台阶 面爬行的最短路程是 (　 　 ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 15 34 6. 如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为 16 cm,在容器内壁离容 器底部 4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿 4 cm 的点 A 处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为 20 cm,则该圆柱底面周长为 (　 　 ) A. 12 cm B. 14 cm C. 20 cm D. 24 cm 第 6 题图 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,现有一长方体的实心木块,有一蚂蚁从 A 处出发沿长方体表面爬行到 C′处, 若长方体的长 AB = 4 cm,宽 BC = 2 cm,高 BB′= 1 cm,则蚂蚁爬行的最短路径长是 　 　 　 　 。 五、在实际中的应用 8. 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼,如图,已知电梯的长、宽、高分别为 1 m,1 m,2 m,则电梯内能放入这些木条的最大长度为 (　 　 ) A. 2. 6 m B. 2. 4 m C. 2. 2 m D. 2 m 9. (传统文化)如图,《九章算术》中记载:今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去 本八尺而索尽,问索长几何? 译文:今有一竖直的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳 索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺(绳子比木柱长 3 尺),牵着 绳索退行,在距木柱底部 8 尺(BC= 8 尺)处时绳索用尽,求木柱的长。 　 　 10. 有一架秋千,当它静止时,踏板离地垂直高度 DE= 0. 5 m,将它往前推送 2 m(水平 距离 BC= 2 m)时,踏板离地的垂直高度 BF= 1. 5 m,秋千的绳索始终拉得很直。 (1)求绳索 AD 的长; (2)直接写出将它往前推送 1. 5 m(水平距离 BC= 1. 5 m)时,秋千踏板离地的垂直 高度 BF= m。 　 　 44 6.解:∵ a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,m 的绝对值 是 2, ∴ a+b= 0,cd= 1,m= ±2。 ∴ a +b+m2 +1 cd = 0+4+1 1 = 5。 则 5 的平方根为± 5 。 7.解:(1)3 (2)∵ 线段 AB 平行于 x 轴,点 B 的坐标为( 2,4), ∴ 设点 A 的坐标为(a,4)。 ∵ AB = 3,∴ 点 A 的横坐 标为 | a-2 | = 3。 ∴ a = 5 或 a = -1。 ∴ 点 A 的坐标为 (5,4)或( -1,4)。 故答案为(5,4)或( -1,4)。 (3) 50 (4)△ABC 是等腰直角三角形。 理由如下: ∵ 点 A(3,4),B(0,5),C( -1,2), ∴ AB= (3-0) 2 +(4-5) 2 = 10 , BC= (0+1) 2 +(5-2) 2 = 10 , AC= (3+1) 2 +(4-2) 2 = 20 。 ∴ AB=BC,AB2 +BC2 = 20 =AC2 。 ∴ △ABC 是等腰直角三角形。 小专题 3　 勾股定理及其逆定理的应用 1.解:∵ BD= 6 米,BC= 10 米,CD= 8 米, ∴ BD2 +CD2 =BC2 。 ∴ △CDB 是直角三角形。 ∴ ∠CDB= 90°。 ∴ ∠CDA= 90°。 在 Rt△ADC 中, AD= AC2 -CD2 = 172 -82 = 15(米)。 ∴ AB=AD+BD= 21 米。 ∴ S△ABC = 1 2 ×21×8 = 84(平方米)。 ∴ 100×84 = 8 400(元)。 ∴ 在这块空地上铺设地板砖费用预算为 8 400 元。 2. C　 【解析】设 CE 的长为 x 厘米,DE = (8 -x)厘米。 ∵ △ADE 折叠后的图形是△AFE,∴ AD = AF,∠D = ∠AFE,DE = EF。 ∵ AD = BC = 10 厘米,∴ AF = AD= 10 厘米。 又∵ AB= 8 厘米,在 Rt△ABF 中,根据勾股 定理,得 AB2+BF2 =AF2,∴ 82+BF2 =102。 ∴ BF= 6 厘米。 ∴ FC=BC-BF= 10-6 = 4(厘米)。 在 Rt△EFC 中,根 据勾股定理,得 FC2 +CE2 = EF2。 ∴ 42 +x2 = (8-x) 2, 即 16+x2 = 64-16x+x2。 解得 x= 3。 故 CE 的长为 3 厘 米。 故选 C。 3. D　 【解析】如图,作点 E 关于 AC 的 对 称 点 G, ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ 点 G 在 DC 上。 连接 PG,GE,连接 BG,过点 B 作 BH⊥CD 于点 H,则 PE = PG,CE=CG = 2。 ∵ ∠D = 135°,∴ ∠BCH = 180° -∠D = 45°。 ∵ ∠BHC = 90°,∴ ∠BCH = ∠CBH = 45°。 在 Rt△BHC 中,2CH2 = BC2 = AD2 = (3 2 ) 2,∴ CH = 3。 ∴ HG = 3 - 2 = 1。 在 Rt △BHG 中,BG = 32 +12 = 10。 ∵ 当点 F 与点 B 重合时,PE+PF=PG+PB=BG (最短),∴ PE+PF 的最小值是 10。 故选 D。 4.解:(1)是。 理由如下, 在△CBH 中,CB= 2. 5 千米,CH= 2 千米, HB= 1. 5 千米。 ∵ CH2 +HB2 = 22 +1. 52 = 6. 25,CB2 = 2. 52 = 6. 25, ∴ CH2 +HB2 =CB2 。 ∴ CH⊥AB。 故 CH 是从村庄 C 到河边的最近路。 (2)设 AC=x 千米,则 AB=AC=x 千米,AH=(x-1.5)千米。 在 Rt△AHC 中,由勾股定理,得 AH2 +HC2 =AC2 , ∴ x2 = (x-1. 5) 2 +22 。 解得 x≈2. 08。 ∴ 原来的路线 AC 的长约为 2. 08 千米。 5. D　 【解析】如图是台阶表面的展开 图。 ∵ AC = 3 × 3 + 1 × 3 = 12,BC = 9, ∴ AB2 = AC2 +BC2 = 225。 ∴ AB = 15。 ∴ 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 路 程 为 15。 故 选 D。 6. D　 【解析】如图是圆柱形 玻璃容器的侧面展开图, EG 为上底面圆周长的一 半,作点 A 关于 EG 的对 称点 A′,连接 A′B 交 EG 于点 F,则蚂蚁吃到蜂蜜 需爬行的最短路径为 AF+BF 的长,即 AF+BF = A′B = 20 cm。 过点 A′作 A′D⊥BG 交 BG 的延长线于点 D。 ∵ AE = A′E = DG = 4 cm,∴ BD = 16 cm。 在Rt△A′DB 中,由勾股定理,得 A′D= 202 -162 = 12(cm)。 ∴ 该 圆柱底面周长为 24 cm。 故选 D。 7. 5 cm　 【解析】长方体相邻两面的展开图共有三种, 连接 AC′,则 AC′的长就是爬行路线最短时的长度,分 为三种情况:如图 1,AB = 4 cm,BC′ = 2 + 1 = 3( cm)。 在 Rt △ABC′中, 由 勾 股 定 理, 得 AC′ = 42 +32 = 5(cm);如图 2,AC = 4+ 2 = 6(cm),CC′ = 1 cm。 在 Rt△ACC′中,由勾股定理,得 AC′ = 62 +12 = 37 > 5;如图 3,同法可求 AC′= (1+4) 2 +22 = 29 >5,即 蚂蚁爬行的最短路径长是 5 cm。 图 1 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 031 图 3 8. B　 【解析】如图。 根据勾股定理,得 AB2 = 12 +12 = 2, AC2 =AB2 +BC2 = 2 + 4 = 6,故 AC = 6 m > 2. 4 m。 故 选 B。 9.解:设木柱的长为 x 尺,则绳索长为(x+3)尺。 根据题意,得 x2 +82 = (x+3) 2 。 解得 x= 55 6 。 ∴ 木柱的长为 55 6 尺。 10.解:(1)由题意可知 CE=BF= 1. 5 m,BC= 2 m。 ∵ DE= 0. 5 m,∴ CD=CE-DE= 1. 5-0. 5 = 1(m)。 设 AD=AB= x m,则 AC= (x-1)m。 ∵ BC⊥AE,∴ ∠ACB= 90°。 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 BC2 +AC2 =AB2 , 即 22 +(x-1) 2 = x2 。 解得 x= 2. 5。 ∴ 绳索 AD 的长是 2. 5 m。 (2)在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC= AB2 -BC2 = 2. 52 -1. 52 = 2(m), ∴ CD=AD-AC= 2. 5-2 = 0. 5(m)。 ∴ BF=CE=CD+DE= 0. 5+0. 5 = 1(m)。 故答案为 1。 第 8 章　 一元一次不等式 8. 1　 不等式的基本性质 第 1 课时　 实数的大小比较 【边学边练】 1. <　 【解析】∵ 4-2- 2 -3 = -1- 2 <0。 ∴ 4-2- 2 <3。 2. <　 【解析】∵ ( 7 -3)-( 5 -2)= 7 - 5 -1<1-1 = 0, ∴ 7 -3< 5 -2。 3.解:由于 x-y= 2a2 +3b-(a2 +3b-1)= a2 +1>0,即 x-y> 0,∴ x>y。 【随堂小测】 1. A　 【解析】∵ x2 -x-(x-1)= x2 -x-x+1 = (x-1) 2,∴ 当 x= 3时,原式=( 3 -1) 2 >0。 ∴ x2 -x>x-1。 故选 A。 2. >　 【解析】∵ (3x2 -2x+1) -(3x2 -3x+4)= x-3,∴ 当 x>3 时,x-3>0。 ∴ 3x2 -2x+1>3x2 -3x+4。 3. a>d>b>c　 【解析】∵ a = | - 3 - 2 | = 3 + 2 > 0,b = | - 2 | - | - 3 | = 2 - 3 < 0,c = - 3 - | - 2 | = - 3 - 2 <0,d= - | - 2 | -(- 3 )= 3 - 2 >0, 3 + 2 > 3 - 2 > 2 - 3 >- 3 - 2,∴ a>d>b>c。 4. <　 【解析】 - 1 2 -1- 3 2 = 3 -2 2 。 ∵ ( 3 ) 2 = 3,22 = 4, 3<4,∴ 3 <2。 ∴ 3 -2 2 <0。 ∴ - 1 2 <1 - 3 2 。 5. (1) -5　 4 (2) <　 【解析】∵ a2 ≥0,∴ a2 +1>a2 >-3。 ∴ max{a2, a2 +1,-3} =a2 +1。 又∵ F{a-2,3} =(a-2) 2 -32 = (a- 2) 2 -9,∴ F{a-2,3} -max{a2,a2 +1,-3} = (a-2) 2 - 9-a2-1=-4a-6。 又∵ a 是正数,∴ -4a-6<0。 ∴ F{a-2, 3}<max{a2,a2 +1,-3}。 6.解:(1)①>　 ② = 　 ③< (2)9 - 22 4 - 2 3 = 27-3 22 -8 12 = 19-3 22 12 。 ∵ 4< 22 <5, ∴ 12<3 22 <15。 ∴ 19-3 22 >0。 ∴ 19 -3 22 12 >0。 ∴ 9 - 22 4 > 2 3 。 7.解:(1)∵ a3 +a-3 = p①,a3 -a-3 = q②, ∴ ①+②,得 2a3 = p+q= 4。 ∴ a3 = 2。 ①-②,得 p-q= 2a-3 = 2 a3 = 1。 (2)∵ q2 = 22n+2-2n-2(n≥1,且 n 是整数), ∴ q2 = (2n-2-n) 2 。 ∴ q= 2n-2-n。 又由(1)中①+②,得 2a3 = p+q,a3 = 1 2 (p+q); ①-②,得 2a-3 = p-q,a-3 = 1 2 (p-q)。 ∴ p2 -q2 = 4,p2 = q2 +4 = (2n+2-n) 2 。 ∴ p= 2n+2-n。 ∴ a3 +a-3 = 2n+2-n③,a3 -a-3 = 2n-2-n④。 ∴ ③+④,得 2a3 = 2×2n。 ∴ a3 = 2n。 ∴ p-(a3 + 1 4 )= 2n+2-n-2n- 1 4 = 2-n- 1 4 。 当 n= 1 时,p>a3 + 1 4 ;当 n= 2 时,p=a3 + 1 4 ; 当 n≥3 时,p<a3 + 1 4 。 8.解:不能。 理由如下, 设长方形的长 DC 为 3x cm,宽 AD 为 2x cm。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 131