7.3.2 用数轴上的点表示无理数-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

第 2 课时　 用数轴上的点表示无理数 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 无理数与数轴上的点的关系 1. (易错题)下列说法错误的是 (　 　 ) A. 任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示 B. 数轴上的点表示的数不全是有理数 C. 数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数 D. 数轴上的点表示的数都是无理数 2. (原创题)①π 可以用数轴上的点表示;② 2 , 3 , 5 都可以用数轴上的点准确地表 示出来;③无理数 0. 101 001 000 1……可以用数轴上的点来表示。 其中正确的序号 是 。 知识点二　 无理数用数轴上的点来表示 3. 如图,数轴上的点 A 所表示的数为 x,则 x 为 (　 　 ) A. 2 B. - 2 C. 1. 5 D. -1. 5 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,以点 C 为圆心,BC 的长为半径的圆与数轴交于点 A,点 A 所表示的数为 a,则 a 的值是 (　 　 ) A. 10 +2 B. 10 -2 C. - 10 +2 D. - 10 -2 【随堂小测】 1. (必考题)对于-3+ 5的叙述,下列说法中正确的是 (　 　 ) A. 它不能用数轴上的点表示出来 B. 它是一个无理数 C. 它比 0 大 D. 它的相反数是 3+ 5 2. 如图,半径为 1 个单位长度的圆从点 A 沿数轴向右滚动(无滑动)两周到达点 B,若 点 A 表示的数是-3,则点 B 表示的数是 (　 　 ) A. 3-2π B. -4π C. 3-4π D. 4π-3 92 3. 如图,面积为 7 的正方形 ABCD 的顶点 A 在数轴上,且点 A 表示的数是 1,若点 E 在 数轴上,(点 E 在点 A 的右侧)且 AB=AE,则点 E 所表示的数是 (　 　 ) A. 1+ 7 B. 2+ 7 C. 3+ 7 D. 4+ 7 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 第 6 题图 4. 有一个边长为 1 的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方 形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如 图,如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了 2 023 次后形 成的图形中所有正方形的面积和是 (　 　 ) A. 2 024 B. 2 023 C. 2 022 D. 1 5. (易错题)已知数轴上 A,B 两点间的距离为 2 ,如果点 A 所表示的数是-1,那么点 B 所表示的数是　 　 　 　 　 　 　 　 。 6. (原创题)如图,直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的 2 倍,且两个顶 点在数轴上对应的数分别为-1 和 1,以斜边为半径的弧交数轴于点 A,点 C 所表示 的数是 2,点 A 与点 B 关于点 C 对称,则点 B 表示的数是 。 7. (核心素养·运算能力)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,每个小 正方形的顶点叫格点,已知△ABC 是网格中的格点三角形。 (1)求 BC 的长; (2)求△ABC 的面积; (3)求 BC 边上的高。 8. (核心素养·几何直观)如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,3)和点 B(4,0)。 (1)在 x 轴上求点 C,使得 BA=BC,请求出点 C 的坐标; (2)在 y 轴上求点 D,使得∠ABD= 90°,请求出点 D 的坐标。 03 7. 3　 2是有理数吗 第 1 课时　 2是有理数吗 【边学边练】 1. B　 【解析】A. 开方开不尽的数是无理数,但是无理数 不仅仅是开方开不尽的数,故 A 选项错误;B. 无理数 是无限不循环小数,故 B 选项正确;C. 0 是有理数,故 C 选项错误;D. π 2 不是分数,是无理数,故 D 选项错 误。 故选 B。 2. C　 【解析】无理数有 5,π,2+ 3,3.212 212 221…(相 邻两个 1 之间依次增加一个 2),共 4 个。 故选 C。 3. B　 【解析】∵ 4<5<9,∴ 2< 5 <3。 ∵ 2.52 = 6.25,∴ 2< 5 <2.5,即 5最接近 2。 故选 B。 4.解:∵ 2< 5 <3, ∴ 2+9<9+ 5 <3+9。 ∴ 11<9+ 5 <12。 ∴ x= 11,y= 9+ 5 -11 = 5 -2。 ∴ x-y= 11-( 5 -2)= 13- 5 。 ∴ x-y 的相反数是 5 -13。 【随堂小测】 1. D　 【解析】设正方形瓷砖的边长为 a cm,则 a2 = 60。 ∴ a = 60。 ∵ 49 < 60 < 64,即 7 < a < 8。 故 选 D。 2. C　 【解析】①12 < 2< 22,∴ 2 的整数部分是 1。 故说 法①错误;②因为 a可以是 0 或正数,故说法②错误; ③因为绝对值等于本身的数是正数或 0,故说法③错 误;④因为带根号的数不一定是无理数,如 4 = 2,故 说法④错误;⑤因为在 1 和 3 之间的无理数有无数 个,故说法⑤错误;⑥2- 7 的相反数是 7 -2,故说法 ⑥正确。 所以不正确的有 5 个。 故选 C。 3. A　 【解析】∵ 142 <199<152,∴ 14< 199 <15,即 14< 199 <14+1。 ∴ n 的值为 14。 故选 A。 4. B　 【解析】 ∵ 4 < 5 < 9,∴ 2 < 5 < 3。 ∴ 1 < 5 - 1 < 2。 ∴ 0. 5< 5 -1 2 <1。 故选 B。 5. 3　 【解析】无理数有 1. 121 121 112 111 12…(相邻的 两个 2 之间依次多 1 个 1), 8, π 2 ,共 3 个。 6. 3　 【解析】∵ 16<21<25,∴ 4< 21 <5。 ∴ a = 4,b = 5。 ∴ a+b= 4+5 = 9。 ∴ a+b 的算术平方根是 3。 7.解:由题意,得 a= 4,b-1 = 11。 解得 b= 12。 ∴ a+b = 16 = 4。 8.解:(1)1　 1　 (2)由(1)知 1< 10 ÷2<2,1<5- 10 <2, ∴ a= 10 2 -1,b= 5- 10 -1 = 4- 10 。 ∴ a2 -b2 = ( 10 2 -1) 2 -(4- 10 ) 2 = 2.5- 10 +1-16+ 8 10 -10 = 7 10 -22.5。 第 2 课时　 用数轴上的点表示无理数 【边学边练】 1. D 2. ①②③ 3. A　 【解析】根据题意,得 x= 12 +12 = 2。 故选 A。 4. C　 【解析】根据题意,得 BC = 32 +12 = 10,即 AC =BC= 10。 ∵ 点 C 表示的数为 2,∴ 点 A 表示的数 为 2- 10。 故选 C。 【随堂小测】 1. B　 【解析】-3+ 5能用数轴上的点表示出来,故选项 A 不符合题意;-3+ 5 是一个无理数,故选项 B 符合 题意;∵ -3+ 5 <-3+3 = 0,∴ -3+ 5 比 0 小。 故选项 C 不符合题意;-3+ 5的相反数是 3- 5,故选项 D 不 符合题意。 故选 B。 2. D　 【解析】滚动两周的距离为 2×2π×1 = 4π,点 A 表 示的数是-3,则点 B 表示的数是-3+4π。 故选 D。 3. A　 【解析】∵ 正方形 ABCD 的面积为 7,∴ AB2 = 7。 ∴ AB= 7。 ∴ AE = AB = 7。 ∵ 点 A 表示的数是 1, ∴ 点 E 表示的数是 1+ 7。 故选 A。 4. A　 【解析】由题意,得正方形 A 的面积为 1。 由勾股 定理,得正方形 B 的面积 + 正方形 C 的面积 = 1, ∴ “生长”了 1 次后形成的图形中所有正方形的面积 和为 2。 同理可得“生长”了 2 次后形成的图形中所 有正方形的面积和为 3。 ∴ “生长”了 3 次后形成的 图形中所有正方形的面积和为 4……∴ “生长” 了 2 023 次后形成的图形中所有正方形的面积和为 2 024。 故选 A。 5. -1+ 2或-1- 2 6. 5- 5 　 【解析】根据勾股定理,得斜边长为 5,∴ AC= 3- 5。 ∵ 点 A 与点 B 关于点 C 对称,∴ BC = 3- 5。 ∴ 点 B 表示的数是 5- 5。 7.解:(1)由题图可知 BC= 12 +42 = 17 。 (2)S△ABC = 4×4- 1 2 ×1×4- 1 2 ×2×4- 1 2 ×2×3 = 16-2- 4-3 = 7。 (3) 如图,标注各点并过点 A 作 AH⊥BC 于点 H。 ∵ S△ABC = 1 2 BC·AH, ∴ 7 = 1 2 × 17 ×AH。 ∴ AH= 14 17 17 。 ∴ BC 边上的高为14 17 17 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 521 8.解:(1)∵ 点 A(0,3),B(4,0), ∴ AO= 3,BO= 4。 ∴ AB= OB2 +OA2 = 42 +32 = 5。 根据题意可知在 x 轴上有点 C,使得 BA =BC,则有两 种情况, 若点 C 在点 B 的左侧,则点 C 的坐标为( -1,0); 若点 C 在点 B 的右侧,则点 C 的坐标为(9,0)。 ∴ 点 C 的坐标为(9,0)或( -1,0)。 (2)如图,连接 BD。 由题意知∠ABD= 90°。 在 Rt△ADB 和 Rt△ODB 中,根 据勾股定理,得 AD2 -AB2 = BD2 =OB2 +OD2 。 ∴ (3+OD) 2 -52 = 42 +OD2 。 解得 OD= 16 3 。 ∴ 点 D 的坐标为(0,- 16 3 )。 7. 4　 勾股定理的逆定理 【边学边练】 1. C　 【解析】A. 12 +22 = 5≠22,故不能构成直角三角形, 不符合题意;B. 22 +32 = 13≠42,故不能构成直角三角 形,不符合题意;C. 12 +( 2) 2 = 3 =( 3) 2,故能构成直 角三角形,符合题意;D. ( 2 ) 2 +( 3 ) 2 = 5≠22,故不 能构成直角三角形,不符合题意。 故选 C。 2. A　 【解析】 A. 32 + 42 = 52,故是勾股数,符合题意; B. 52 +102 ≠122,故不是勾股数,不符合题意;C. 0. 6, 0. 8 不是正整数,故不是勾股数,不符合题意;D. 82 + 152 ≠162,故不是勾股数,不符合题意。 故选 A。 3. 96　 【解析】在 Rt△ADC 中,∠ADC= 90°,AD= 8,CD= 6,∴ AC2 = AD2 +CD2 = 82 + 62 = 100。 ∴ AC = 10。 在 △ABC 中,∵ AC2 +BC2 = 102 +242 = 676,AB2 = 262 = 676, ∴ AC2 +BC2 = AB2。 ∴ △ABC 为直角三角形,S阴影 = SRt△ABC-SRt△ACD = 1 2 ×10×24- 1 2 ×8×6 = 96。 4.解:(1)△ABE 是直角三角形。 理由如下: ∵ BC2 = 132 = 169,BE2 = 122 = 144,CE2 = 52 = 25, ∴ BE2 +CE2 =BC2 。 ∴ ∠BEC= 90°。 ∴ ∠BEA= 90°。 ∴ △ABE 是直角三角形。 (2)设 AB=AC= x,则 AE= x-5。 由(1)可知△ABE 是直角三角形, ∴ 122 +(x-5) 2 = x2 。 解得 x= 16. 9。 ∴ AB= 16. 9。 【随堂小测】 1. B　 【解析】∵ △ABC 的三边长分别为 9,40,41,92 + 402 = 412,∴ △ABC 是直角三角形,两直角边长是 9, 40。 ∴ △ABC 的面积为 1 2 ×9×40 = 180。 故选 B。 2. A　 【解析】∵ (a+c)(a-c)= b2,∴ a2 -c2 = b2。 ∴ a2 = b2 + c2。 ∴ △ABC 是 直 角 三 角 形, ∠A 是 直 角。 故 选 A。 3. C　 【解析】A. ∵ ∠A ∶ ∠B ∶ ∠C= 1 ∶ 2 ∶ 3,∠A+∠B+ ∠C= 180°,∴ ∠C = 90°。 ∴ △ABC 是直角三角形。 B. ∵ ∠A+∠B = ∠C,∠A+∠B+∠C = 180°,∴ ∠C = 90°。 ∴ △ABC 是直角三角形。 C. ∵ (32) 2 +(42) 2 ≠ (52) 2,∴ △ABC 不是直角三角形。 D. ∵ a2 -b2 = c2, ∴ a2 = b2 +c2。 ∴ △ABC 是直角三角形。 故选 C。 4. 6. 5　 【解析】∵ AB = 5,BC = 12,AC = 13,∴ AB2 +BC2 = 25+ 144 = 169, AC2 = 132 = 169,即 AB2 + BC2 = AC2。 ∴ △ABC 为以 AC 为斜边的直角三角形。 又∵ D 为 AC 的中点,即 BD 为斜边上的中线, ∴ BD= 1 2 AC= 6. 5。 5. 45°　 【解析】如图,连接 AB。 ∵ OA2 = 12 +32 = 10,AB2 = 12 +32 = 10,OB2 = 22 +42 = 20,10+10 = 20,∴ OA2 +AB2 = OB2。 ∴ △AOB 是 等 腰 直 角 三 角 形。 ∴ ∠AOB = 45°。 6. 3　 【解析】如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E。 ∵ AC= 6,BC= 8,AB = 10,即 AC2 +BC2 = AB2,∴ ∠ACB = 90°。 ∵ AD 是△ABC 的角平分线,AC⊥BC,DE⊥ AB,∴ DC= DE。 ∵ S△ADB = 1 2 DE·AB = 1 2 AC·BD = 1 2 AC·(BC-DE),∴ 1 2 ×DE× 10 = 1 2 × 6×(8-DE)。 解得 DE= 3。 ∴ CD=DE= 3。 7.证明:如图,连接 FC。 设正方形 ABCD 的边长为 a。 ∵ E 为 AD 的中点, ∴ AE=ED= 1 2 AD= 1 2 a。 ∵ AF= 1 4 AB= 1 4 a, ∴ BF=AB-AF=a- 1 4 a= 3 4 a。 ∴ FE2 =AE2 +AF2 = 1 4 a2 + 1 16 a2 = 5 16 a2 ,EC2 =DE2 +DC2 = 1 4 a2 +a2 = 5 4 a2 。 ∴ FE2 +EC2 = 5 16 a2 + 5 4 a2 = 25 16 a2 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 621