辽宁省大连市第二十三中学2023-2024学年高三下学期校模拟考试数学试题

大连市第二十三中学2023-2024下学期高三校模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 随机变量X服从正态分布，若，则为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 4. 在中，角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 记为等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 7. 寒假期间，甲、乙、丙、丁名同学相约到4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. 过圆锥的两条母线做截面，面积的最大值是8 D. 圆锥侧面积是 10. 设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆与相切 C. 以为直径的圆过坐标原点 D. 为直角三角形 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若动直线与的图象的交点分别为，则的长可为 B. 若动直线与的图象的交点分别为，则的长恒为 C. 若动直线与的图象能围成封闭图形，则该图形面积的最大值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为______． 13. 若直线与曲线相切，则的取值范围为___________. 14. 根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即，则__________，设，的前n项和为，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，. （1）证明：//平面BDM； （2）求平面AMB与平面BDM的夹角. 16. 某高中为大力提高高中生的体能，预计在年初推出六项体育运动项目，要求全校每名学生必须参加一项体育运动，且只参加一项体育运动，在这一整年里学生不允许更换体育运动项目，并在年终进行达标测试.一年后分项整理得到下表： 体育项目 第一项 第二项 第三项 第四项 第五项 第六项 学生人数 140 50 300 200 800 510 未达标率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 未达标率是指：某一项体育运动未达到规定标准的学生数与该项运动的学生数的比值. 假设所有体育项目是否达标相互独立. （1）从全校随机抽取1名同学，求该同学是“第四项体育运动项目中的达标者”的概率； （2）从参加第四项和第五项体育运动项目的同学中各随机选取1人，求恰有1人获得体育达标的概率； （3）假设每项体育运动项目学生未达标的概率与表格中该项体育运动项目未达标率相等，用“”表示第项体育运动项目达标，“”表示第项体育运动项目未达标.计算并直接写出方差的大小关系（不用写出计算过程）. 17. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 已知． （1）若在上单调，求实数的取值范围； （2）证明：当时，在上恒成立． 19. 在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， （1）计算； （2）设数列满足，，求的通项公式； （3）设排列（，）满足（），（），，求， 大连市第二十三中学2023-2024下学期高三校模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 如图，连接交于，连接, 由是的中点可得， 易得与相似，所以， 又，所以//， 又平面平面，所以//平面； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）0.075 （2）0.35 （3）， 【17题答案】 【答案】（1） （2）存在，，理由： 由（1）可得，所以为 当直线的斜率存在时，设方程为：，， 则，所以，则 恒成立，所以， 假设在轴上是否存在定点，设，则 要使得为常数，则，解得,定点，； 又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取， 若，则，符合上述结论； 综上，在轴上存在定点，使为常数，且. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）证明：时，，. 当时，在上单调递增，在上单调递减， ，. ∴存在，使得在上，在上， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 故在上，，所以在上恒成立. 【19题答案】 【答案】（1）5 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $