安徽省合肥市第四十五中学橡树湾校区2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

安徽省合肥市第四十五中学橡树湾校区2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分） 1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2y﹣3＝0 C． D．x2+1＝0 3．（4分）已知△ABC的三个角度数的比∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝2，则AC为（　　） A． B．4 C．2 D． 4．（4分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或 6．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（　　） A．2 B．﹣1 C． D．﹣2 7．（4分）下列式子正确的是（　　） A．＝ B． C． D． 8．（4分）一组学生组织春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，设原来这组学生有x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）如图，梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（　　） A．小于1 m B．大于1 m C．等于1 m D．小于或等于1 m 10．（4分）关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　． 12．（5分）如果3x2+6x﹣8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝　 　． 13．（5分）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝15，S3＝1，则S1的值是 　 　． 14．（5分）如图，长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A﹣B﹣C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示AP，则AP＝　 　cm； （2）经过 　 　秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：（3﹣2+）÷2． 16．（8分）解方程：2x2﹣5x+2＝0． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）如图，在5×5的网格中，网格线的交点称作格点． （1）作出一个面积为10，顶点都在格点的正方形ABCD； （2）在5×5的网格中，任意两个格点间不同长度的线段有 　 　条． 18．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0． （1）若x＝1是方程的一个根，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … （1）请直接写出第5个等式：　 　； （2）利用上述规律，比较与的大小； （3）直接写出＝　 　． 20．（10分）某商厦1月份的营业额是100万元，第一季度的营业额是364万元，问第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是多少？ 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21．（12分）（1）如图，在△ABC中，AD⊥BC，求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2； （2）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC边上的高AD＝4，求边BC的值． 22．（12分）如图，要建一个面积为150m2的长方形花园ABCD，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，BC边留有2m的门EF，如果栅栏的长为33m． （1）若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？ （2）若给定墙长为a m，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 　 　． 七、（本题满分14分） 23．（14分）（1）如图1，点C在线段BD上，AB＝CD，BC＝DE，∠B＝∠D＝90°，求证：△ACE为等腰直角三角形； （2）如图2，M（0，5），N（6，2），以MN为斜边作等腰直角△MNQ，求点Q的坐标； （3）在第（2）问的前提下，过点Q作y轴垂线l，在l上取一点P，直接写出PM+PN的最小值 　 　． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，满分40分） 1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、＝x，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．（4分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2y﹣3＝0 C． D．x2+1＝0 【解答】解：A．该方程中，当a＝0时，它不是一元二次方程，不符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程不是整式方程，不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 3．（4分）已知△ABC的三个角度数的比∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝2，则AC为（　　） A． B．4 C．2 D． 【解答】解：∵△ABC的三个内角度数之比是∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴AB＝2BC＝4， ∴BC＝＝2． 故选：A． 4．（4分）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， x2﹣x＝， x2﹣x+＝+， （x﹣）2＝， 故选：A． 5．（4分）在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4，则BC的长为（　　） A．5 B． C．5或 D．5或 【解答】解：在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝＝， 故选：B． 6．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+的值为（　　） A．2 B．﹣1 C． D．﹣2 【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1， 所以+＝＝＝﹣2． 故选：D． 7．（4分）下列式子正确的是（　　） A．＝ B． C． D． 【解答】解：当a≤0，b＜0时，≠，故选项A不正确； 当a＜0时，＝|a|≠a，故选项B不正确； 当a≤0，b≤0时，≠•，故选项C不正确； ∵a﹣2+b＝2﹣2+2＝（﹣）2≥0， ∴2≤a+b，故选项D正确． 8．（4分）一组学生组织春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，设原来这组学生有x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得：， 故选：C． 9．（4分）如图，梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（　　） A．小于1 m B．大于1 m C．等于1 m D．小于或等于1 m 【解答】解：在直角三角形AOB中， ∵OA＝2，OB＝7 ∴AB＝＝＝． 由题意可知AB＝A′B′＝， 又∵OA′＝3，根据勾股定理得：OB′＝＝＝， ∴BB′＝7﹣＜1． 故选：A． 10．（4分）关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1 【解答】解：设x2+x＝t，则此方程可化为t2+2t﹣3＝0， ∴（t﹣1）（t+3）＝0， ∴t﹣1＝0或t+3＝0， 解得t1＝1，t2＝﹣3， ∴x2+x的值是1或﹣3． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（5分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥0且x≠1　． 【解答】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：x≥0且x≠1． 12．（5分）如果3x2+6x﹣8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝　﹣7或1　． 【解答】解：根据题意得：3x2+6x﹣8＝2x2﹣1， ∴x2+6x﹣7＝0， 分解因式得：（x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0，x﹣1＝0， 解方程得：x1＝﹣7，x2＝1． 故答案为：﹣7或1． 13．（5分）如图，由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝15，S3＝1，则S1的值是 　9　． 【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ∴CG＝NG，CF＝DG＝NF， ∴S1＝（CG+DG）2 ＝CG2+DG2+2CG•DG ＝GF2+2CG•DG， S2＝GF2， S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF， ∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2＝15， ∴GF2＝5， ∴S2＝5， ∵S3＝1， ∴S1的值是9． 故答案为：9． 14．（5分）如图，长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A﹣B﹣C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示AP，则AP＝　（4﹣x）　cm； （2）经过 　　秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2． 【解答】解：（1）∵动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动， ∴经过x秒，DP＝x cm， ∴AP＝AD﹣DP＝（4﹣x）cm． 故答案为：（4﹣x）； （2）4÷1＝4（s），5÷3＝（s），（5+4）÷3＝3（s）． 当0＜x＜时，AP＝（4﹣x）cm，AQ＝3x cm， ∴AP•AQ＝2，即（4﹣x）•3x＝2， 整理得：3x2﹣12x+4＝0， 解得：x1＝，x2＝（不符合题意，舍去）； 当≤x≤3时，AP＝（4﹣x）cm， ∴（4﹣x）•5＝2， 解得：x＝（不符合题意，舍去）． ∴经过秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8分）计算：（3﹣2+）÷2． 【解答】解：（3﹣2+）÷2 ＝（6﹣+4）÷2 ＝÷2 ＝． 16．（8分）解方程：2x2﹣5x+2＝0． 【解答】解：∵2x2﹣5x+2＝0， ∴（x﹣2）（2x﹣1）＝0， 则x﹣2＝0或2x﹣1＝0， 解得x1＝2，x2＝． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分）如图，在5×5的网格中，网格线的交点称作格点． （1）作出一个面积为10，顶点都在格点的正方形ABCD； （2）在5×5的网格中，任意两个格点间不同长度的线段有 　19　条． 【解答】解：（1）如图，四个格点三角形直角边长为1，3，斜边 10 ，作为正方形的边长． （2）分类①水平或竖直位置任意两格点间的线段.1，2，3，4，5共5种． .②两格点间的线段作为直角三角形的斜边，直角边为：1，1，；1，2；1，3；1，4；1，5；2，2；2，3；2，4；2，5；3，3；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5共15种．其中直角边3，4，斜边为5，为重复数据． 所以共有19种不同长度的线段． 故答案为：19． 18．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0． （1）若x＝1是方程的一个根，求k的值； （2）求证：方程有两个不相等的实数根． 【解答】（1）解：把x＝1代入x2+（2k+1）x+k﹣1＝0得1+2k+1+k﹣1＝0， 解得k＝﹣； （2）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k﹣1） ＝4k2+4k+1﹣4k+4 ＝4k2+5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．（10分）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … （1）请直接写出第5个等式：　﹣　； （2）利用上述规律，比较与的大小； （3）直接写出＝　9+3﹣　． 【解答】解：（1）第5个等式为＝﹣； 故答案为：﹣； （2）∵﹣2＝，2﹣＝， ∴+2＞2+， ∴＜， 即﹣2＜2﹣； （3）原式＝﹣1+﹣+﹣+•••+﹣ ＝+﹣1﹣ ＝10+3﹣1﹣ ＝9+3﹣． 故答案为：9+3﹣． 20．（10分）某商厦1月份的营业额是100万元，第一季度的营业额是364万元，问第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是多少？ 【解答】解：设第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是x，则该商厦2月份的营业额为100（1+x）万元，3月份的营业额为100（1+x）2万元， 根据题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364， 整理得：25x2+75x﹣16＝0， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）． 答：第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是20%． 六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分） 21．（12分）（1）如图，在△ABC中，AD⊥BC，求证：AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2； （2）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC边上的高AD＝4，求边BC的值． 【解答】解：（1）在Rt△ABD，Rt△ACD中，根据勾股定理得： AB2﹣BD2＝AD2， AC2﹣CD2＝AD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2； （2）在Rt△ABD，Rt△ACD中，根据勾股定理得： BD＝＝＝4， DC＝＝＝3， ∴BC＝BD+DC＝4+3． 22．（12分）如图，要建一个面积为150m2的长方形花园ABCD，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，BC边留有2m的门EF，如果栅栏的长为33m． （1）若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？ （2）若给定墙长为a m，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 　15≤a＜20　． 【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为（33﹣2x+2）m， 依题意得：x（33﹣2x+2）＝150， 整理得：2x2﹣35x+150＝0， 解得：x1＝7.5，x2＝10， ∴35﹣2x＝20或35﹣2x＝15． 答：花园的长为20m或15m，宽为7.5m或10m． （2）当a＜15时，不能围成花园，题目无解； 当15≤a＜20时，围成的花园只有一种围法，题目只有一个解； 当a≥20时，围成的花园有二种围法，题目有两个解； 综上所述，当15≤a＜20时，围成的花园只有一种围法， 即a的取值范围是15≤a＜20， 故答案为：15≤a＜20． 七、（本题满分14分） 23．（14分）（1）如图1，点C在线段BD上，AB＝CD，BC＝DE，∠B＝∠D＝90°，求证：△ACE为等腰直角三角形； （2）如图2，M（0，5），N（6，2），以MN为斜边作等腰直角△MNQ，求点Q的坐标； （3）在第（2）问的前提下，过点Q作y轴垂线l，在l上取一点P，直接写出PM+PN的最小值 　　． 【解答】（1）证明：∵AB＝CD，BC＝DE，∠B＝∠D＝90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED， ∵∠ECD+∠CED＝90°， ∴∠ECD+∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝90°， ∴△ACE是等腰直角三角形． （2）解：符合条件的点有两个分别是Q和Q'．过两点作y轴的垂线，垂足为G，G'，过N作x轴的垂线分别交GQ和G'Q'于H和H'． 等腰直角△MNQ中， QM＝NQ，∠MQN＝90°， ∴∠MQG+∠NQH＝90°， ∵∠MQG+∠QMG＝90°， ∴∠QMG＝∠NQH， 又∵∠MGQ＝∠QHN＝90°， ∴△MGQ≌△QHN（AAS）， ∴MG＝QH，GQ＝HN， ∵M（0，5），N（6，2）， ∴5+MG＝2+NH，GQ+QH＝6， ∴MG＝QH＝1.5，GQ＝NH＝4.5， ∴点Q的坐标为（4.5，6.5）． 同理，点Q'的坐标为（1，5，0.5）． 所以点Q的坐标为（4.5，6.5）或（1.5，0.5）． （3）解：在y轴上截取GM'＝MG，连接PM，PM'，PN，过N作y轴的垂线，垂足为N'． ∴PM＝PM'， ∴PM+PN＝PM'+PN， ∴当M'，P，N三点共线是PM+PN的值最小． ∵∠M'N'N＝90°， M'N'＝5+3﹣2＝6， NN'＝6， ∴M'N＝＝＝6． ∴PM+PN的最小值是． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$