重庆市2024届高三第三次联合诊断检测数学试卷

2024年重庆市高考数学三诊试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，集合，若，则(    ) A. B. 0 C. 1 D. 2 2.设复数z满足，则z的虚部为(    ) A. B. C. 3 D. 3.已知一种服装的销售量单位：百件与第x周的一组相关数据统计如表所示，若两变量x，y的经验回归方程为，则(    ) x 1 2 3 4 5 y 6 6 a 3 1 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.若圆锥的母线长为2，且母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 5.重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2400人，除成渝外的西部地区2000人，中部地区1400人，东部地区1800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为(    ) A. B. C. D. 6.已知是定义域为R的奇函数且满足，则(    ) A. B. 0 C. 1 D. 7.当点到直线l：的距离最大时，实数的值为(    ) A. B. 1 C. D. 2 8.已知，且，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 10.已知双曲线C：，则其离心率可能为(    ) A. 2 B. C. D. 11.若函数既有极小值又有极大值，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若，则______. 13.已知，，且，则______. 14.已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数 当时，求在点处的切线方程； 若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 16.本小题15分 已知函数的最小正周期为 求函数的单调递增区间； 已知的三边长分别为a，b，c，其所对应的角为A，B，C，且，，，求该三角形的周长. 17.本小题15分 我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校供暖器的噪声不能超过50分贝、热效率不能低于某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，这批供暖器的噪声单位：分贝和热效率的频率分布直方图如图所示： 假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率. 求a，b的值； 如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽2件，求恰有1件噪声不超过25分贝且热效率不低于的概率； 当，设供暖器的噪声不超过分贝的概率为，供暖器的热效率不低于的概率为，求的取值范围. 18.本小题17分 设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知 求抛物线C的方程； 若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求： ①点P的轨迹方程； ②面积的取值范围. 19.本小题17分 已知且，设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上表示点A，B间的距离，记集合 若四面体ABCD满足：平面BCD，，且 ①求二面角的余弦值： ②若，求 证明： 参考公式： 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：集合，集合， 若，则 故选： 根据集合的包含关系求解． 本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：设都为实数， 因为复数z满足， 所以， 即， 则，， 解得， 故选： 由已知结合复数的四则运算及复数的基本概念即可求解． 本题主要考查了复数的四则运算及复数基本概念的应用，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：由题意可知，， ， 两变量x，y的经验回归方程为， 则，解得 故选： 先求出x，y的平均值，再结合线性回归方程的性质，即可求解． 本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题． 4.【答案】C  【解析】解：圆锥的母线长为2，母线与底面所成角为， 所以底面圆的半径为， 所以该圆锥的侧面积为 故选： 由题意求出圆锥底面圆的半径，再计算圆锥的侧面积． 本题考查了圆锥的结构特征应用问题，是基础题． 5.【答案】C  【解析】解：为保证调研结果的代表性， 设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人， 则， 则， 即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为 故选： 由分层抽样，结合组合问题求解． 本题考查了分层抽样，重点考查了组合问题，属基础题． 6.【答案】B  【解析】解：根据题意，是定义域为R的奇函数，则，且， 又由满足，即， 则有，变形可得，即函数是周期为2的周期函数， 故 故选： 根据题意，先分析函数的周期，由奇函数的性质可得，由此分析可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 7.【答案】B  【解析】解：直线l：，整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 即直线l：的斜率， 故，解得 故选： 直接利用直线的方程和定点直线系以及点到直线的距离即可求解． 本题考查了直线的方程，定点的直线系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 8.【答案】C  【解析】解：因为， 所以，， 因为， 所以， 所以， 解得或舍， 则 故选： 结合二倍角公式及同角基本关系对已知等式进行化简求出，然后结合二倍角公式即可求解． 本题主要考查了二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题． 9.【答案】CD  【解析】解：存在，使得，即， 即时，的最小值为， 故； 所以命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是：的真子集， 结合选项可得，符合条件的答案为： 故选： 转化为，结合二次函数的性质求得；进而求解结论． 本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10.【答案】BD  【解析】解：当时，原方程化为， 此时，，， 由，可得； 当时，原方程化为， 此时，，， ，可得 其离心率可能为或 故选： 对分类，化原方程为双曲线的标准方程，求出a与c的值，则答案可求． 本题考查双曲线的几何性质，考查分类讨论思想，是中档题． 11.【答案】ABC  【解析】解：， 既有极小值又有极大值， 在上有两个不同的实数根， ，， ，，，显然不一定成立． 故选： 可求出导函数，根据题意知在上有两个不同实数根，然后即可得出正确的选项． 本题考查了基本初等函数的求导公式，极大值和极小值的定义，韦达定理，是基础题． 12.【答案】  【解析】解：已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点， 又， 则 故答案为： 由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解． 本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题． 13.【答案】  【解析】解：因为，， 所以， 因为， 所以，即， 所以，， 则 故答案为： 由已知结合对数的运算性质可分别求出a，b，进而可求 本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：如图所示，设， 易知平面， 且平面平分线段， ，且， 在线段的垂直平分面与以B为球心，1为半径的球面的交线上， 又平面， 到平面的距离为的一半，即为，又， ， 在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上， 到平面的距离的最小值为， 四棱锥体积的最小值为 故答案为： 根据题意可得M在线段的垂直平分面与以B为球心，1为半径的球面的交线上，设，从而可得M在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上，再根据锥体的体积公式计算即可求解． 本题考查动点轨迹问题，四棱锥的体积的最值的求解，化归转化思想，属中档题． 15.【答案】解：当时，， ， 则，， 所以当时，在点处的切线方程为 ， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，所以在区间上恒成立， 因为当时，， 所以，即a的取值范围是  【解析】求出解析式，再对求导，从而可得，，从而可得切线方程； 求出的导函数，由题意可得在区间上恒成立，参变量分离，即可求解a的取值范围． 本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题． 16.【答案】解：函数的最小正周期为， 所以，即，所以， 令，， 所以函数的单调递增区间为 因为，所以，解得， 因为，所以， 由余弦定理得：， 所以， 所以， 则的周长为  【解析】依题意求出的值，再将代入正弦函数的单调递增区间中，即可求出函数的单调递增区间； 求出A的值，由条件结合余弦定理可求三角形的周长． 本题考查了正弦函数的性质，考查了余弦定理的应用，考查了整体思想，属于中档题． 17.【答案】解：由题意得， 解得， ， 解得； 供暖器的噪声不超过25分贝的概率为，其热效率不低于的概率为， 每1件供暖器噪声和热效率符合题意的概率为， 抽2件中恰有1件符合题意的概率为； ， ，则， 当 ，则 当，， ，则， 的取值范围是  【解析】直接根据频率分布直方图的性质求解即可； 利用二项分布的概率公式求解即可； 分别求出，，可得，再根据即可求解． 本题考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18.【答案】解：圆D化为标准方程， 则圆心，半径为， 设EF与x轴交于点G，如图， 圆D和抛物线C都关于x轴对称，则E，F两点也关于x轴对称，， 在，，则， 抛物线C过点，即，则， 则抛物线C方程为； 由 ，解得点，，则， 设动点， 则直线MA的斜率为，直线， 直线MB的斜率为，直线， 将抛物线C代入直线AN得， 解得点，则直线BN的斜率为， 直线， ①联立， 消去，化简得， 又点P在直线l的左边，则，即， ，则， 又，，，解得：，， 点P的轨迹方程为且， ②设，则P到直线l的距离， 又， 则， ， 又且， ，   【解析】由已知条件可求得抛物线C过点即可； ①先求出点，，设动点，由题意可求得直线，直线，直线，然后消去直线AM与直线BN中即可； ②由题P到直线l的距离，然后由三角形面积公式结合二次函数的知识即可求解． 本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于难题． 19.【答案】解：以C为原点，方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，，， ①设平面CAD的法向量， 则，即，取， 设平面BAD的法向量为， 则，即，取， 所以， 即二面角的余弦值为； ②，，， 所以； 设，……，，下证， 设S中任意不同的两点的个距离中，距离等于的有个，，2，…，k， 则， 记S中n个不同点分别为，，……，，设到点的距离等于的点的个数为个，…，k；，2，…，， 则……，…，， 所以…………………， 考虑由S中的点构成的满足的点组的个数， 一方面，当A取…，时，这样的点组有个，故有， 另一方面，因为S中任意四个点不共面，所以对任，点A的选取至多有3种，故有 ①， 所以 ， 结合①得  【解析】①建立空间直角坐标系，求出平面CAD与平面BAD的法向量，利用向量夹角公式即可求解； ②根据条件，得出，，即可求解； 设，……，，从两个方面结合参考公式给出证明即可． 本题考查空间向量的应用以及组合数的应用，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$