吉林省长春市第二中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

2023-2024学年吉林省长春二中高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则(    ) A. x与y负相关，x与z负相关 B. x与y正相关，x与z正相关 C. x与y负相关，x与z正相关 D. x与y正相关，x与z负相关 2.的二项展开式中第4项的系数为(    ) A. B. C. 40 D. 80 3.某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布且则该农作物茎高在范围内的株数约为(    ) A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000 4.点P是曲线上的点，Q是直线上的点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 5.一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有(    ) A. 120种 B. 60种 C. 40种 D. 20种 6.已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 7.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 8.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为(    ) A. 27 B. 24 C. 32 D. 28 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是(    ) A. 设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 在线性回归模型中，相关指数越接近于1，说明回归的效果越好 10.对于函数，下列说法正确的是(    ) A. 若，则函数为奇函数 B. 函数有极值的充要条件是 C. 若函数有两个极值点，，则 D. 若，则过点作曲线的切线有且仅有3条 11.一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫.把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫.猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第k只出笼的猫是黑猫”，，2，…，10，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，根据收集到的数据可知，并求得回归直线方程为，则的值为______. 13.甲袋中有5个白球、7个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为______. 14.已知实数a，b满足，其中e是自然对数的底数，则ab的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 根据以往的统计资料，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况统计如下： 甲 X 0 1 2 P 乙 X 0 1 2 P 现有一场比赛，派哪位运动员参加比较好？请写出你的决定，并说明理由. 16.本小题15分 已知函数其中， 当时，求函数的图像在点处的切线方程； 当时，若恒成立，求a的取值范围. 17.  18.本小题17分 已知函数， 讨论的单调性； 证明： 19.本小题17分 入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”.南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天.某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况. 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 经计算可得：，， 由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程精确到，并估计第10天的正常销量； 假设每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为，求； 记中所得概率的值构成数列 ①求数列的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，是一个确定的实数，则称数列收敛于根据数列收敛的定义证明数列收敛.回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：变量x与y的回归直线方程为， 则变量x与y正相关， 变量y与z负相关， 则x与y负相关． 故选： 结合回归直线方程，以及变量间的相关关系，即可求解． 本题主要考查变量y与z负相关，是基础题． 2.【答案】B  【解析】解：的二项展开式中第4项为， 所以展开式中第4项的系数为 故选： 由二项展开式的通项公式直接求解即可． 本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：由题意可知：，且， 则， 所以该农作物茎高在范围内的株数约为 故选： 根据正态分布的对称性可得，结合题意即可得结果． 本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】解：函数的定义域为R， 由的导数为， 令， 可得， 所以切点为， 它到直线的距离 点P是曲线上的点，Q是直线上的点，则的最小值为： 故选： 先根据导数的几何意义求出切点坐标，欲求P到直线的距离的最小值即求切点到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式进行求解即可． 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题． 5.【答案】B  【解析】解：首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位置，包括两端， 从5个空位置中选出3个空位置，即，然后3人全排列为， 所以不同的坐法共有种． 故选： 根据题意，由插空法即可得到结果． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 6.【答案】B  【解析】解：求导可得， 在上单调递增， 在上恒成立， 在上恒成立， 又在上单调递增，故； 故选： 求导，可得在上恒成立，分离参数求最值，即可得到结论． 本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7.【答案】A  【解析】解：由，，， 则，，， 因为， 则，所以； 因为，所以， 设， 则， 当时，，当时，， 即函数在为减函数，在为增函数， 即的最小值为， 即，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 所以， 故选： 由对数值大小的比较，结合导数的应用判断即可得解． 本题考查了对数值比较大小，重点考查了导数的应用，属基础题． 8.【答案】A  【解析】解：不妨设每一轮训练通过的概率为p， 则 ， 此时，当且仅当时，等号成立， 易知函数开口向下，对称轴， 所以， 又每局之间相互独立，记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X， 所以， 所以， 解得， 则甲、乙两人训练的轮数至少为27轮． 故选： 由题意，设每一轮训练通过的概率为p，求出p的表达式，结合二项分布的期望、基本不等式以及二次函数的性质进行求解即可． 本题考查二项分布的应用，考查了逻辑推理和运算能力． 9.【答案】CD  【解析】解：对于A：设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误； 对于B：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1，故B错误； 对于C：在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确； 对于D：在线性回归模型中，相关指数越接近于1，说明回归的效果越好，故D正确； 故选： 直接利用回归直线方程，相关系数和相关性的关系，残差图，相关指数和线性回归效果的关系的应用判断A、B、C、D的结论． 本题考查的知识要点：回归直线方程，相关系数和相关性的关系，残差图，相关指数和线性回归效果的关系，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题． 10.【答案】BCD  【解析】解：对于A：当时，的定义域为 因为，所以函数不是奇函数．故A错误； 对于B：函数有极值在R上不单调． 由求导得：， 在R上不单调在R上有正有负，故B正确； 对于C：若函数有两个极值点，，必满足，即， 此时，为的两根，所以， 所以， 所以， 对称轴 ， 所以当时，， 即，故C正确； 对于D：若时，，所以， 设切点，则有， 消去，整理得：， 不妨设，则， 令，解得：或；令，解得：， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以， ， 所以作出的图像如图所示： 因为函数有三个零点，所以方程有三个根， 所以过点作曲线的切线有且仅有3条，故D正确． 故选： 对于A：利用奇偶性的定义直接判断；对于B：利用极值的计算方法直接求解；对于C：先求出，表示出，即可求出；对于D：设切点，由导数的几何意义得到，设，利用导数判断出函数有三个零点，即可求解． 本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数奇偶性的判断，过一点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题． 11.【答案】BCD  【解析】解：根据题意，10只猫先后出笼的顺序为，第k只出笼的猫是黑猫，即可先从4只黑猫中选出一只，而其余9个位置的猫们可任意排列，则， 依次分析选项： 对于A，事件表示第1，2只出笼的猫都是黑猫，则，故A错误； 对于B，事件表示第1只或第2只出笼的猫是黑猫， 则，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，事件表示第2，10只出笼的猫是黑猫， 则， ，故D正确． 故选： 根据题意，先求出，依次分析选项，对于A，事件表示第1，2只出笼的猫都是黑猫，即可求解判断；对于B，事件表示第1只或第2只出笼的猫是黑猫，则根据，即可求解判断；对于CD，结合条件概率公式求解． 本题考查命题真假的判断，涉及古典概型、条件概率等基础知识，属于中档题． 12.【答案】341  【解析】解：，， 把代入， 得， 故 故答案为： 计算，代入方程计算得到，得到答案． 本题考查线性回归方程及其求法，是基础题． 13.【答案】  【解析】解：设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”， 则，，，， 故 故答案为： 设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”，则，由条件结合全概率公式求结论． 本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】  【解析】解：由可得，，即，也即， 由可得， 所以，即， 构造函数，则，， 因为在上恒成立， 所以函数在定义域上单调递减， 所以，即， 又因为， 所以， 所以， 解得 故答案为： 由可得，由可得，构造函数，求导分析单调性，由，得，进而可得答案． 本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 15.【答案】解：对于甲，，， 对于乙，，， 因为甲、乙两运动员得分的期望相等，而甲运动员得分的方差小于甲运动员得分的方差， 所以甲运动员成绩较稳定， 故派甲运动员参加比较好．  【解析】求出甲、乙两运动员得分的期望和方差，再比较即可． 本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于基础题． 16.【答案】解：当时，，，则， 而，所以切线方程为，即； 当时，由，得，即恒成立， 设，则， 设，则， 故在上单调递增，  又因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，  则，  则，即a的取值范围为  【解析】先对函数求导，结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程； 由已知不等式恒成立，分离参数，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解． 本题主要考查了导数的几何意义的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题． 17.【答案】    【解析】  18.【答案】解：函数的定义域为， 可得， ①当时，恒成立， ②当时，，解得， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 证明：， 要证，即证恒成立， 令，即证， 令， 所以，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以， 则恒成立，得证．  【解析】求导数，分类讨论，即可讨论的单调性； 由题意可化为证明恒成立，令，即证，令，求导，可求，即可证明恒成立． 本题考查了导数与函数单调性，考查了运算能力，属于中档题． 19.【答案】解：剔除第10天数据后的，，，， 所以， 故， 所以， 当时，， 即估计第10天的正常销量约为千张； 由题意可知，其中，， 则， 所以是以首项为，公比为的等比数列， 故成立， 则有， 故， 又因为， 所以； ①当n为偶数时，单调递减，最大值为， 当n为奇数时，单调递增，最小值为， 综上：数列的最大值为，最小值为； ②证明：对任意总存在正整数，其中表示取整函数， 当时，  【解析】计算出新数据的相关数值，代入公式求出，的值，进而得到y关于t的回归方程，再令求出的值即可； 由题意可知，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； ①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解； ②利用数列收敛的定义证明． 本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了数列的递推式，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$