吉林省四平市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年吉林省四平市高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数，则z在复平面内对应的点在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.菱形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得到的几何体为(    ) A. 由两个圆台组成 B. 由一个圆锥和一个圆台组成 C. 由两个圆锥组成 D. 由两个棱台组成 3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则(    ) A. B. 2 C. 1或2 D. 2或 4.如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为(    ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5.已知平面向量，满足，且，则，的夹角为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，为CD的中点，则(    ) A. B. C. D. 7.平面内顺次连接，，，所组成的图形是(    ) A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 8.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔AB的高度是(    ) A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知复数，为z的共轭复数，则下列各选项正确的是(    ) A. z是虚数 B. 的虚部为 C. D. 10.若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(    ) A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C. ，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，，使，则 11.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且，则下列说法正确的是(    ) A. B. 面积的最大值为 C. 若D为边BC的中点，则AD的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为______. 13.如图，三棱台的上、下底边长之比为1：3，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则______. 14.在平行四边形ABCD中，E是直线BD上的一点，且，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． Ⅰ求该圆柱的侧面积； Ⅱ求三棱柱的体积． 16.本小题15分 已知向量，且 求m的值； 求向量与的夹角的余弦值. 17.本小题15分 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量且 求角A； 若，求内切圆的半径. 18.本小题17分 如图，在等腰三角形ABC中，，F是线段AC上的动点异于端点， 若F是AC边的中点，求的值； 当时，请确定点F的位置. 19.本小题17分 在平面四边形ABCD中在AC的两侧，， 若，求； 若，求四边形ABCD的面积的最大值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：由题意复数 z在复平面内对应的点为，在第一象限． 故选： 结合复数的四则运算，先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：根据题意，菱形的对角线互相垂直平分， 故将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥． 故选： 根据题意，由圆锥的定义分析可得答案． 本题考查圆锥的定义，注意常见旋转体的定义，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：因为， 所以由余弦定理得，化简得， 解出或 故选： 由已知利用余弦定理即可求解． 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 4.【答案】D  【解析】解：如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，， 在中，，，， ， 的周长为： 故选： 由斜二测画法的直观图得到在中，，，，由此能求出，由此能求出的周长． 本题考查三角形周长的求法，考查斜二测画法的直观图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 5.【答案】D  【解析】解：，， ，， 设，夹角为，则，即， 又， 故选： 由已知结合向量数量积的性质及夹角公式即可求解． 本题主要考查了向量数量积性质的应用，属于基础题． 6.【答案】C  【解析】解：根据题意，可得，， 因为BP是的中线，所以 故选： 根据题意，以作为基底，依次表示出，然后根据三角形中线的性质算出答案． 本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题． 7.【答案】B  【解析】解：，，，， 则，，，， 故，，，， 所以四边形ABCD为直角梯形． 故选： 根据已知条件，结合向量的坐标运算法则，即可求解． 本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题． 8.【答案】A  【解析】解：设，在中，，所以米， 在中，，可得米． 在中，，米，米， 根据余弦定理，可得， 即，解得米或米舍负 综上所述，铁塔AB的高度70米． 故选： 根据题意，设塔AB的高度为h，求出、，然后在中利用余弦定理，建立关于h的方程，解出h的值即可得到铁塔AB的高度． 本题主要考查正弦定理与余弦定理、解三角形知识在实际问题中的应用，属于中档题． 9.【答案】AD  【解析】解：因为，所以， 对于A选项，由于虚部不为0，所以z是虚数，故选项A正确； 对于B选项，的虚部为1，故选项B错误； 对于C选项，当复数的虚部不为零时，不能比大小，故选项C错误； 对于D选项，，，，故选项D正确． 故选： 结合复数共轭复数的概念，复数模公式，复数的几何意义，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题． 10.【答案】BC  【解析】解：由题意知，，可以看成一组基底向量， 根据平面向量基本定理知，A，D正确，B错误； 对于C，当时，则， 此时任意实数均有，所以选项C错误； 故选： 根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断． 本题考查了平面向量基本定理应用问题，是基础题． 11.【答案】ACD  【解析】解：对于A，由题意可知， 利用余弦定理得， 因为， 所以，故A正确； 对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号， 此时，故B错误； 对于C，在和中，对和利用余弦定理可得， 化简后有， 由上述知，bc的最大值为12，因此AD最大为3，故C正确； 对于D，利用正弦定理，， 则，， 于是的周长 ， 由于是锐角三角形， 因此， 解出， 则故D正确． 故选： 对于A，由题意利用余弦定理可求的值，结合，求解A的值，即可判断； 对于B，利用三角形的面积公式以及基本不等式即可求解； 对于C，由题意利用余弦定理可得，结合bc的最大值为12，可求解AD最大为3，即可判断； 对于D，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求的周长，可求，进而利用正弦函数的性质即可求解． 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 12.【答案】1  【解析】解：由已知可得，，解得 故答案为： 根据纯虚数的概念，列出关系式，求解即可得出答案． 本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：三棱台的上、下底边长之比为1：3，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为， 由三棱台的上、下底边长之比为1：3， 可得上、下底面的面积比为1：9， 设三棱台的高为h， 则点到平面ABC的距离也为h，上底面面积为S， 则下底面面积为9S， ， 故答案为： 由三棱台的上、下底边长之比为1：3，得上、下底面的面积比为1：9，设三棱台的高为h，则点到平面ABC的距离也为h，上底面面积为S，下底面面积为9S，由此能求出结果． 本题考查三棱台结构特征、棱锥体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 14.【答案】3  【解析】解：在平行四边形ABCD中，E是直线BD上的一点，且， 记， 又， 则， 所以， 所以， 解得 故答案为： 由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解． 本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档题． 15.【答案】解：Ⅰ圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． 设底面半径为r，则母线长为2r， ， 解得， 该圆柱的侧面积： Ⅱ取AC中点D，连结BD， 设底面圆圆心为O，则，， 设，则， 解得 三棱柱的体积：   【解析】本题考查圆柱侧面积的求法，考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，是中档题． Ⅰ设底面半径为r，则母线长为2r，由，求出，由此能求出该圆柱的侧面积． Ⅱ取AC中点D，连结BD，设底面圆圆心为O，则，求出，从而求出由此能求出三棱柱的体积． 16.【答案】解：，， 所以，解得 故m的值为 ， 所以， 所以 故与的夹角的余弦值为  【解析】运用平面向量垂直的坐标公式计算即可． 运用平面向量夹角公式计算即可． 本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于中档题． 17.【答案】解：因为向量与平行， 所以， 由正弦定理得， 又，所以， 所以， 又，所以 由余弦定理得， 所以，解得或舍， 所以的面积， 设内切圆的半径为r， 所以，解得  【解析】根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得，即可求得A； 利用余弦定理求得b，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径． 本题考查向量平行的坐标运算、正弦定理、余弦定理、等面积法、三角形内切圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.【答案】解：因为，所以， 由于F是AC边的中点，因此， 因此； 因为F是线段AC上的动点异于端点， 所以可设，因此， 因为，， 所以 ，解出， 故F是线段AC靠近A处的四等分点．  【解析】由平面向量的线性运算将用表示出来，再由平面向量的数量积运算计算即可； 设，由将用表示出来，再由平面向量的数量积运算建立方程，求解即可． 本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题． 19.【答案】解：在中，由余弦定理得， 即 因为，，所以， 又，所以 在中，由正项定理得， 所以， 又，所以，所以； 设，所以 在中，由余弦定理得 所以的面积 ， 所以，此时， 又的面积， 所以四边形ABCD的面积的最大值为  【解析】在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出； 将四边形ABCD，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值． 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$