精品解析：云南省祥华教育集团2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

祥华教育集团2023—2024学年联考 高一数学测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 3. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列结论： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则至少与，中一个平行 则下列说法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③ 4. 已知偶函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为（ ） A. ω＝1，φ B. ω＝1，φ C. ω＝2，φ D. ω＝2，φ 6. 有一组样本数据如下： 56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98 则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ） A. 65，76，82 B. 66，74，82 C. 66，76，79 D. 66，76，82 7. 已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（    ） A. 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为 B. 圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 C. 正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 D. 已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 10. 已知是定义在上不恒为0的函数，的图象关于直线对称，且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心，则（ ） A. 点是的图象的一个对称中心 B. 为周期函数，且4是的一个周期 C. 为偶函数 D. 11. 已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（ ） A. 的值可能是 B. 的最小正周期可能是 C. 在区间上单调递减 D. 图象的对称轴可能是 三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 12. 已知向量，若与共线，则m的值为__________． 13. 已知一组数据，，，的方差为4，若数据，，，的方差为36，则b的值为______. 14. 中，为线段上一点，，且，则面积的最小值为______. 四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤） 15. 已知复数． （1）若的实部与的模相等，求a的值； （2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围． 16. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且． （1）求证：平面平面PAC； （2）求证：平面PAC； （3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值． 17. 设函数，． （1）求函数的单调递增区间； （2）内角A，，的对边分别为，，．若，，且，求的值． 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 将某市20到80岁的居民按年龄分组为，，，，，，并制作频率分布直方图如下： （1）根据频率分布直方图，估计该市20到80岁居民年龄的第80百分位数； （2）为了解该市居民参与“健步走”活动的实际情况，从该市20到80岁的居民中随机抽取若干人作问卷调查．我们把年龄段的居民参与“健步走”活动的人数与该年龄段居民数之比称为年龄段居民“健步走”活动参与指数（简称健参指数），用表示．被调查居民各年龄段的健参指数如下： 年龄段 0.4 0.5 0.6 0.7 0.75 0.4 假若该市20到80岁的常住居民有100万人，利用样本估计总体的思想，解决下面的问题： （i）估算该市20到80岁的居民中“健步走”活动的参与人数； （ii）据权威部门对全国“健步走”活动参与人群调查发现，如果排除20岁以下和80岁以上的居民，60岁以下的人比60岁及以上的人更喜爱“健步走”活动．通过计算与的值，判断本次调查所得结果是否与权威部门给出的结论相符？若不相符，请你从统计学的角度分析产生差异的原因（结论开放，写出其中一条原因即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祥华教育集团2023—2024学年联考 高一数学测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算律和复数的模的公式可得. 【详解】，所以. 故选：B 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，，再利用集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 所以. 故选D. 【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列结论： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则至少与，中一个平行 则下列说法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以①正确； 对于②，若，，则或，所以②错误； 对于③，由，得或与相交，故③错误； 对于④，，，则至少与，中一个平行，故④正确． 故选：C． 4. 已知偶函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，可得出，求出的表达式，利用偶函数的性质可得出函数在时的解析式. 【详解】当，则，， 又为偶函数，所以，当时，． 故选：D. 5. 已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为（ ） A. ω＝1，φ B. ω＝1，φ C. ω＝2，φ D. ω＝2，φ 【答案】D 【解析】 【分析】先利用周期求再代入最高点求得即可. 【详解】由题三角函数半个周期为,故.易得, 又函数过,故,又, 故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解析式的方法,属于基础题型. 6. 有一组样本数据如下： 56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98 则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ） A. 65，76，82 B. 66，74，82 C. 66，76，79 D. 66，76，82 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可. 【详解】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66； 中位数为：， 因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82. 故选：D. 7. 已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求棱锥的高，利用球的表面积公式得，然后由求解可得，可求棱锥体积. 【详解】如图，设四棱锥的棱长为，在底面的射影为，则平面， 且为的交点，且， 由正四棱锥的对称性可知在直线上， 设外接球的半径为，则其表面积为，所以， 则，故，解得或（舍）， 故正四棱锥的体积为． 故选：A． 8. 已知是函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A零点存在性定理判断零点所在区间；由题设得、，结合基本不等式、零点所在区间有、判断B、C、D. 【详解】A，函数为单调递增函数， 且，，故零点，错误； B，是函数的零点，则， 变形可得，两边同时取对数可得，正确； C，是函数的零点，则， 则，故， 又，则，根据对勾函数图象与性质知， 则，错误； D，，则，则，错误． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（    ） A. 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为 B. 圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 C. 正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 D. 已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用球的截面小圆性质计算判断A；利用球及圆柱的体积公式计算判断B；利用棱台的体积公式计算判断C；求出圆锥的体积判断D. 【详解】对于A，截面小圆半径为1，则球半径，该球的表面积为，A错误； 对于B，设容器内水面下降的高度为，则，解得，B正确； 对于C，正四棱台的高，体积为，C正确； 对于D，圆锥底面圆半径，则，解得，圆锥的高， 体积为，D正确. 故选：BCD 10. 已知是定义在上不恒为0的函数，的图象关于直线对称，且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心，则（ ） A. 点是的图象的一个对称中心 B. 为周期函数，且4是的一个周期 C. 为偶函数 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，借助平移变换分析函数的性质，再逐项推理判断得解. 【详解】由的图象关于直线对称，得函数关于对称，即为偶函数，， 显然函数图象的对称中心为原点，则函数的图象的对称中心为，即， 对于A，，则是图象的一个对称中心，A正确； 对于B，由，得，即， ，是周期函数，8是该函数的一个周期， 若4是的一个周期，则，而，从而与已知矛盾，B错误； 对于C，，因此为偶函数，C正确； 对于D，由，得， 则，D错误. 故选：AC 11. 已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（ ） A. 的值可能是 B. 的最小正周期可能是 C. 在区间上单调递减 D. 图象的对称轴可能是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的周期公式可判断B选项. 【详解】因为函数在区间上有且仅有个对称中心， 且当时，， 所以，，解得，A对； 因为，则函数的最小正周期为，且，B对； 当时，， 因为，则， 所以，函数在区间上单调递减，C对； ，所以，图象的对称轴不可能是，D错. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 12. 已知向量，若与共线，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】计算出两向量与的坐标，再利用共线向量的坐标表示，求出的值. 【详解】向量，则， ，由向量与共线，得，解得， 所以m的值为. 故答案为： 13. 已知一组数据，，，的方差为4，若数据，，，的方差为36，则b的值为______. 【答案】3或 【解析】 【分析】利用平均数和方差公式可得结果. 【详解】设数据，，，的平均数为，方差为，则， ， 设数据，，，的平均数为，方差为， 则， ， 所以或， 故答案为：3或. 14. 中，为线段上一点，，且，则面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由得，利用基本不等式求得，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】由，得，又，所以， 设，因为， 所以， 则，两边平方得，即， 则，当且仅当即时，等号成立， 故面积的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是找到的等量关系，从而利用基本不等式求解乘积的范围求解面积的范围，面积分割法是解决此类问题的关键. 四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤） 15. 已知复数． （1）若的实部与的模相等，求a的值； （2）若复数在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，解方程可求出a的值； （2）先求出，然后由其在复平面上的对应点在第四象限，可得从而可求出a的取值范围 【小问1详解】 依题意，， 因为的实部与的模相等， 所以，整理得， 解得或， 所以或． 【小问2详解】 因为，又在复平面上的对应点在第四象限， 所以解得， 所以a的取值范围是． 16. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且． （1）求证：平面平面PAC； （2）求证：平面PAC； （3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值． 【答案】（1） 证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点， 所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC， 因为，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC， 因为，平面MOE，平面MOE，所以平面平面PAC. （2） 证明：因为点C在以AB为直径的圆O上，所以， 即BCAC，因为PA平面ABC，平面ABC，所以PABC， 因为，平面PAC，平面PAC，所以BC平面PAC. （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面PAC，平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面平面PAC； （2）利用线线垂直证明线面垂直； （3）由（2）知面PAC，可得为直线PB与平面PAC所成的角，求出BC，PB的长度可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知BC面PAC，所以为直线PB与平面PAC所成的角， 在中，，在中，， 在中，，所以. 直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为. 17. 设函数，． （1）求函数的单调递增区间； （2）内角A，，的对边分别为，，．若，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可求出； （2）先由解得，再由正弦定理化角为边，由余弦定理求得，即可由正弦定理求得. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 ，则， 因为，所以，则，解得， 由可得， 由正弦定理可得，由余弦定理得， 因为，所以， 由正弦定理可得，即. 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）为奇函数； （2）在上单调递增，证明如下： 设，且， ， 因为，所以，，， 所以，即函数在单调递增， 又因为为R上的奇函数，所以函数在R上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）先求函数定义域，再根据与的关系判断奇偶性； （2）在区间上取，，且，对和作差，比较大小，得在上的单调性，再结合奇偶性得在上的单调性； （3）利用奇偶性和单调性将原式转化为对恒成立，独立m，求在上的最小值，得m的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为R， ，所以函数为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知为奇函数，且对恒成立， 即对恒成立， 由（2）知为增函数，所以对恒成立， 所以，令，， 因为在上单调递增，，， 所以实数的取值范围为. 【点睛】判断函数单调性时结合函数的奇偶性，先求函数在上的单调性，再得在上的单调性；第三问利用奇偶性和单调性，将问题转化为求函数的最小值问题. 19. 将某市20到80岁的居民按年龄分组为，，，，，，并制作频率分布直方图如下： （1）根据频率分布直方图，估计该市20到80岁居民年龄的第80百分位数； （2）为了解该市居民参与“健步走”活动的实际情况，从该市20到80岁的居民中随机抽取若干人作问卷调查．我们把年龄段的居民参与“健步走”活动的人数与该年龄段居民数之比称为年龄段居民“健步走”活动参与指数（简称健参指数），用表示．被调查居民各年龄段的健参指数如下： 年龄段 0.4 0.5 0.6 0.7 0.75 0.4 假若该市20到80岁的常住居民有100万人，利用样本估计总体的思想，解决下面的问题： （i）估算该市20到80岁的居民中“健步走”活动的参与人数； （ii）据权威部门对全国“健步走”活动参与人群调查发现，如果排除20岁以下和80岁以上的居民，60岁以下的人比60岁及以上的人更喜爱“健步走”活动．通过计算与的值，判断本次调查所得结果是否与权威部门给出的结论相符？若不相符，请你从统计学的角度分析产生差异的原因（结论开放，写出其中一条原因即可）． 【答案】（1）59岁 （2）（i）60万人， （ii），， 因为， 所以由调查结果可知60岁以上的人比60岁及以下的人更喜爱“健步走”活动 所以本次调查所得结果与权威部门给出的结论不相符， 产生差异的主要原因调查的样本不一定具有代表性，或一次取样未必能客观的反映总体，或样本容量过小等 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可， （2）（i）先根据频率分布直方图求出各年龄段的人数，再根据各个健参指数求出各年龄段参与“健步走”活动的人数，从而可求得结果， （ii）通过（i）计算的数据计算与的值，进行比较 【小问1详解】 因为前3组的频率和为，前4组的频率和为， 所以第80百分位数在第4组，设为，则 ，解得， 所以该市20到80岁居民年龄的第80百分位数为59岁， 【小问2详解】 （i）由频率分直方图可得 年龄在的人数为万人， 在的人数为万人， 在的人数为万人， 在的人数为万人， 在的人数为万人， 在的人数为万人， 所以参数“健步走”活动的人数为万人， 参数“健步走”活动的人数为万人， 参数“健步走”活动的人数为万人， 参数“健步走”活动的人数为万人， 参数“健步走”活动的人数为万， 参数“健步走”活动的人数为万人， 所以该市20到80岁的居民中“健步走”活动的参与人数为 万人， （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $