精品解析：上海市朱家角中学2023-2024学年高一下学期第二阶段质量检测数学试题

上海市朱家角中学2023学年度第二学期第二阶段质量监测 高一数学 命题人：沈丽芳 （满分120分 时间90分钟） 2024.5 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 已知，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据正切的和角公式计算即可. 【详解】解：因为，所以 故答案为： 2. 复数的虚部是__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用复数的相关概念求解. 【详解】解：因为复数， 所以复数的虚部是-1， 故答案为：-1 3. 复数在复平面内对应的点位于第______象限. 【答案】三 【解析】 【分析】由复数的乘法运算和复数的几何意义求出即可. 【详解】， 所以对应复平面内的点为，位于第三象限， 故答案为：三. 4. 已知，，则满足条件的x=______(结果用反三角记号表示) 【答案】 【解析】 【分析】由反余弦函数直接求解. 【详解】依题意可得. 故答案为：. 5. 在正方形中，向量与向量的夹角是__________．（用弧度制表示） 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据向量夹角的概念求解. 【详解】向量与向量的夹角是的补角，而， 故. 故答案为：. 6. 若a为第三象限的角，则=____________. 【答案】0 【解析】 【分析】先通过二倍角公式将原式化简，再根据角的象限判断的符号，进而去掉绝对值得到答案. 【详解】原式=， 因为a为第三象限的角，所以， 所以上式=. 故答案为：0. 7. 已知点，，若点满足，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标是，利用共线向量的坐标运算可得，求解可得点的坐标. 【详解】设点的坐标是，由，， 可得，， 又，则有， 即，解得. 故答案为：. 8. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可． 【详解】解：向量，， 在上的投影向量的坐标为：，． 故答案为：，． 9. 设复数，满足，且，其中为虚数单位，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 【详解】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 10. 平面上三点的坐标分别是.小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得设的方程为，设，结合，列出方程求得，即可求解. 【详解】设的方程为， 将点代入得，解得且，则， 由题意知，小猫离小林同学最近时所在位置的点与的连线与垂直 设，则， 所以，解得，所以点. 故答案为：. 11. 在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量基本定理得到答案. 【详解】因为E为AD中点，所以， 因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以， 所以. 故答案为： 12. 已知复数满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可得复数对应的点在以为圆心，半径长为1的圆上，结合复数的运算可得=，和表示点到原点和点的距离，利用基本不等式可求的最大值，可得，进而可求得复数对应复平面上的点构成区域的面积. 【详解】因为，所以复数对应的点在以为圆心，半径长为1的圆上． ， 注意到和表示点到原点和点的距离，而三角形是直角三角形， 所以 故，即对应的点到的距离不超过4， 所以对应的点构成以为圆心､半径长为4的圆，面积是． 故答案为： 【点晴】本题考查复数的几意义，复数的运算，共轭复数的意义，考查基本不等式的应用，转化思想的应用，运算求解能力. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13. 若，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以，解得或，所以是的充分不必要条件，故选A. 考点：复数相等的概念与充要条件. 14. 函数（其中，，）的部分图像如图所示，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象求出，然后结合周期公式求出的值，进而根据函数图象过点以及求出的值，即可求出结果. 【详解】由图象可知，所以，又因为，所以，所以，因为函数图象过点，所以，又因为，所以，因此， 故选：C. 15. 若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量基底概念可得答案. 【详解】对于A， ，能作为基底； 对于B，，不能作为基底； 对于C，，能作为基底； 对于D， ，能作为基底； 故选：B. 16. 已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的对称性建立坐标系，利用坐标运算再结合二次函数求出结果即可. 【详解】以中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意建立坐标系，用坐标表示向量的数量积计算即得. 三、解答题（本题满分56分）本答题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤. 17. 设z是实系数一元二次方程的根. （1）求出所有z； （2）选取（1）中求出的一个z值，计算的值. 【答案】（1）； （2）若时，；若时， 【解析】 【分析】（1）利用实系数方程求解复数根即可； （2）代入复数，化简求解即可. 【小问1详解】 ， 即， 即或， 故或， 即或； 【小问2详解】 略 若时， ； 若时， . 18. 已知平面向量满足，且． （1）求向量的夹角； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)由平方，根据向量数量积的运算方法即可求出cosθ，从而可求θ； (2)由得，根据向量的数量积运算律即可求出λ﹒ 【小问1详解】 由平方得， ∵，∴，解得， ∵，∴； 【小问2详解】 由(1)知． ∵，∴， 化简得， ∴，解得． 19. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量； （2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 20. 已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. （1）若是实数，求的最小值； （2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由复数的几何意义求出点，然后在由是实数求出，最后由两点间距离公式结合二次函数求出结果即可； （2）设，利用向量相等和垂直的坐标表示，求出的值，进而求出，然后利用向量的夹角公式求出即可； 【小问1详解】 由题意可得， 因为是实数， 又， 所以，则， 所以， 所以的最小值为. 【小问2详解】 依题意，设，因为， 则， 所以，则， 又，所以，可得，则， 所以， 故， 所以与的夹角为. 【点睛】结论点睛：与垂直的坐标表示为. 21. 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 【答案】（1）或 （2）①存在，；②，最大值为2 【解析】 【分析】（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出的值，从而可求出求； （2）①方法一：由题意可得，然后解关于的方程组可得结果，方法二：设则，再由题意得，从而可求得结果， ②设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则，化简后再利用可求得其最大值. 【小问1详解】 因为复数， 所以， 而为纯虚数，因此，即. 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或. 【小问2详解】 ①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得， 解得或 ， 因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以； 法二：设是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则， 所以即， 所以，所以 ， 且时，满足. 所以. ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线， 所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为 则且， 因此的面积， ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2. 【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的有关概念的应用，考查复数的几何意义的综合应用，解题的关键是对复数的几何意义的正确理解，考查数学计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市朱家角中学2023学年度第二学期第二阶段质量监测 高一数学 命题人：沈丽芳 （满分120分 时间90分钟） 2024.5 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 已知，则____________. 2. 复数的虚部是__________． 3. 复数在复平面内对应的点位于第______象限. 4. 已知，，则满足条件的x=______(结果用反三角记号表示) 5. 在正方形中，向量与向量的夹角是__________．（用弧度制表示） 6. 若a为第三象限的角，则=____________. 7. 已知点，，若点满足，则点的坐标为______. 8. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为________． 9. 设复数，满足，且，其中为虚数单位，则________. 10. 平面上三点的坐标分别是.小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为______. 11. 在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则_______. 12. 已知复数满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是__________． 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13. 若，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分又不必要条件 14. 函数（其中，，）的部分图像如图所示，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 15. 若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 16. 已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本题满分56分）本答题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤. 17. 设z是实系数一元二次方程的根. （1）求出所有z； （2）选取（1）中求出的一个z值，计算的值. 18. 已知平面向量满足，且． （1）求向量的夹角； （2）若，求实数的值． 19. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 20. 已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. （1）若是实数，求的最小值； （2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 21. 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $