小专题1 等腰三角形的性质与判定、三线合一的灵活应用-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(北师大版)

>8 小专题1等腰三角形的性质与判定、三线合一的灵活应用 类型一求角度或证明角度之间的关系 1.已知在等腰三角形ABC中，AC=BC,∠C=2∠B.求∠B的度数. 2.如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB=AC=DC,AD=BD,求∠C的度数 3.小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD= BC,求证：∠ABC=2∠ACD.小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下 面两种方法： 方法2：如图2，过点B作BE⊥CD,垂足为E. 方法3：如图3，过点C作CF⊥AB,垂足为F 根据阅读材料，从三种方法中任选一种方法，证明：∠ABC=2∠ACD, 图1 图2 图3 类型二求线段的长或证明线段相等 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC的平分线AD与∠ABC的平分线BG相交于点E, 过点E向边AB作垂线EF,垂足为F,DE与EF相等吗？说明你的理由. 9 5.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且DE∥AB,过点E作 EF⊥DE,交BC的延长线于点F (1)求证：△CEF是等腰三角形： (2)若CD=3,求DF的长. 6.如图1，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE. (1)求证：BD=CE: (2)如图2，若∠BAC=90°，∠DAE=60°，AB=2√2，求线段BD的长. 图1 图2 类型三证明线段的位置关系 7.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，E是BA延长线上一点，F是AC上一 点，且AE=AF,连接EF并延长交BC于点G.求证：AD∥EG. 8.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，连接AD,过点C作CE∥AD,交BA的 延长线于点E. (1)求证：EC⊥BC: (2)若∠BAC=120°，试判定△ACE的形状，并说明理由. 103.C【解析】OA=OB,∠AOB=60°， DE⊥AB,∴.∠AED=90°. .△AOB是等边三角形.∴.AB=OA=OB= ∴.∠ADE=180°-90°-60°=30°. 18cm.故选C. 4.等边三角形【解析】：(a-b)2+1b-cl= :AE=2AD=2. 0,∴.a-b=0且b-c=0.∴.a=b=c 小专题1等腰三角形的性质与判定、 ,△ABC是等边三角形. 三线合一的灵活应用 5.60【解析】△ABC中，AB=AC, 1.解：AC=BC,∴.∠A=∠B. .∠B=∠C. 设∠A=∠B=x°，则∠C=2∠B=2x ∠A=∠C,∴.∠A=∠C=∠B=60° 根据三角形内角和定理，得x+x+2x=180. 6.4【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D. .x=45..∠B=45 LA=30,AC=4,CD=24C=2. 2.解：AB=AC,∠B=∠C .'AC=DC,∴.∠CAD=∠CDA. ,AD=BD,∴.∠B=∠BAD. ∴.∠BAD=∠C=∠B. ·∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B, 六△1BC的面积=B,CD= ×4×2=4 .∠CAD=2∠B. 7.10【解析】如图，过点P作PD⊥AB于点D, ·,∠C+∠CAD+∠CDA=∠B+2∠B+2∠B= 则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，且 5∠B=180°， ∠PDB=90°.∠PBD=30°，∠PAB=15°， ∴.∠B=36°..∠C=36 .∠APB=∠PBD-∠PAB=15°=∠PAB. 3.解：方法1：∴∠ACB=90° .PB=AB=20海里.在RL△PBD中，，PB= ∴.∠BCD=90°-∠ACD. 又BD=BC,∴，∠BCD=∠BDC 20海里，∠PBD=30°，PD=7PB ∴.△BCD中，∠ABC=180°-2∠BCD= 10海里. 180°-2(90°-∠ACD)=2∠ACD: 方法2：，∠ACB=90°，BE⊥CD. ∴，∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=9O. 30 ∴.∠ACD=∠CBE. 8.证明：，AB∥DC,∠A=60°，∴.∠ADC=120°. 又，BD=BC,BE⊥CD,∴.∠ABC=2∠CBE. ,DB平分∠ADC, ∴.∠ABC=2∠ACD: LADB=2∠ADC=60°=LA 方法3：，∠ACB=90°，CF⊥AB, ∴.∠A+∠ABC=∠BCF+∠ABC=90. ∴.BA=BD..△ABD是等腰三角形 ∴.∠A=∠BCF. :∠A=60°，∴.△ABD是等边三角形 BD BC, 9.解：'.AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC .∠BCD=∠BDC, ∠BAD=∠BAC=60 即∠BCF+∠DCF=∠A+∠ACD. 112 ∴.∠DCF=∠ACD.∴.∠ACF=2∠ACD. ∠DAM=3∠DAE=30. 又：∠ABC+∠BCF=∠ACF+∠BCF=9O° ∴∠B=45°，AD=2DM.∴.AM=BM ∴.∠ABC=∠ACF.∴.∠ABC=2∠ACD. 4.解：DE=EF,理由如下： 又：AB=22,.AM=BM=2 :AB=AC,AD平分∠BAC, 由勾股定理，得AD=D+AM. ∴.AD⊥BC. DM=2 3 B.:BD=BM-DM=2-23 3 :BG平分∠ABC,EF⊥AB. 7.证明：.AB=AC ∴.DE=EF ∴.△ABC是等腰三角形，∠B=∠C. 5.(1)证明：·△ABC是等边三角形， :D是BC的中点，÷AD⊥BC ,∠A=∠B=∠ACB=60°. :AE=AF,,∠E=∠AFE. DE∥AB, ∠AFE=∠GFC,∴.∠E=∠GFC. .∴，∠B=∠CDE=60°，∠A=∠CED=60°. ∴.∠B+∠E=∠C+∠GFC,即∠EGC=∠EGB. ∴.∠CDE=∠CED=60°. ∴.EG⊥BC.:AD⊥BC,∴.AD∥EG. ,EF⊥DE,∴.∠DEF=90°.∴.∠F=30°. 8.(1)证明：AB=AC,D是BC的中点， ,∠F+∠CEF=∠DCE=60°. ∴.AD⊥BC.∴.∠ADB=90 ∴.∠F=∠CEF=30°. ,CE∥AD,.∠BCE=∠ADB=90°. ∴.CE=CF..△CEF是等腰三角形 ∴，EC⊥BC (2)解：由(1)可知∠CDE=∠CED, (2)解：△ACE是等边三角形.理由如下： .CE CD =3. ,∠BAC=120°，∴.∠EAC=60°. 又CE=CF,∴.CF=3. 又：AB=AC, ∴.DF=DC+CF=3+3=6. 6.(1)证明：如图1，过点A作AF⊥BC于点F ∠B=∠ACB=2×(180°-1200)=30 :AB=AC,AD=AE,AF⊥BC, .EC⊥BC, ∴.∠ACE=90°-30°=60°=∠EAC .BF=CF,DF EF. ∴.EA=EC.∴.△ACE是等腰三角形. BF-DF=CF-EF,即BD=CE. :·∠ACE=60°，，△ACE是等边三角形. 2直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 【边学边练】 图1 图2 1.C【解析】·在Rt△ABC中，有一个锐角等 (2)解：如图2，过点A作AM⊥BC于点M. 于50°，∴.另一个锐角的度数为90°-50°= :AB=AC,AD=AE,AM⊥BC,∠BAC=90°， 40°.故选C. ∠DAE=60°， 2.C【解析】①∠A+∠B=∠C,∴.2∠C= 六∠BMM=7∠BAC=45, 180°.∴∠C=90°，.△ABC是直角三角形； ②∠A:∠B:∠C=5:3:2,∴.设∠A=5x,则 113