山西省晋城市第一中学校2023-2024学年高二下学期第四次调研考试（5月）数学试题

晋城一中2023一2024学年高二年级第二学期第四次调研考试试哪 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.若复数2=3-4i,则|z= A.5 B.2+5 C.万 D.5 2已知R,品是精图c号+卡=1(e>6>0)的两个焦点，M为C的顶点，者△，R的内心和重 心重合，则C的离心率为 9 B⑧ 2 c D.} 3.若(2-+(2-x)+(2-x)=a+ax+a2x2+ax2rax+ax,则a+a1+a1+4+a4= A.+ B.3 e.2 D.1 4.我国铁路百年沧桑巨变，从尚无一寸高铁，到仅用十几年高铁建设世界领先，见证了中华民族百 年复兴伟业，某家庭两名大人三个孩子乘坐高铁出行，预定了一排五个位置的票（过道一边有三 个座位且相邻，另一边两个座位相邻)则三个孩予座位西好在过道同一侧的概率为 点局 c品 D动 5.已知乎面a,B和直线m,n,若mCa,nCa,则“m∥B,n∥8”是“α∥B'的 A.充分而不必要条件 B.必耍而不充分条件' C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四 边形ABCD内部任意一点，产=AA店+uA⑦，若A+μ>1，则角A的范宙为 A(0,若) B.(0,号) c.(g) D.(骨) 7.已知偶函数代)与其导函数g(x)定义城均为R子-2x)为奇函数若2是/x)的极值点，则 g(x)=0在区间(0,6)内解的个数最少有( )个 A.7 B.8 C.9 D.11 8.已知数列{an}满足，a1=1,na,1=(2n+2)a,则 too 244+au+…+ao0 A品 B品 c易 D易 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量X-N4,子)，则 A.EtX)=1 B.E(2X+1)=9 c00=2 D.D(2X+1)￥1 10.已知方程，√个+cosx+√1-cosx=√的正根构成等差效列，则k= A.2+2 B. C.2 D.4 1.函数代x)=-bx+6x有三个不同极值点南名，且ce〔-1,0).则 A.6>万 B.对+写+>3迈 C.x+矧+号的最大值为3 D.12为的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.抛物线C:y=4x上的动点P到点(3,0)的距离等于它到C的准线距离，则P到焦点距离为 13.下图装满水的圆台形容器内放进半径分别为1和3的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相 切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 4已知点Pe,l≤≤lr小，则点P到动直线x-y-m=0tmR)的最大距离的 最小值为 ·:页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{a.的前n项和S.=1-2“,且满足b,=1ogaa (1)求数列{a.},{b.}的通项公式： (2)数列{}的前n项和为比较和五的大小 16.(15分)如图所示，在等腰直角△ABC中，AB=BC,点E、F分别为AB,AC的中点，将△AEF沿 EF翻折到△DEF位置： (1)证明：平面BCD⊥平面BDE; (2)若DB=EB,求平面DEF与平面DEC夹角的余弦值 17.(15分) 2021年教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保 章学生每天校内、校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学 校某体育项目测试有0%的大满分，而该校有20%的学生每天运动时间超过两个小时，这些 人体育项目测试满分率为50% (1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测流相互独立，求三人中满分人数的分布例和期塑： (2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意漏查一名学生，求他体育项目测试满分 的概率： (3)体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个 人中的任何一人，第1次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率 ·数学第3页（共4页）】 18.(17分)函数f八x)=(x2+ax)e(a∈R), (1)求(x)的单调区间： (2)若f(x)=x只有一个解，则当x>0时，求使过>(：-)(d-1)成立的最大整数k 19.(17分)函数y=x+上是我们最熟悉的函数之一，它是奇函数，且y轴和直线y=是它的渐近 线，在第一象限和第三象限存在图象，其图象实质是圆锥曲线中的双曲线 (1)函数y=×+上的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，求其对称轴1的方程； (2)若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转， 简称转轴 (1)请采用适当的变换方法，求函数y=x+士变换后所对应的双曲线标准方程： (ⅱ)已知函数y=+士图象上任一点到平面内定点A,B的距离差的绝对值为定值， 以线段B为直径的圆与y=x+上的图象一个交点为P,求△PAB的面积 ·数学第4页（共4页）】数学答案与解析 1.D2.C.3.A4.A5.B 6.【答案】B 【解析】由不=入A店+uA,当P在直线BD上时，A+红=1，当 圆C与DB的初点在DB延长线上时，圆C落在四边形ABCD内 部部分与直线DB没有公共点，此时A+以>1，得LDBC> 2 0<LC<号，故答案为(0，号). 7.【答案)D 【解析(x)为偶画数，所以八)=-x)∫'(x)=-∫'(-x)→g(x)=-g(-x), 所以g(x)为奇函数 50)=0国为子-2)为青画数所以子-2)=-子+2)，得是-)=-2+， 即)关于点（子，0）对称，所以∫（子+）=∫"（子-）. 即g(县+)=g子-曰g到=（号-动，① 所以g)=-g-)=g(号-到→g()=-gx+》),② 得g(x)=g(x+3),g(x)的周期为3. 故g(x)为周期为3的奇函数g(0)=g(3)=0. 又2是f八x)的板值点，得g(2)=0,g(5)=0,g(-2)=0,g(1)=0,g(4)=0. g(x)=g(x+3),又g(x)为奇函数，g(x)=-g(-x)=g(x+3),得-g(-x)=g(x+3), 所以g)关于点（号，0）对称，散g号》)=0，且g2+3)=g号)=0， 0g()=g(号-)g1)=g(号-)=g(分)=0，又g宁)=g(分+3)=g(好)=0 @g()=-gx+2)=g（0）=-g1+2)=-g字)=0，又g3)=g号+3)=g学)=0 故倒=0在0.6)内解最少有分l,号2号3，子4号3，号少有11个 -数学答案第1页（共10页）】 8.【答案)C 【解折】由m1=(2n+2)a,得8=2+ a. 所以品2=22器-2号2u2em 2=2片释a,=2 设=a1+a+a+…+am=1…2°+2·2+3…2+4…23+…+100…2”① 则2S=1·2+2·22+3·2+4…2+…+100…20② ①-②得-5=1+2+22+23+…+2”-100,20 -5=1-2m 7f-2-2m.10=-992m-1 S=99·2+1 a,+a1+a4+…+4m99.2而90 01o 9.BD 10.【答案】ACD 【解桥l法-】由+co+-coas-√2cw2乏+2sin之=医得 可s引+m=压 作引+恤=k2+2x=mx子 由y-i的图象可知，的值为0,1，号时。 2 个+c05+个-co元=瓜的正根构成等差数列，得k=2,4,2+巨，故选ACD. 【法二ly=+eo+-r=√2eas2受+2m2受=间ow引+血 其周期为T,设xe[0,] 15 则y=受引+如》 xe[0,m], 其图象如右图所示 y=可s引+血引=的正根构成等 差数列，得瓜=2、瓜=瓦时成立，故CD正确； 且x=受✉=要✉=浮x=孕y值也满足愿意， (em景+os哥）=反（(n号+wsgP2=瓦√m景+eow晋+2轴骨os号 得k=2+2,故A正确， 数学答案第2页（共10页）】 11.【答案】BCD 【解析心)=-bx+c有三个不网极值点两西， 则∫'(x)=x-2bx+6=0有三个不等实根为名，出，高，则父-2x=-c定有三个解。 设g(x)=x3-2bx=g(x)=3x2-2b, 当6≤0，g(x)=3x2+2b≥0，得g(x)单调递增， -2a-6不会有三个解，所以b>06e)3时-26=0厚。 得)在（一，√受）华调选增，（√臣厚）单满适减，在厚+)单调遥塔 2-2-e定有三个解→g√受)>-e极成立， 图为-ee0,],所以s受)>1柜成立 印6悟)-（停+26昏1，得6故A溪： 设2-2bx+c=(￥-为1)(x-名2)(x-为)） =x-(的+而2+为)x+(气+需名+需为)常-名名， 故名+名+为=0，名十名两+为3为=-2b,为西=-C,故名离(0,1门，故D正确； 又（名1+为+）2=号+号+号+2所名+2锅1为+2x2两=0 +号+号=-(2x名+2出名+2x为)=46>3迈，故B正确； 又x+2bx1+c=0,x写+2bx1+c=0,号+2bx+c=0, 则+号+号=-2x1-c-2bm2-c-2b%-c=-3c, 又ce[-1,0),故-3c∈(0,3]， +号+名的最大值为3，故C正确 12.313.392m 9 14d+1山 4e2 【解标J由≤≤l,得0<≤1， 0.6 又Z≤， 当y≥0时，y≤-xnx, 当y<0时，y≥xnx, 由函数y=xn与y=-xnx图象可知点P位于 图中阴影部分区战， 则点P到直线x-y-m=0(m∈R)最大距离的 -0.6 最小值为需数y=一xx上初线斜率为1的点到直线常-y-1=0的距离的一半. 数学答案第3页（共10页）】 y=-xlnr=y'=-Inx -1, 设-n-1=1,得0=e2 点(e22)到x-y-1=0的距离为2-2e2-l.2+1.22+ 2e 故答案为②(c+) 4e 四、解答愿：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)因为5.=1-2 当n≥2时，a=5.-51=1-2°-(1-2)= …2分 又因为a=1时，4=S,=1-2=2也满足上式 …3分 所以当aeN”时，a=分 …4分 6.=log4a,=log附z 三月4444444444中44450444444444444t0444000t04484404400t0*4440t04440tS分 =-1京0 10分 当n=1时，2°=n+1 当n≥2时，2=C8+C+C+…+C=1+n+C+…+C>n+1,Sn>T.…12分 综上所述：当n=1时，Sn=T,当n≥2时，S>T…13分 16.解：(1)等腰直角△ABC中，AB=BC,得∠ABC=90° 点E、F分别为AB,AC的中点，EF∥BC, 所以EF⊥AB.…2分 将△沿EF翻折到△DEF位置后，EF⊥ED,EF⊥EB, EDC面BDE,EBC面BDE,DEnEB=E, 所以EF⊥面BDE. …4分 又EF∥BC,得BC⊥面BDE,又BCC面BCD,所以平面BCD⊥平面BDE…6分 (2)[法-】由(1)知BC⊥面BDE,所以面ABC1而BDE. 又因为DB=EB,所以△BDE为等边三角形， 设EB的中点为O,则D0⊥面ABC,过0作OM⊥AB交AC 于M.以0为坐标原点，0M,0B,0D所在直线分别为x,y,2 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AB=BC=4, 得D(0,0,3),E(0,-1,0),F(2,-1,0),C(4,1,0) 数学答案第4页（共10页）】 所以 ED=(01,√3)，EF=(2,0,0),EC=(4,2,0), 设平面DEF的一个法向量为元=(x1,,),则 成。ED=班+V3a1=0 成.EF=1=0 取m=(0,3,-√3)， 设平面DEC的一个法向量为元=(2,2,2)，则 元.ED=h+V32=0 元.Ed=42+2h=0 3 取元=（23，-V8), 所以 cos(m,元)= m。元 12 4V√19 成● 2V3。质 19 故平面DEF与平面DEC夹角的余弦值为 4V/19 19 17（1)该校随机抽取三人， 每个人满分的概率为40%，设抽取的三人中满分 人数为X,则X=0,1,2,3, Px=0=(》= 27 125 PX=)=C×6x(写 2 3 02 Px==gx× 3 品 125 P(X=3)=(3= 125 则X的分布列为： X 0 1 2 3 27 54 36 8 P 125 125 125 125 所以数学期望 27 54 36 8 6 E(X)=0× +1× +2× 125 125 125 +3× 125 5 (2)用A表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”， 则P(A=20%, P(A)=1-20%=80%, 用B表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”， 则P(B)=40%,且P(BA)=50% 又因为 P(AB)=P(A)P(BA)=20%×50%=10%, 所以 P(B)=P(AB)+P(AB)=10%+P(AB)=40%, 故P(AB)=30%, 所以P(BA= P(AB) 30% 3 Q00/ Q (3)记A表示事件“经过n次传球后，球在乙的手中”，设n次传球后球 在乙手中的概率为pn,n=1,2,3,…,n, 则有p=2所以An+1=A·A1+A·An1, 所以 pn+1=P(An·An+1+An·An+i） =P(An.An+1)+P(An.An+1) =P(An)●P(An+1An)+P(An)·P(An+1An) 1 =(1-pm)·2+pm0 21-pn), 1 1 即pn+1=- 2m+2m=1,2,3,, 所以数列{-}表示以。为首项，一2为公比的等比数列， 所以4-3=日×(--1， 11 所以 Pn= 6x(-1+=-（州 即第m次传球后球在乙手中的概率为1-（一2）》”1 18)函数f()=(2+ar)e,定义域为R,则()=x2+(a+2)x+ale2, 因为e2>0,设g(x)=x2+(a+2)x+a,△=(a+2)2-4a=a2+4>0, 则令g(x)=0得， -(a+2)-va2+4 1= 购=-a+2到+va+4 2 2 -(a+2)-√a2+4 当x∈（-0o, 时，9(x)>0,(x)>0,f(x)单调递增 2 当rea+2)-va+4 -(a+2)+va2+4 2 0时，9(x)<0,()<0,f()单调递减， 2 当xe( -(a+2)+va2+4 ,+o∞)时，g(x)>0,f(x)>0,f(e)单调递增 2 综上所述：(：)的单调递增区间为(-00， -(a+2)-Va2+4 ,（a+2)+va2+4 2 单调递减区间为（二a+2)-Va2+4 -(a+2)+Va2+4 2 2 (2)若f(x)=x即(x2+ax)e2=x只有一个解，因为x=0使方程成立，所以只有0是f(x)=x的解， 当z≠0时，(z+a)e2=1无非零解，设h(a)=(e+a)e-1,则h'()=(x+a+1)e, 当x<-a-1,h'(x)<0,h(x)单调递减， 当x>-a-1,h'(x)>0,h(x)单调递增， 所以h(x)最小值为h(-a-1)=-ea-1-1<0, 当x→-oo时，h()→-1，当x→+o时，h(x)→+oo, 故h(x)=(亿+a)e2-1定有零点，又因为(x十a)e=1无非零解，有零点应还是0， 所以h(0)=(0+a)e°-1=0，所以a=1,则f(x)=(x2+x)e, 但>e-e-以得+>他e-儿>0e>1 所以心+1 k-正，得k<卫+1 er-1 e2-1 设F()= x+1 21+之，则 -1-xe2 e(e2-x-2) 1 当x∈(0，x0)时，F(o)<0,)=e2-1,因为x>0,e>1, 所以G(x)>0,G(x)=e2-x-2在(0，+∞)上单调递增， 又G(1)=e-3<0,G(2)=e2-4>0 所以30∈(1,2)使得C(a)=0,所以e=m+2,且F'）=（e-0-2 (e2o-1)2 三0， ∈0，n)时，Fo)<0,F四=7 十x单调递减， 当x∈(o,+o)时，F'()>0,F(回=+1 ex-1 十x单调递增， 所以F@)最小值F)=十+.且e=十2，得 Feo)=0+1 +x0=x0+1, x0+1 又因为0∈(1,2)，所以0+1∈(2,3)，所以k<工+1 ex-1' 所以k<x0十1，故整数k的最大值为2， 19.解：(1)函数y=x+上的图象是圆锥曲线中的双曲线， 且y轴和直线y=x是它的渐近线可知，对称轴为直线 y=tan 3红.x和y=lan …2分 8 2tan T tan 平=tm(2:g)= 8 1-an2 ,得am2g+2an哥-1=0 8 解得m景=万-1，智+骨-受 所以tam子· an3红=1得an 8 n3g=瓦+1， mg=m(a-营)=-am营=1-万， 所以对称轴1的方程为y=(2+1)x和y=(1-2)x 5分 (2)(1)【法一】在转轴下，设坐标轴的旋转角为a,平面 上任一点P在旧坐标系x0y与新坐标系xOy内的坐标 : 分别为(，y)与(x,y),作PM⊥Ox,PN⊥Ox'再设 ∠P0x'=0,则 x'=ON =1OPI cos0,y'=NP =1OPIsine, x=OM=1OPIcos(a+0)=10PI(cosacos0-sinasine) =xC06议-ysn0,…8分 y=MP =10PIsin(a+0)=10PI(sinacose+cosasine)=x'sina +y'cosa 由(1)可知将坐标轴逆时针旋转受，函数y=米+将变为双曲线标准方程，由公式可得 x=x'cos n3知x=x1 专y2+1 1 =[x'-(2+1)y] 8 √4+2 V√4+22 √4+22 y=轴晋+yom晋yrEt+y 3 1 y=- 1[(反+1)x+y] W4+22 W4+2√2 W4+22 代人y=x+整理得是 =1.…11分 22+222-2 x=x'cos 晋-如 8 【或将 =r+ 代人y=x+马 3m 8 得受+m=-yo 8 3+ 3π-y'sin m 8