精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2023-2024学年第二学期全旗阶段性教学质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列根式中不是最简二次根式的是（ 　） A. B. C. D. 2. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. ＜1 B. ≥1 C. ≤1 D. ＞1 4. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 5. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 6. 若的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 7. 如图，在中，，于点D，，E是斜边AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形，，，的边长分别是2，3，1，2，则正方形的边长是（ ） A. 8 B. C. D. 5 9. 在中，，高，则的长为（ ） A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 以上都不对 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①，②，③④，其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上对应的横线上.） 11. 计算的结果是________． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的第三边长度为______． 13. 如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为___________． 14. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝__________． 15. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为______cm． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___． 三、解答题（本大题有6个小题，共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．） 17. 计算： （1） （2） 18. 阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： （1）计算：　　　　　，　　　　　； 若n为正整数，请你猜想　　　　　． （2）计算：； 19. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 20. 为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．求出该空地的面积． 21. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 22. 同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．书中的提示是：取的中点G，连接，这样易证后得到．在此基础上，请同学们探究以下问题： （1）如图（2），点E是边上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由； （2）如图（3），点E是的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期全旗阶段性教学质量检测 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列根式中不是最简二次根式的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开的尽方的因数或因式． =2，故不是最简二次根式． 故选C． 2. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简的方法是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除运算法则即可判断． 【详解】A、与不能合并，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、是最简二次根式，不能再化简，故不符合题意； D、，故符合题意． 故选：D 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. ＜1 B. ≥1 C. ≤1 D. ＞1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式分母不为零和二次根式被开方数的非负性计算即可． 【详解】∵代数式有意义， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，准确计算是解题的关键． 4. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 5. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8， ∴，D是AB的中点， ∵∠AFB=90°， ∴， ∴EF=DE-DF=1， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 6. 若的三边分别是a，b，c，则下列条件能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，利用三角形内角和定理求出中最大的内角度数即可判断A、B；利用勾股定理的逆定理：三角形中两较小边的平方和等于最大边的平方，那么该三角形是直角三角形，即可判定C、D． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴不能判断是直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不能判断是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴不能判断是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴能判断是直角三角形，符合题意； 故选D． 7. 如图，在中，，于点D，，E是斜边AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵E是斜边AB的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题关键． 8. 毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形，，，的边长分别是2，3，1，2，则正方形的边长是（ ） A. 8 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，即最大正方形的面积为，则可求出答案． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得： ； ； ； 即最大正方形E的面积为：， ∴最大正方形E的边长为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 9. 在中，，高，则的长为（ ） A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况求解：如图1，2，根据勾股定理求得，，再根据在锐角三角形中，，在钝角三角形中，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况求解： ①当是锐角三角形时，如图1，在锐角中，，边上高， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴； ①当是钝角三角形时，如图2，在钝角中，，边上高， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴； 综上所述，的长为4或14； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于分情况求解． 10. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：①，②，③④，其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；④根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：①∵∠AOC=90°，∠DOE=45°， ∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确； ②∵EF=， ∴OE=2． ∵AO=AB=3， ∴AE=AO+OE=2+3=5，故正确； ③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G， 则FG=1， CF=＝＝， BH=3-1=2， DH=3+1=4， BD=，故错误； ④△COF的面积S△COF=×3×1=，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，含45°的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度，正确作出辅助线是解题的关键． 二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上对应的横线上.） 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的第三边长度为______． 【答案】或##8或6 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 第一种情况：等腰三角形的三边长分别为、和， ∵，化简得，，满足等腰三角形三边关系， ∴等腰三角形的第三边长为； 第二情况：等腰三角形的三边长分别为、和， ∵，化简得，，满足等腰三角形三边关系， ∴等腰三角形的第三边长为； 综上所述，等腰三角形的第三边长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 13. 如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可．本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点D作于点G， ∵, ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∴∠ABE＝∠CFE， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴∠CBF＝∠CFB， ∴CF＝CB＝5， ∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 15. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为______cm． 【答案】9.6 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∵ ∴ ∴， 故的长为, 故答案为：9.6． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为___． 【答案】 【解析】 【详解】∵AB=12，BC=5， ∴AD=5， ∴， 根据折叠可得：AD=A′D=5， ∴A′B=13－5=8， 设AE=x，则A′E=x，BE=12－x， 在Rt△A′EB中：， 解得：． 故答案为： 三、解答题（本大题有6个小题，共52分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： （1）计算：　　　　　，　　　　　； 若n为正整数，请你猜想　　　　　． （2）计算：； 【答案】（1）；； （2）2023 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键． （1）根据平方差公式，类比例子解答即可； （2）根据平方差公式，类比例子解答即可． 【小问1详解】 解： ； ； ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键， （1）根据勾股定理可得到的长，可得到，从而推出四边形是平行四边形，故可得，从而得到的长； （2）根据，代入即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴． 20. 为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．求出该空地的面积． 【答案】这块四边形空地的面积是96平方米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据勾股定理，可以得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到的形状，然后即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形ABCD的面积是：（平方米）， 即这块四边形空地的面积是96平方米． 21. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，勾股定理等； （1）由矩形的性质、线段垂直平分线的性质及可判定，由全等三角形的性质得，即可求解； （2）设，由勾股定理得，即可求解； 矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，能熟练用勾股定理进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 解得：， ， 同理可求：， ． 22. 同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．书中的提示是：取的中点G，连接，这样易证后得到．在此基础上，请同学们探究以下问题： （1）如图（2），点E是边上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由； （2）如图（3），点E是的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由； 【答案】（1） 解：的结论还成立，理由如下． 如图，在上取一点，使，连接， ， ，， 是正方形外角的平分线， ，， ， ，， ， ∴， ； （2） 解：的结论还成立，理由如下． 理由如下：如图，延长到，使， ， ． ， ， ． ， ， 即． ， ． 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）如图，在上取一点，使，连接，利用判定，从而得到； （2）延长到，使，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $