期末重难点真题特训之压轴满分题型（50题10个考点）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

期末重难点真题特训之压轴满分题型（50题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、利用二次根式的性质化简压轴题型 1．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 2．化简 ． 3．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 4．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 5．阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 压轴满分题二、一元二次方程根与系数的关系压轴题型 1．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 2．设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为 ． 3．已知方程①，和方程② (1)若方程①的根为，，求方程②的根； (2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根； (3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值． 4．已知关于x的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，解关于x的不等式． 5．已知关于x的一元二次方程两个实数解分别为x1和和x2，且3m+n＝1． (1)当n＝﹣5时，求x1和x2； (2)求n的最大值； (3)若x12＝x22，求2m+n的值． 压轴满分题三、一元二次方程的应用压轴题型 1．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　） A．若，则有一种围法 B．若，则有一种围法 C．若，则有两种围法 D．若，则有一种围法 2．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 ． 3．如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 4．如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．    素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板②       小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．    将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．    目标 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．    5．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 压轴满分题四、多边形压轴题型 1．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，分别在，上．    （1）当时， ． （2）当周长最小时， ． 3．在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 4．【问题背景】 三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和，四边形的内角和是． 【问题思考】 如图1，在中，延长到点D，，分别平分和． （1）若，，求的度数； （2）设，，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即，m是常量．在x与y变化的过程中，的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示；若变化，请说明理由． 【问题拓展】 在四边形中，设，，延长到点E，，分别平分和． （3）如图2，当，此时，的位置关系为 ； （4）如图3，当，，所在直线交于点N，请说明与α，β的数量关系； （5）将（4）中的条件改为，其余条件不变，请画出简图，并直接写出与α，β的数量关系． 5．已知，在中，，，，是射线，上的点，连接．分别过，作，外角的角平分线相交于点． (1)如图1，点，在线段，延长线上，若，求． (2)如图2，点在线段延长线上，点在线段上，与相交于点．若，求． (3)如图3，点在线段上运动（不与，重合），点在线段的延长线上运动，请直接写出的取值范围． 压轴满分题五、平行四边形的判定与性质压轴题型 1．如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在平行四边形中，平分，且与边交于点E，，垂足为F，连接，，平分，与交于点H，若，则平行四边形的面积为 ． 3．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，若，求； (3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 4．已知，如图1，四边形中，，； (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，若平分，连接，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点E作，垂足为F，点S在上，点N在上，若，，，求四边形的面积． 5．【方法运用】如图①，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、分别相交于点E、F，，的周长为10，求的值． 【拓展提升】如图②，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、的延长线分别相交于点E、F，连结点、，若，的面积为1，则四边形的面积为____________． 【拓展应用】如图③，若四边形是平行四边形，过点O作直线分别交边、于，过点O作直线分别交边、于G、H，且，若，，，则的长度是多少？    压轴满分题六、三角形的中位线压轴题型 1．如图，等边中，点分别为的延长线上，且，为的中点，为中点，，，则的长（    ） A．1.5 B． C．2.5 D． 2．如图，，均为等腰直角三角形，其中，，点A，E，D在同一直线，与相交于点F，G为的中点，连接，． （1）的度数为 ． （2）若F为的中点，且，则的长为 ． 3．（1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长 ． （2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长； （3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长 ． 4．如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 5．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 压轴满分题七、特殊平行四边形的判定与性质压轴题型 1．矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．小江同学在学习勾股定理后，用两对全等的直角三角形（，）和正方形拼成如图所示的（无重叠也无缝隙），其中，，．记，的面积分别为，．则 ，若，则正方形的面积= ．    3．如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积． 4．如图，已知矩形纸片，，（）． (1)如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕交边于点E．求证：四边形是正方形． (2)将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在边上的点处，点B落在点处，折痕交边于点F，连结，如图2， ①求证：． ②若，，求折痕的长． ③当为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系． 5．如图，中，，P是边上一点，连接，作交的延长线于．设． (1)求证：． (2)求和的长． (3)当是等腰三角形时，则x的值为__________（直接写出答案）． 压轴满分题八、一次函数与平行四边形综合 1．如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿的路径，以的速度匀速运动至点停止．在此过程中，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则当时，的值为（     ）    A． B． C． D． 2．如图，以长方形的相邻边建立直角坐标系，，，点E是边上一点，将沿着翻折，点D恰好落在BC边上，记为点F．若线段沿y轴正半轴向上平移，得到线段，连结OF'．若△OA'F'是等腰三角形，则的坐标是 ． 3．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“中线三角形”．在直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴上，点的坐标是．      (1)在正方形的边上找一点，使得是边上的“中线三角形”，求点的坐标． (2)直线与正方形的两边的交点为，，能否是“中线三角形”？若能，求该直线的函数表达式；若不能，试说明理由． 4．将两块全等的直角三角板按如图1放置在平面直角坐标系中，，，点B坐标为，边CE在x轴上（点E在点C的右侧），且可沿x轴左右移动（点C不与点A重合），点E坐标为（m，0），连接AD，BC. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)当m为何值时，平行四边形ABCD为矩形？ (3)设平行四边形ABCD的面积为S． ①求S关于m的函数解析式； ②当时，请直接写出S的取值范围． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，以为边作矩形，D为的中点，以，为斜边端点作等腰直角三角形，点P在第一象限，设矩形与重叠部分的面积为S． (1)求点P的坐标． (2)当b值由小到大的变化时，求S与b的函数关系式 (3)在b值的变化过程中，若为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b的值． 压轴满分题九、反比例函数的图象与性质压轴题型 1．与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、； ①求的最小值； ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系内，反比例函数图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点，也在这个反比例函数图象上，且，请求出m的范围． 5．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2． (1)求证：； (2)求点B的横坐标； (3)当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围． 压轴满分题十、反比例函数综合 1．如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，且满足．    (1)求，的值及反比例函数的解析式； (2)若，求点的坐标，判断四边形的形状并说明理由； (3)若点是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点B、C在第二象限内． (1)求点B的坐标； (2)将正方形以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（50题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、利用二次根式的性质化简压轴题型 1．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 2．化简 ． 【答案】 【分析】将原式变形为，再求出，继而化简得到． 【详解】解：设 则 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质． 3．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 4．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 5．阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． （4）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． （4）①， ， 又， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， 此时m有最大值，最大值为， 又，结果分母都为正数， ， ②时， ③，， 又， 当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为， 此时m有最小值，最小值为， 又，结果的分母为负数， ， ， 综合①②③得m的取值范围为． 压轴满分题二、一元二次方程根与系数的关系压轴题型 1．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，进而推出，则，，即可推出，然后代入，得到，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意， ∴ ∴符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 2．设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得，代入可得，同理可得，两式相减即可得的值，进而可得的值． 【详解】解：由根与系数的关系得，，两式相加得．     因为是方程的根，所以，又， 所以①             同理可得②             ①-②得． 因为，所以，所以． 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键． 3．已知方程①，和方程② (1)若方程①的根为，，求方程②的根； (2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根； (3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程解得意义，当、是一元二次方程的两根时，，，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）根据一元二次方程的解的意义即可求得、的值，即可得到方程②，然后利用 配方法解方程②即可； （2）根据方程的定义得到，两边同时除以得：，即可得证； （3）根据题意得，利用根与系数的关系得到：，，进而得到，，可得，即可求解． 【详解】（1）的根为，， ， 解得：， 方程②为：， ，； （2）当方程①有一根为， ， 两边同时除以得：， 是的根， 是方程②的根； （3）， ， 方程①的根是与，方程②的根是和， ，，，， ，，， ， ． 4．已知关于x的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【分析】（1）由不等式的解集与一元二次方程根与系数的关系求解； （2）根据相应方程两根的大小分类讨论求解． 【详解】（1）解：原不等式可化为， 由题知，是方程的两根， 由根与系数的关系得，解得； （2）解：原不等式可化为， 因为，所以原不等式化为， 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题． 5．已知关于x的一元二次方程两个实数解分别为x1和和x2，且3m+n＝1． (1)当n＝﹣5时，求x1和x2； (2)求n的最大值； (3)若x12＝x22，求2m+n的值． 【答案】(1)x1，x2＝2 (2) (3) 【分析】（1）利用n的值求得m＝2，则方程化为2x2﹣5x+2＝0，然后利用因式分解法解方程； （2）先利用根的判别式的意义得到（2m+1）2﹣4×2m2≥0，解得m，再用m表示n得到m（1﹣n），即（1﹣n），解不等式得到n的范围，从而得到n的最大值； （3）利用x12＝x22得到x1＝x2或x1＝﹣x2，当x1＝x2，易得m；当x1＝﹣x2，则，解得m（舍去），再计算对应的n的值，然后计算2m+n的值． 【详解】（1）解：当n＝﹣5时，3m﹣5＝1， 解得m＝2， 方程化为：2x2﹣5x+2＝0， （2x﹣1）（x﹣2）＝0， 2x﹣1＝0或x﹣2＝0， 所以x1，x2＝2； （2）解：根据题意得＝（2m+1）2﹣4×2m2≥0， 解得m， ∵3m+n＝1， ∴m（1﹣n）， ∴（1﹣n）， 解得n， ∴n的最大值为； （3）解：∵x12＝x22， ∴x1＝x2或x1＝﹣x2， 当x1＝x2，则＝0，即m； 当x1＝﹣x2，则， 解得m， 而m， ∴m舍去， ∴m的值为， ∴3×（）+n＝1， 解得n， ∴2m+n＝． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与=b2-4ac有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根，还考查了解一元二次方程、根与系数的关系以及解一元一次不等式等内容． 压轴满分题三、一元二次方程的应用压轴题型 1．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　） A．若，则有一种围法 B．若，则有一种围法 C．若，则有两种围法 D．若，则有一种围法 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：，图2围法，设矩形菜园垂直于墙的边为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案． 【详解】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 此时都不符合题意， 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验不符合题意， 综上：若，，则没有围法，故A符合题意； 设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 经检验符合题意； 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验符合题意， 综上：若，则有两种围法，故B不符合题意； 设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 经检验都符合题意； 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验都不符合题意， 若，则有两种围法，C不符合题意， 设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 经检验符合题意； 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验都不符合题意， 综上所述，若，则有一种围法，D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键． 2．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 ． 【答案】/8平方厘米 【分析】 设矩形的长为，宽为，根据图①和图②的阴影面积列出方程组，求出的值，再求图③的面积求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，由题意，得： ， 整理，得：， 把②代入①得：③， 把③代入①得：， 整理，得：， 解得：， 当时，， 当时，（不合题意，舍去）； ∴长方形的长为cm，宽为cm， ∴图③中的阴影面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，找准等量关系，列出方程，是解题的关键． 3．如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 【答案】(1)5cm² (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，梯形的面积公式，一元二次方程的解法的应用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． (1)当时， 可以得出，就有，由梯形的面积就可以得出四边形的面积； (2)如图1， 作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2， 作于E，在中， 由勾股定理建立方程求出其解即可； (3)分情况讨论， 如图3， 当时， 如图4， 当时， 如图5， 当 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【详解】（1）解： ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ ∴． 答：四边形面积是 5cm²； （2）解：如图1， 作于E， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：； 如图2，作于E，    ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴ 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． 综上所述： 或； （3）解：如图3， 当时， 作于E，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：． 如图4， 当时， 作于E，    ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得：； 如图5， 当时，    ∵， ∴， ∵， 在中，由勾股定理，得 解得， (舍去)， 综上所述：或或或． 故答案为：或或或． 4．如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．    素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板②       小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．    将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．    目标 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．    【答案】目标1：，目标2：（1）储物盒的容积为立方厘米（2）玩具机械狗不能完全放入该储物 【分析】（1）由制作过程知小正方形的边长为，，再利用面积公式即可得出收纳盒的高为，进而即可得出答案； （2）由盒子的底面积为得出底面边长，然后求出收纳盒的高为，与玩具机械狗的高比较大小，进而即可得出答案． 【详解】（1）解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则图中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长， 由图知，设上下宽为，左右宽为， 两个长方形之间的部分为， ，， 则， 所以收纳盒的高为，体积为， 答：储物盒的容积为立方厘米；    设盒子的另一底边长为， 盒子的底面积为， ， ， 收纳盒的高为， 此时，之间还有一段空隙，在此种情况下 ， 玩具机械狗不能完全放入该储物； 当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为 玩具机械狗也不能完全放入该储物； 综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物． 答：玩具机械狗不能完全放入该储物．    【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，合理将实际问题转化成方程组是解决此题的关键． 5．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆 (2)促销时每袋应降价3元 【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【详解】（1）设总共生产了袋手工汤圆， 依题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了袋手工汤圆 （2）设促销时每袋应降价元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得， 整理得： ， ∴方程无解 ∴10天不能全部卖完 ∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 ∴依题意得， 解得 ∵要促销 ∴ 即促销时每袋应降价3元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 压轴满分题四、多边形压轴题型 1．如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 2．如图，在四边形中，，，，分别在，上．    （1）当时， ． （2）当周长最小时， ． 【答案】 /度 /度 【分析】（1）由四边形内角和求出，所以，即可求出． （2）作关于和的对称点，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线，进而即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ， 故答案为． （2）如下图，作关于和的对称点，连接，交于，交于， 则， ， 即即为的周长最小值． 作延长线， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和性质和外角和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和性质和外角和性质是解题的关键． 3．在中，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)48 (2)222 (3) (4)或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，四边形的内角和定理，平行的性质和折叠的性质，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得的度数； （2）根据四边形内角和定理可得的度数； （3）由（2）的结论可得，由折叠可得，由三角形内角和定理可得，两式相减，可得答案； （4）分两种情况：或或时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：48； （2）解：， ， 故答案为：222； （3）解：由（2）知， ， 由折叠知， ， ， 得：； （4）解：如图，当时， ， ， ， 由（3）知， ， 由折叠知， ； 如图，当时， ； 如图，当时，点与点C在直线的同侧，不合题意； 综上可知，的度数为或． 4．【问题背景】 三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和，四边形的内角和是． 【问题思考】 如图1，在中，延长到点D，，分别平分和． （1）若，，求的度数； （2）设，，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即，m是常量．在x与y变化的过程中，的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示；若变化，请说明理由． 【问题拓展】 在四边形中，设，，延长到点E，，分别平分和． （3）如图2，当，此时，的位置关系为 ； （4）如图3，当，，所在直线交于点N，请说明与α，β的数量关系； （5）将（4）中的条件改为，其余条件不变，请画出简图，并直接写出与α，β的数量关系． 【答案】（1）；（2）不变，；（3）平行；（4），说明见解析；（5）图见解析， 【分析】（1）根据角平分线的定义可求得和的度数，再根据，即可求出的度数． （2）由（1）得，将，代入化，再将 代入化简以后的式子中即可得与m的关系式． （3）根据四边形的内角和等于，且，可得，进一步可得．根据角平分线的定义及平行线的性质可得． （4）根据四边形的内角和等于，可得，由平角的定义可得．根据角平分线的定义可得，．再根据进行化简即可得到与α，β的数量关系． （5）根据四边形的内角和等于，可得，由平角的定义可得．根据角平分线的定义可得，，再根据进行化简即可得到与α，β的数量关系． 【详解】（1）， ． ∵，分别平分和， ，， ， ． （2）的大小不变，理由如下： 由（1）得， ． （3）∵四边形内角和等于， 而， ， ， ， ∵，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：平行 （4）∵四边形中， ， ， ， ∵、分别平分和， ，， ． （5）如图，时， ∵四边形中， ， ， ． ∵、分别平分和， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．已知，在中，，，，是射线，上的点，连接．分别过，作，外角的角平分线相交于点． (1)如图1，点，在线段，延长线上，若，求． (2)如图2，点在线段延长线上，点在线段上，与相交于点．若，求． (3)如图3，点在线段上运动（不与，重合），点在线段的延长线上运动，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，结合邻补角的概念和角平分线的定义可求得，，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据邻补角的定义求出，根据三角形的外角性质可得。根据角平分线的定义可求得，，根据四边形内角和即可求解； （3）设，根据三角形的外角性质可得，结合邻补角的概念和角平分线的定义可得，，求得，，根据三角形的内角和求得，根据四边形内角和即可出的值，结合题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵，外角的角平分线交于点， 故，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，外角的角平分线交于点，， ∴，， 又∵， ∴； （3）设， ∵， ∴， ∴， ∵，外角的角平分线交于点，， ∴，， ∴， ， ∵，， ∴， 故； ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的相关计算，三角形内角和定理，三角形外角性质，邻补角的概念等，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 压轴满分题五、平行四边形的判定与性质压轴题型 1．如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算，利用上述性质，逐项判断即可解答，熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 是等边三角形， , ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ，， ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中， ，故②正确； 由②知：， ， 故③正确； ， ，故④错误； ， 为等腰三角形的角平分线， 平分，故⑤正确， 故正确的为：①②③⑤， 故选：B． 2．如图，在平行四边形中，平分，且与边交于点E，，垂足为F，连接，，平分，与交于点H，若，则平行四边形的面积为 ． 【答案】289 【分析】根据平行四边形的性质结合结合角平分线的定义，证明，由直角三角形的特征及等腰三角形的性质证明，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：延长交于点G， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为， 故答案为：289． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的特征，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 3．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，若，求； (3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，利用，得到，即可得解； （3）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，从而得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为边上的中点， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， 连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ∴， ，即 ， ∴； （3）解：连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， 为直角三角形， 为的中点，为的中点， 设， ， ， 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 4．已知，如图1，四边形中，，； (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，若平分，连接，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，过点E作，垂足为F，点S在上，点N在上，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明可得，从而可得结论； （2）先证明，，再结合平行四边形的性质可得结论； （3）如图，延长至使，过作交于，交于，延长与的延长线交于点，证明，，再证明，可得，，设，可得，表示，，，，再利用勾股定理建立方程求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）由（1）得，四边形为平行四边形， 可得：，，， ∴，． ∵平分， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． （3）如图，延长至使，过作交于，交于，延长与的延长线交于点， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 由勾股定理可得： ， ∴， 解得：，（舍）， ∴，， ∴； 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．【方法运用】如图①，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、分别相交于点E、F，，的周长为10，求的值． 【拓展提升】如图②，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、的延长线分别相交于点E、F，连结点、，若，的面积为1，则四边形的面积为____________． 【拓展应用】如图③，若四边形是平行四边形，过点O作直线分别交边、于，过点O作直线分别交边、于G、H，且，若，，，则的长度是多少？    【答案】【方法运用】；【拓展提升】12；【拓展应用】． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，，则有，证明即可； （）利用平行四边形的性质及，可得，，从而得出即可求解； （）过作，，利用等面积法即可； 此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）【方法运用】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴． （2）【拓展提升】解：∵，的面积为1， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴；， 同【方法运用】得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12； （3）【拓展应用】解：∵，， ∴， 又∵ ， ∴而， 过作，，    ∴， ∴， ∴， 由，， ∴， 故答案为：． 压轴满分题六、三角形的中位线压轴题型 1．如图，等边中，点分别为的延长线上，且，为的中点，为中点，，，则的长（    ） A．1.5 B． C．2.5 D． 【答案】B 【分析】先添加辅助线构造等腰三角形，设，结合等边三角形和等腰三角形的性质可得，进而可得，的值，易知，再证明是的中位线，结合中位线的性质解得的值，即可求解． 【详解】解：如下图，延长至点，使得，连接，过点作于点， 设， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴，即， 又∵为中点， ∴为的中位线， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，根据题意正确添加辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 2．如图，，均为等腰直角三角形，其中，，点A，E，D在同一直线，与相交于点F，G为的中点，连接，． （1）的度数为 ． （2）若F为的中点，且，则的长为 ． 【答案】 /90度 【分析】（1）先证得进而可求出的度数； （2）作于点H，则，可证明，则，再由勾股定理求得，依据，解得，则，，进而可求出的长． 【详解】解：（1）∵，均为等腰直角三角形，，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为； （）作于点H，则，， ∴， ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长 ． （2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长； （3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长 ． 【答案】（1）5；（2）；（3） 【分析】[操作与思考] 以为边，向左侧作等边三角形，结合等边三角形的性质利用可证明，可知，再利用勾股定理可求得答案； [迁移与应用] 作B关于的对称点，连接，可得等边三角形，再以为边，向左侧作等边三角形，类比可证，得，再作延长线于F，利用勾股定理可求得，再结合三角形中位线定理即可求得答案； [拓展与创新] 连接，以为边作等边，交于点，过点作，由等边三角形的性质可证，得，设，得，，进而可证得为直角三角形，结合等边三角形的性质可得，，，为的中点，则，由直角三角形斜边上的中线可得，由，知，得，则，设，则，由勾股定理可得：，即：，易得，则，，进而可得． 【详解】[操作与思考]解：以为边，向左侧作等边三角形， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ，，， ， ， ，， ， 故答案为：； [迁移与应用]解:作B关于的对称点，连接，再以为边，向左侧作等边三角形，再作延长线于F，如图所示： ∵， ∴， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴点B、C、在同一直线上， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∵， ， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵C，D分别为，的中点， ∴； [拓展与创新]连接，以为边作等边，交于点，过点作于点H，连接，，如图所示： ∵为等边三角形，为的中点， ∴，，，， 则， ∵，为等边三角形， ∴，，， 则，， ∴， ∴， ∴，设 则，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴平分， ∴，为的中点，则， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，则，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，勾股定理，旋转的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解决问题的关键． 4．如图，在中，平分，于点，点是的中点．          【探究】 （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________； 【初步运用】 （3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________； 【灵活运用】 （4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.5；（4） 【分析】（1）利用证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可； （2）延长、相交于D，类似（1）的方法探究线段、、之间关系即可； （3）延长、相交于F，利用证明，得出，利用平行线的性质，等角对等边以及余角的性质可证明，利用三角形中位线定理求，利用勾股定理求出即可； （4）过D作于N，交的延长线于M，利用等腰直角三角形的判断与性质可得出，利用证明，得出，利用证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）延长、相交于D， 由（1）同理可证， ∴， ∵点是的中点， ∴； 故答案为：； （3）延长、相交于F， 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2.5； （4）过D作于N，交的延长线于M， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判断等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造三角形的中位线是解题的关键． 5．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）通过取边上中点，连接，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （2）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （3）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （4）在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，先根据三角形中位线定理推出，由平分的周长推得，再根据等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征即可得到． 【详解】（1）解：如图，取边上的中点，连接， 为中点，为中点， ， ，， ，， 在中，， 即． （2）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． （3）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． 故答案为：． （4）解：如图，在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于， ，点是中点，点是的中点， ，，，， ，， ， ， ， 正好平分的周长， ， 又，点是中点， ， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、三角形三边关系、等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理解三角形的三边关系． 压轴满分题七、特殊平行四边形的判定与性质压轴题型 1．矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，根据翻折的性质知，，，垂直平分，说明，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：连接，交于点， 在矩形中，，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵点为的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，利用等积法求出的长是解题的关键． 2．小江同学在学习勾股定理后，用两对全等的直角三角形（，）和正方形拼成如图所示的（无重叠也无缝隙），其中，，．记，的面积分别为，．则 ，若，则正方形的面积= ．    【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质．如图，由题意知，，四边形为正方形，则，，，，，设，，正方形边长，则，，则①，②，推出，设小正方形的边长是，的长是，，根据，得出，则，根据，得出，进而计算即可． 【详解】解：如图，由题意知，，四边形为正方形， ，，，，， 设，，正方形边长， ，， ①， ②， ①②得， 即， ， 设小正方形的边长是，的长是，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 3．如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）先利用矩形的性质以及已知条件得到、，再根据全等三角形的性质可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先根据矩形的性质得到，即，再由勾股定理可得；再根据直角三角形的性质可得，进而求得可得，然后根据三角形中位线的性质可得、，最后根据图形即可解答． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴, ∴， ∵，， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, ∴, ∵的中点， ∴；同理可得：， ∴四边形的面积为 4．如图，已知矩形纸片，，（）． (1)如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕交边于点E．求证：四边形是正方形． (2)将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在边上的点处，点B落在点处，折痕交边于点F，连结，如图2， ①求证：． ②若，，求折痕的长． ③当为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；②；③当为等腰三角形时，或 【分析】（1）由题意易得四边形是矩形，然后根据折叠的性质可求证； （2）①由（1）可得，然后可得，进而可得，最后问题可求证；②过点E作于点D，由题意可得，则有，，设，则，然后根据勾股定理可求解；③由题意可分当时，当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）①证明：由（1）可知， 在矩形中，， 由折叠的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：过点E作于点D，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； ③解：∵， ∴， 由题意可分： Ⅰ、当时，过点E作于点N，连接，如图所示：    由折叠可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得：； Ⅱ、当时， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 在矩形中，， ∴点与点A重合， 由折叠的性质可知与点C重合， ∴四边形是正方形，即，与矛盾； Ⅲ、当时，连接，交于点O，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知垂直平分，即， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 解得：； 综上所述：当为等腰三角形时，或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 5．如图，中，，P是边上一点，连接，作交的延长线于．设． (1)求证：． (2)求和的长． (3)当是等腰三角形时，则x的值为__________（直接写出答案）． 【答案】(1)证明见解析 (2)，， (3)或． 【分析】（1）证明四边形为平行四边形即可得到结论； （2）利用平行四边形的对边相等求解，如图，过作于，而，则，再利用勾股定理可得； （3）如图，当时，证明，而，，可得，过作于，再进一步解答即可，如图，当时，证明四边形是菱形即可，当时，重合或在的延长线上，不符合题意，舍去，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）∵，， ∴，，， 设，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于，而，则， 设， ∴，，， ∴， 解得：， ∴； （3）由（2）可得：，，， 如图，当时， ∴， ∵， ∴，而，， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图，当时， 而四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 当时，重合或在的延长线上，不符合题意，舍去， ∴的值为：或． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义，含的直角三角形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 压轴满分题八、一次函数与平行四边形综合 1．如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿的路径，以的速度匀速运动至点停止．在此过程中，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则当时，的值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，当时，点到达边的中点，然后根据分割法求的值． 【详解】解：设菱形的边长为，过点作于，如图，   ， 则， ， ， ，， 由图可知，当点在点时，的面积最大， 此时， 解得：或（舍去）， ，， 当点到达点时，， ， ， 点的速度为， 当时，点到达边的中点，如图所示：   ， 则， 在菱形中，， ，， 是等边三角形， ，， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键． 2．如图，以长方形的相邻边建立直角坐标系，，，点E是边上一点，将沿着翻折，点D恰好落在BC边上，记为点F．若线段沿y轴正半轴向上平移，得到线段，连结OF'．若△OA'F'是等腰三角形，则的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】根据矩形及折叠的性质得，，进而可求出的值，分类讨论：若，若，若，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， 由折叠对称性：，， 在中，， 如图，由平移可知：，， ∴四边形是平行四边形， ，， ， 如图，过点作于H， ， ∴四边形是矩形， ， ∴F′的横坐标为4， 分三种情况讨论： 若， ， ， 的坐标是； 若， ，， ， 的坐标是； 若， 在中，， 设， ， ， ， 解得：， 的坐标是； 综上所述，若是等腰三角形，的坐标是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、坐标与图形变化——对称、平移，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“中线三角形”．在直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴上，点的坐标是．      (1)在正方形的边上找一点，使得是边上的“中线三角形”，求点的坐标． (2)直线与正方形的两边的交点为，，能否是“中线三角形”？若能，求该直线的函数表达式；若不能，试说明理由． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，进而得到中点D的坐标为，再分当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可； （2）先证明直线与x轴，y轴的夹角（锐角）都为，则当与有交点时，一定不满足能否是“中线三角形”；当与交于E、F时，则，则，再证明，进而证明，得到；当中线时，由等腰直角三角形的性质得到，，同理，则三点共线，则，求出，得到，则，利用待定系数法即可求出直线解析式为；当中线时，过点E作于H，设，点T为中点，则，，由勾股定理得到，则，，求出，同理可得，则，求出，则直线解析式为． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，， ∴中点D的坐标为， 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为；    如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为；    如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或；    （2）解：在中，当时，，当时，， ∴直线与x轴，y轴的交点到原点的距离相同， ∴直线与x轴，y轴的夹角（锐角）都为， ∴当与有交点时，一定不满足能否是“中线三角形”； 当当与交于E、F时，则， ∴， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当中线时， ∵为的中点， ∴，， 同理， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为；    如图所示，当中线时，过点E作于H，设，点T为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴直线解析式为； 综上所述，直线解析式为或．      【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 4．将两块全等的直角三角板按如图1放置在平面直角坐标系中，，，点B坐标为，边CE在x轴上（点E在点C的右侧），且可沿x轴左右移动（点C不与点A重合），点E坐标为（m，0），连接AD，BC. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)当m为何值时，平行四边形ABCD为矩形？ (3)设平行四边形ABCD的面积为S． ①求S关于m的函数解析式； ②当时，请直接写出S的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2)当时，可以证明平行四边形ABCD为矩形 (3)①；② 【分析】（1）证明即可； （2）根据有一个角是90°的平行四边形是矩形证明即可； （3）①根据计算即可，需要注意分类讨论； ②结合函数关系式进行计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ． ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）∵在中，， ∴． 当平行四边形ABCD为矩形时，， ∴． ∵点B坐标为，，， ∴在中，，． ∵， ∴，． ∴，． ∵在中，， ∴，． ∵点E坐标为， ∴． ∴． 反之，当时，可以证明平行四边形ABCD为矩形． （3）①∵， ∴． ∵点E坐标为， ∴点C坐标为． 当时，，不合题意 当时，， ∴． 当时， ， ∴． ∴． ②当时，随m的增大而减小 ∴当时有最大值，最大值为 当时有最小值，最小值为 而 ∴此时无解 当时，随m的增大而增大 ∴当时S有最大值，最大值为 当时S有最小值，最小值为，此时不存在平行四边形ABCD ∴． 综上所述，当时，． 【点睛】本题考查四边形动点综合问题，解题的关键熟记平行四边形的判定、矩形的判定、30°的直角三角形性质． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，以为边作矩形，D为的中点，以，为斜边端点作等腰直角三角形，点P在第一象限，设矩形与重叠部分的面积为S． (1)求点P的坐标． (2)当b值由小到大的变化时，求S与b的函数关系式 (3)在b值的变化过程中，若为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b的值． 【答案】(1) (2) (3)4，5或 【分析】（1）因为以，为斜边端点作等腰直角三角形，点P在第一象限，所以可作于K，则，进而可求，即可得到； （2）需分情况讨论：当时，；当时，重合部分是一个等腰直角三角形，可设交于H，，所以；当时，重合部分是一个四边形，因此可设交于H，四边形的面积=三角形的面积-三角形的面积，因为，，所以，当时，重合部分就是直角三角形，所以． （3）因为为等腰三角形，所以需分情况讨论，当时，．当时，（舍），．当时，． 【详解】（1）解：∵以，为斜边端点作等腰直角三角形，点P在第一象限， ∴， ∴ 作于K，则， ∴， ∴； （2）①把点的坐标代入得到，，解得， 当点A落在线段上（可与点M重合）时，如图（一），此时，； ②把点的坐标代入得到，，解得， 当点A落在线段上（可与点K重合）时，如图（二），此时， 当时，， ∴，即点A的坐标为，即， 设交于H，， ∴， ③把N点的坐标代入得到，，解得， 当点A落在线段上（可与点N重合）时，如图（三），此时，设交于H，， ∴， ④当点A落在线段的延长线上时，，如图（四）， ； ∴综上所述，S与b的函数关系式为； （3）∵点C、D的坐标分别为， ，， 当时，即，则，解得或（不合题意，舍去）； 当时，即，则， 解得（P、C、D三点共线，舍去），； 当时，即，则， 解得． 综上可知，b的值为4，5或． 【点睛】本题是一道综合性极强的题目，考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法． 压轴满分题九、反比例函数的图象与性质压轴题型 1．与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设，则，即可得到反比例为，再求得的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，将解析式联立，解方程组求得的坐标，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得结论． 【详解】∵与交于A、B两点， ∴设，则， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由题意得：，， ∴，即， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ，解得，， ∴， 过点作轴，过点作轴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， ∴（负值舍去）， 故选：A． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，求得交点的坐标是解题的关键． 2．如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为 ． 【答案】或． 【分析】设点，则，进而得点，由此可得直线的表达式为，解方程组，得点，再由两点间的距离公式得，，，当为直角三角形时，有以下两种情况：①当时，由勾股定理得，则，由此解出，②当时，由勾股定理得，则，由此解出，综上所述即可得出的值． 【详解】解：设点的横坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点在直线上， 点， 又点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， 点， 设直线的表达式为：， ， ， 直线的表达式为：， 解方程组：，得，（不合题意，舍去）， 点， 点， ，，， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， 即：， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当为直角三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交，直角三角形的性质，勾股定理，公式法解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求正比例函数解的析式，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 3．如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、； ①求的最小值； ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或N() 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识． （1）求出，用待定系数法可得反比例函数的表达式为，令得的坐标为； （2）①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，由，，可得，，即可得到答案； ②设，，分两种情况：当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，由的等腰直角三角形，证明，可得，即可解得，；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，解得，． 【详解】（1），， ， 将代入得： ， 解得， 反比例函数的表达式为， 在中，令得， 的坐标为； （2）①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称， ， 当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 由（1）知，， ， ， 的最小值是； ②设，， 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 解得， ，； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ，； 综上所述，的坐标为，或，． 4．如图，在平面直角坐标系内，反比例函数图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点，也在这个反比例函数图象上，且，请求出m的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入，即可求解， （2）由在每个象限内的增减性，与，得出，在不同的象限，得到 ，由，得到，即可求解， 本题考查了，求反比例函数解析式，根据反比例函数的增减性求参数，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法． 【详解】（1）解：将点代入，得：，解得：， ∴，， 故答案为：， （2）解：，，， ∵反比例函数，， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∵，， ∴，在不同的象限， ∴，，即： ， ∵， ∴，即：， ∴当时，， 故答案为：． 5．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2． (1)求证：； (2)求点B的横坐标； (3)当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，详见解析； (2)，详见解析； (3)或，详见解析． 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性等知识点， （1）把交点A的横坐标分别代入正比例函数、反比例函数的解析式得到，变形得到； （2）根据正比例函数、反比例函数的中心对称性即可求得； （3）根据正比例函数、反比例函数的性质借助图象即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求得； 熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键． 【详解】（1）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为； （3）∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为， ∴当时，对于实数m，当时，；当时，，m的取值范围是或， 解得或． 压轴满分题十、反比例函数综合 1．如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可． 【详解】 过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F， 设点A（m，n）， ∵AE⊥x轴，DF⊥x轴， ∴， ∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点， ∴DF=，即点D的纵坐标为， ∵反比例函数的图象经过点和点， ∴D（2m，）， 设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b， 将A（m，n），D（2m，）代入得：， 解得：， ∴AD所在的直线函数表达式为：， 当y=0时，解得x=3m， ∴C（3m，0）， ∴OA=OC=3m， 在Rt△OAE中，AE=， ∵菱形的面积为， ∴OC×AE=，解得：m=， ∴AE=， ∴A（，2）， 故选：A 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，作交y轴于点N，若的面积为6，则k的值为 ． 【答案】 【分析】解：本题考查了反比例函数的图象与菱形的综合问题，涉及三角形的面积、中线的性质、反比例函数的几何意义等知识，先表示出直线表达式，由中线的性质和反比例函数的表达式即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长交y轴于点F， ∵点是菱形对角线的中点， ∴点三点共线．轴 设点，则， 故直线 故直线 点是的中点， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，且满足．    (1)求，的值及反比例函数的解析式； (2)若，求点的坐标，判断四边形的形状并说明理由； (3)若点是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)矩形，理由见解析 (3)，， 【分析】（1）把和分别代入得：；进而把代入得，即可求解； （2）根据，设的解析式为，依题意得出的坐标为，进而可得解析式为，进而得出，过点作轴于点，则，故和都等腰直角三角形，得出，即可得出结论； （3）①当时，根据图形可得，②当时，由图得，代入反比例数解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：把和分别代入得：； 把代入得， 所求反比例函数解析式为， （2）， 设的解析式为， 又，在轴的正半轴上， 的坐标为， 以点、、、构成的四边形是矩形，理由如下： 解析式为， ， ，，， ， 又 四边形是平行四边形 过点作轴于点，则，故和都等腰直角三角形， ， ， 是矩形    （3）①当时，由图得：， ，则， ，    ②当时，由图得 ，解得：舍去 ， 综上所述：的坐标为，，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，矩形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，分类讨论，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点B、C在第二象限内． (1)求点B的坐标； (2)将正方形以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)或或 【分析】（1）过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出，从而得出，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标； （2）设反比例函数解析式为，根据平移的性质找出点的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论； （3）先求出点的坐标，再分三种情况，利用平行四边形的对角线中点坐标相同建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示．    ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴ ∴点的坐标为； （2）解：存在点Q满足题意. 设反比例函数解析式为， 由题意得：点坐标为，点坐标为， ∵点和在该比例函数图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数解析式为． （3）解：假设存在，设点P的坐标为，点Q的坐标为． 由（2）知， ①当与是对角线时， ∴ ∴， ②当与是对角线时， ∴， ∴， ． ③当与是对角线时， ∴， ∴， ∴ 综上所述，符合题意的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键． 5．如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)点Q的坐标为或或或． 【分析】（1）过点C作轴，交于点H，设，则，根据正方形的性质及各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可确定点C的坐标； （2）利用（1）中方法确定，由点恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：当时；当时；当为对角线时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点C作轴，交于点H， ∵，∴设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C， ∴， ∴； ∴； （2）解：如图所示，过点D作轴，，， 同（1）方法可得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点恰好落在反比例函数的图象上， ∴当时，，即点A向右平移个单位得到点， ∴即； （3）解：分三种情况讨论， 由（2）得点A向右平移个单位得到点， ∴， ∴， 当时，则且， ∴，，即，； 当时，此时点与点Q关于y轴对称，； 当为对角线时，此时， 设， ∴， 解得，即，且， ∴，即， 综上可得：点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等，理解题意，（3）中根据菱形的性质进行分类讨论是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$