精品解析：2024年安徽省合肥市百校联考中考最后一卷（三模）数学试题

百校联赢·2024安徽名校大联考最后一卷 数学（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 根据地区生产总值统一核算结果，一季度合肥市生产总值2772.1亿元，按不变价格计算，同比增长．其中2772.1亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是( ) A. B. C. D. 5. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 6. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题：①各角相等的多边形是正多边形；②任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等．其中，真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 点在该函数图象上 B. 当且时， C. 该函数图象与x轴一定没有交点 D. 当时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧 10. 如图，在四边形中，，以为直角边作等腰直角，点E正好落在边上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式：=__________ 12. 若点在第二象限，则a的取值范围是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数上的两点，设，，且，连接，分别过点A，B作轴，轴．若，则______． 14. 如图，在中，，是上一动点，连接，将沿折叠，使点正好落在上． （1）若，则______； （2）若，，则______． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． （2）将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；……； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式 ； （2）写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某数学兴趣小组用无人机测量一小山坡的高度，测量方案如图，先将无人机垂直上升至离水平面的点，此时测得山坡底端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行至处，此时测得山坡顶端的俯角为，求山坡的高度．（结果精确到，参考数据：，，． 20. 如图，是的弦，过点O作的垂线交于点C，垂足为点D过点C作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 六、解答题（每题12分，满分24分） 21. 某校举办“舞动青春”舞蹈比赛，某班舞蹈队共16名学生，测量并统计了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175． （1）求16名学生的身高的平均数、中位数和众数； （2）若全校共有480名学生参加本次比赛﹐请估计身高不低于166cm的学生人数； （3）本次比赛设置了A，B，C三个比赛地点，每个班级安排一名代表随机抽取决定比赛地点，请用列表或画树状图的方法，求甲班和乙班抽到不同比赛地点的概率． 22. 如图1，C为线段上一点，分别以，为底，在的同侧作等腰和等腰且．在线段上取一点F，使得，连接，． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点G，若G是的中点，且，求的长． 七、解答题（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，． （1）求直线，的函数表达式； （2）如图2，P是直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点Q，当的值最大时，求点P的坐标； （3）如图3，过点P作的平行线交抛物线的对称轴于点M，交直线于点D，抛物线对称轴与交于点N，若求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 百校联赢·2024安徽名校大联考最后一卷 数学（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的； 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 根据地区生产总值统一核算结果，一季度合肥市生产总值2772.1亿元，按不变价格计算，同比增长．其中2772.1亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里， 【详解】亿 故选：C 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项进行运算，然后判断即可． 【详解】解：A、，错误，故不符合要求； B、，错误，故不符合要求； C、，错误，故不符合要求； D、，正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算． 4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的主视图的含义可直接进行判断． 【详解】解：由题意可得：该几何体的主视图为 ； 故选A． 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的画法是解题的关键． 5. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为， 在数轴上表示该不等式组的解集如图所示： ， 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． 6. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∵过点和， ∴， 解得， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键． 7. 下列命题：①各角相等的多边形是正多边形；②任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等．其中，真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可． 【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形，故①是假命题； 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，故②为真命题； 正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题； 在正多边形中，中心角与正多边形的每个外角相等，都等于，故④为真命题. 故选：B． 8. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．由平均数与方差的含义可得答案． 【详解】解：由表知甲、丙、丁丙射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵丁的方差较小，较稳定， ∴选择丁参加比赛， 故选：D． 9. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 点在该函数图象上 B. 当且时， C. 该函数图象与x轴一定没有交点 D. 当时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质．把代入该函数解析式即可判断A；当时求出该函数解析式，求出该函数图象的对称轴和顶点，由函数的性质可以判断B；根据可以判断C；求出该函数的对称轴即可判断D． 【详解】解：当时，， 而不一定等于， ∴点不一定在该函数图象上， 故A错误，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为15， ∴当时，， 故B错误，不符合题意； ， ∵， ∴该函数图象与x轴一定有交点， 故C错误，不符合题意； 对称轴为直线， ∵， ∴， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧， 故D正确，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，以为直角边作等腰直角，点E正好落在边上，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 如图：过点E作交于F，证明是等腰直角三角形可得，进而证明，再由勾股定理得，然后证明，可得，即可得出结论． 【详解】解：如图：过点E作交于F， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项B不符合题意； ∵， ∴，故选项A不符合题意； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分解因式：=__________ 【答案】 【解析】 【详解】解： 故答案为： 12. 若点在第二象限，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据点所在的象限求参数，熟练掌握各象限点的坐标符号是解题的关键．根据第二象限点的横坐标为负，纵坐标为正，可得出关于a的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A，B是反比例函数上的两点，设，，且，连接，分别过点A，B作轴，轴．若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，过点A作轴于点H，延长交轴于点D，先求出，由反比例函数的几何意义得到，根据得到，求出，得到即可． 【详解】过点A作轴于点H，延长交轴于点D， ∵，在反比例函数上 ∴， ∵， ∴， ∴ 由反比例函数的几何意义得到， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 即， 由题意得：， ∵， ∴， 故答案为：2． 14. 如图，在中，，是上一动点，连接，将沿折叠，使点正好落在上． （1）若，则______； （2）若，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠性质，利用三角形外角性质得到，再利用平行四边形性质得到，设，列方程求解即可得到答案； （2）过作，如图所示，设，在中，利用含的直角三角形性质及勾股定理求出线段，在中，利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出，，由列方程求解得到，则在中，由代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）将沿折叠，使点正好落在上， ，， ，且是的一个外角， ，解得， 在中，，则， 设， ，解得， ， （2）过作，如图所示： 设， 在中，，则， ，由勾股定理可得， 在中，，则，由勾股定理可得， ，解得，则， 在中，， 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及折叠性质、三角形外角性质、平行四边形性质、含的直角三角形性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式混合运算等知识，熟练掌握平行四边形性质是解决问题的关键． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格． 【答案】A种茶每盒100元，B种茶每盒150元 【解析】 【分析】设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元，根据第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元列出方程组求解即可． 【详解】解：设第一次购进A种茶每盒x元，B种茶每盒y元， 根据题意，得 解，得 A种茶每盒100元，B种茶每盒150元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确设出未知数列出方程组求解是解题的关键． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． （2）将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【答案】（1） 如图，，即为所求作的三角形； （2） 如图，即为所求作的三角形， 【解析】 【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键． 18. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；……； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式 ； （2）写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2）， 由（1）得，第个等式：， 证明如下： ， 等式左边右边 【解析】 【分析】（1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，差与被减数互为倒数，被减数的分母比分子小1，由此即可得到第5个等式； （2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可． 【小问1详解】 解：第个等式：， 第个等式， 第个等式， 第个等式， ∴第个等式为：． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了分式有关的规律探索，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某数学兴趣小组用无人机测量一小山坡的高度，测量方案如图，先将无人机垂直上升至离水平面的点，此时测得山坡底端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行至处，此时测得山坡顶端的俯角为，求山坡的高度．（结果精确到，参考数据：，，． 【答案】山坡的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图所示： 由题意得，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 山坡的高度约为． 20. 如图，是的弦，过点O作的垂线交于点C，垂足为点D过点C作的平行线交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）证明，根据切线的判定即可； （2）利用垂径定理求出，在中，利用正弦的定义求出，在中，利用余弦的定义求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 六、解答题（每题12分，满分24分） 21. 某校举办“舞动青春”舞蹈比赛，某班舞蹈队共16名学生，测量并统计了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175． （1）求16名学生的身高的平均数、中位数和众数； （2）若全校共有480名学生参加本次比赛﹐请估计身高不低于166cm的学生人数； （3）本次比赛设置了A，B，C三个比赛地点，每个班级安排一名代表随机抽取决定比赛地点，请用列表或画树状图的方法，求甲班和乙班抽到不同比赛地点的概率． 【答案】（1）166.75，166，165 （2）270名 （3） 【解析】 【分析】本题考查的用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可； （2）用480乘以身高不低于166cm的学生人数所占百分比即可求解； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：平均数为：， 中位数为， 众数为165； 【小问2详解】 解：， ∴身高不低于166cm的学生人数为270名； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲班和乙班抽到不同比赛地点的有6种等可能结果， ∴甲班和乙班抽到不同比赛地点的概率为． 22. 如图1，C为线段上一点，分别以，为底，在的同侧作等腰和等腰且．在线段上取一点F，使得，连接，． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点G，若G是的中点，且，求的长． 【答案】（1）证明：∵等腰和等腰 ∴，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得出，利用平行线的判定得出，利用平行线的性质得出，然后利用证明即可； （2）取中点H，连接，利用三角形中位线定理得出，，设，则，，利用平行线的传递性得出，则可证，利用相似三角形的性质得出，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取中点H，连接， ∵G是的中点， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 七、解答题（本题满分14分） 23. 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，． （1）求直线，的函数表达式； （2）如图2，P是直线上方抛物线上的一个动点，连接交于点Q，当的值最大时，求点P的坐标； （3）如图3，过点P作的平行线交抛物线的对称轴于点M，交直线于点D，抛物线对称轴与交于点N，若求的长． 【答案】（1）直线解析式为，直线解析式为 （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）由求出，，，再用待定系数法可得直线、解析式； （2）过P作交于G，设，可得，，由，即可得，根据二次函数性质可得答案； （3）过D作于H，设，求出抛物线的对称轴为直线，直线解析式为，可得，，，联立，得，故，根据，得，可知，从而可得，的长为12． 【小问1详解】 解：在中，令得， ∴， 令得， 解得或， ∴，， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为； 设直线解析式为'，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：过P作交于G，如图： 设， 在中，令得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最大值； 此时， ∴当的值最大时，点P的坐标为； 【小问3详解】 解：过D作于H，如图： 设， 由可得，抛物线的对称轴为直线， 由，设直线解析式为，将代入得： ， ∴， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， 在中，令得， ∴， ∴， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（无实数解，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的长为12． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $