精品解析：安徽省合肥市多校联考2024年中考夺魁考试（二模）数学试题

数学（二） （试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 2023年安徽省地区生产总值4.71万亿元，增长，其中4.71万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的螺母的三视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，折叠矩形的角至角，折痕为，过点作平行，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 七年级四个民乐兴趣小组人数统计图表如下，部分数据丢失用“？”表示，已知统计表中四列中的数据是按从大到小顺序排列的，则表示的是（ ） 民乐小组人数统计表 民乐小组名称 人数 16 ？ ？ 5 A. 古筝 B. 笛子 C. 二胡 D. 葫芦丝 8. 如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（ ） A. B. 5 C. 9 D. 10 9. 如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，D，E分别为BC，AB的中点，P是AD上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 12. 不等式3x﹣1＜5的解集是 _____． 13. 如图，半圆的直径，点在弦上，，，，交半圆于，则的长为________． 14. 如图，为坐标原点，面积为8的的斜边经过点O，轴，A，B两点均在反比例函数的图象上． （1）________； （2）等腰的顶点D在反比例函数的图象上，底边经过点C，若的面积为16，，则的长为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，，求的值． 16. 利民超市第一批购进某种水果若干千克，花费了10000元，接着这种水果的单价下降了，该超市又用同样的钱数第二批购进这种水果，且多购进500千克．求该超市第一批购进这种水果的单价． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点）． （1）将线段向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到线段，画出线段（点的对应点分别为点，）； （2）以为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，画出线段（点的对应点分别为点，）； （3）连接并延长交线段于，则的值为______． 18. 【观察思考】如图，春节期间，广场上用盆景（☆）和花卉（□）组成菱形图案． 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中盆景的盆数为_________； （2）第1个图案中花卉的盆数可表示为，第2个图案中花卉的盆数可表示为，第3个图案中花卉的盆数可表示为，第4个图案中花卉的盆数可表示为，…，第n个图案中花卉的盆数可表示为__________； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉的盆数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在学校处测得图书城在其北偏东方向（即），千米；测得运动馆在其北偏东方向（即），千米，求图书城到运动馆的距离． （参考数据：，，，，，．） 20. 如图，为的一条弦，与相切于，平分，与交于，连接． （1）若，求的度数； （2）过点作于，求证：． 六、（本题满分12分） 21. 某中学开展“我劳动，我光荣”主题演讲比赛，参加决赛的40名选手的成绩分成五组进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 决赛选手成绩统计表 分组 分数段 频数 第1组 2 第2组 第3组 12 第4组 14 第5组 4 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，请在图中补全频数分布直方图； （2）40位参赛选手成绩的中位数落在第__________组； （3）选拔赛中成绩在第5组的选手有男生1名，女生3名，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，求恰好是一名男生和一名女生的概率． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在和中，，，，连接并延长交边于． （1）求证：； （2）如图2，若，求证：四边形为正方形； （3）如图3，连接，若，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：与抛物线：关于y轴对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）写出抛物线的函数表达式，并求出的长； （2）在抛物线上是否存在一点P，在抛物线上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）设抛物线与x轴相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．抛物线与y轴交于E，经过点A的直线与线段DE交于F，与y轴交于G，记的面积为，的面积为，若，求OG的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二） （试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 2023年安徽省地区生产总值4.71万亿元，增长，其中4.71万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：4.71万亿， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，分别根据幂的乘方、积的乘方运算法则，同底数幂的乘法、除法法则计算，逐一判断即可． 【详解】A、，原计算错误，不符合题意； B、，不能计算合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图所示的螺母的三视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：该螺母的主视图是一个六边形，六边形内部有一个圆；左视图是一个矩形，矩形中间有一条横向的实线，实线两侧分别有一条横向的虚线；俯视图是一行三个矩形，矩形的矩形的两侧分别有一条纵向的虚线． 故选：C． 5. 如图，折叠矩形的角至角，折痕为，过点作平行，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由矩形的性质得出，由折叠的性质可得：，，求出，利用平行线的性质得出，再求出，的度数即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ，， ， 故选：B． 6. 已知关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根之和，再由可求出，进而得出，最后用k表示出两根之积即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别为和， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 7. 七年级四个民乐兴趣小组人数统计图表如下，部分数据丢失用“？”表示，已知统计表中四列中的数据是按从大到小顺序排列的，则表示的是（ ） 民乐小组人数统计表 民乐小组名称 人数 16 ？ ？ 5 A. 古筝 B. 笛子 C. 二胡 D. 葫芦丝 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了统计表，扇形统计图，根据统计表和扇形统计图给出的数据即可得出答案，从统计图中得出必要的信息是解决问题的关键． 【详解】解：由统计表和扇形统计图得组人数最少，为人，组人数最多，为人， 七年级四个民乐兴趣小组总人数为（人）， 组人数所占的百分比为， 笛子人数所占的百分比为：， 由统计表得，统计表中四列中的数据是按从大到小顺序排列的，排在第三位， 表示的是古筝， 故选：A． 8. 如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（ ） A. B. 5 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和长方形的性质，整式加减的应用，设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，根据长方形周长公式分别得出，，由此即可得出答案，正确理解题意求出是解此题的关键． 【详解】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为， ∵两个正方形的周长和为45， ∴， ∴， ∴，， ∵矩形的周长为36， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为9， 故选C． 9. 如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二函数的图象和性质，先求出，，再判断二次函数的图象即可. 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∵一次函数与y轴的交点为，一次函数的图象与y轴交于点， ∴由图象可知，，即， 对于二次函数，其开口向上， 顶点的横坐标为，，顶点的纵坐标为， ∴顶点在第三象限，与y轴交于负半轴， 观察图象可知选D. 故选：D 10. 如图，在中，，，D，E分别为BC，AB的中点，P是AD上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，连接，过点A作的平行线与的延长线交于F，过点C作交的延长线于点H，证明出，的最小值为，再在 中，利用勾股定理求出即可求出，进而得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点A作的平行线与的延长线交于F，过点C作交的延长线于点H． ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，D，E分别为的中点，， ∴ ∴， ∵， ∴的最小值为． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 在中，， ∴由勾股定理，得， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题先根据算术平方根的定义计算，再根据绝对值的性质化简，最后进行有理数减法运算即可． 【详解】解：． 12. 不等式3x﹣1＜5的解集是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可. 【详解】解：3x﹣1＜5， 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键. 13. 如图，半圆的直径，点在弦上，，，，交半圆于，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形，连接，由题意得，，解直角三角形得出，最后由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，为坐标原点，面积为8的的斜边经过点O，轴，A，B两点均在反比例函数的图象上． （1）________； （2）等腰的顶点D在反比例函数的图象上，底边经过点C，若的面积为16，，则的长为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义： （1）根据反比例函数图象是关于原点成中心对称图形，即可； （2）先求出点B坐标，利用的面积为16，列出方程，解得t值即可得到线段长． 【详解】解：（1）如图，∵的面积为8，轴，反比例函数图象是关于原点成中心对称图形， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 又， ∴； 故答案为：4． （2）∵，的面积为8，设，则， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 如图，过点D作于F，设点D的坐标为，则， ∵的面积为16， ∴，解得 ， ∴， 故答案为：4；． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． 根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 16. 利民超市第一批购进某种水果若干千克，花费了10000元，接着这种水果的单价下降了，该超市又用同样的钱数第二批购进这种水果，且多购进500千克．求该超市第一批购进这种水果的单价． 【答案】5元/千克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该超市第一批购进这种水果的单价为元/千克，则第二批购进的单价为元/千克，根据“该超市又用同样的钱数第二批购进这种水果，且多购进500千克”列出分式方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设该超市第一批购进这种水果的单价为元/千克，则第二批购进的单价为元/千克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：该超市第一批购进这种水果的单价为5元/千克． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点）． （1）将线段向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到线段，画出线段（点的对应点分别为点，）； （2）以为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，画出线段（点的对应点分别为点，）； （3）连接并延长交线段于，则的值为______． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图；即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握平移变换、旋转变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，即可； （3）取格点，则，由平行线的性质得出，最后根据正切的定义计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取格点，则， ， ． 18. 【观察思考】如图，春节期间，广场上用盆景（☆）和花卉（□）组成菱形图案． 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中盆景的盆数为_________； （2）第1个图案中花卉的盆数可表示为，第2个图案中花卉的盆数可表示为，第3个图案中花卉的盆数可表示为，第4个图案中花卉的盆数可表示为，…，第n个图案中花卉的盆数可表示为__________； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉的盆数． 【答案】（1）（2）（3）该图案中盆景和花卉的盆数分别为10盆，90盆 【解析】 【分析】本题考查了用代数式表示图形变化的规律和一元一次方程的应用（其它问题），能根据所给图形发现盆景和花卉盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图案，发现盆景数量的变化规律即可解决问题． （2）根据所给给花卉盆数的表示方法，用n表示出第n个图案中花卉的盆数即可． （3）根据（1）（2）发现的规律即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给图案可知， 第1个图案中盆景的盆数为：； 第2个图案中盆景的盆数为：； 第3个图案中盆景的盆数为：4=3+1； …， 所以第n个图案中盆景的盆数为盆． 故答案为：； （2）因为第1个图案中花卉的盆数可表示为， 第2个图案中花卉的盆数可表示为， 第3个图案中花卉的盆数可表示为， 第4个图案中花卉的盆数可表示为， …， 所以第n个图案中花卉的盆数可表示为盆． 故答案为：； （3）由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为10盆，90盆. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在学校处测得图书城在其北偏东方向（即），千米；测得运动馆在其北偏东方向（即），千米，求图书城到运动馆的距离． （参考数据：，，，，，．） 【答案】13千米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，分别过点作于，于，过点作于，在中，解直角三角形得出千米，千米，在中，解直角三角形得出千米，千米，最后再由勾股定理计算即可得出答案，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，过点作于， 在中，，千米， ∴，， ∴千米，千米， 在中，，千米， ∴，， ∴千米，千米， 在中，千米，千米， ∴（千米）. 答：图书城到运动馆的距离约为13千米． 20. 如图，为的一条弦，与相切于，平分，与交于，连接． （1）若，求的度数； （2）过点作于，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图2， 分别连接，，延长交于，连接， ∵，为直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）分别连接，，，由于平分，可得即得，与相切于，可得，根据圆周角定理可得，即可得出结果； （2）分别连接，，延长交于，连接，根据，为直径，可得，，得到，即证结论． 【小问1详解】 解：如图1， 分别连接，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵与相切于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某中学开展“我劳动，我光荣”主题演讲比赛，参加决赛的40名选手的成绩分成五组进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 决赛选手成绩统计表 分组 分数段 频数 第1组 2 第2组 第3组 12 第4组 14 第5组 4 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，请在图中补全频数分布直方图； （2）40位参赛选手成绩的中位数落在第__________组； （3）选拔赛中成绩在第5组的选手有男生1名，女生3名，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，求恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）8， 补全的频数分布直方图如图所示； （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、中位数、用列表法和画画树状图法求概率，能从统计图中获取信息，掌握用列表法活画树状图法求概率的方法是解此题的关键． （1）用样本容量减去其他组的频数即可求出的值，再补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的确定方法即可确定为参赛选手成绩的中位数落在第几组； （3）用列表法或画树状图法即可求出恰好是一名男生和一名女生的概率． 【小问1详解】 解：由题意得： ； 【小问2详解】 解：因为40个数据的中位数是第20，21个数据的平均数，而第20，21个数据均落在第3组， 所以40位参赛选手成绩的中位数落在第3组； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知任选两人共有12种等可能结果，其中是一名男生和一名女生的情况共有6种， 所以恰好是一名男生和一名女生的概率为． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在和中，，，，连接并延长交边于． （1）求证：； （2）如图2，若，求证：四边形为正方形； （3）如图3，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形为正方形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得出； （2）由平行线的性质得出，由全等三角形的性质得出，求出即可得出四边形是矩形，再由即可得出四边形是正方形； （3）过点作，交于，证明得出，由勾股定理得出，从而得出，最后由等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，交于， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， 由（2）知，是直角三角形， ∴， ∴， 在等腰直角中，． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：与抛物线：关于y轴对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）写出抛物线的函数表达式，并求出的长； （2）在抛物线上是否存在一点P，在抛物线上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）设抛物线与x轴相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．抛物线与y轴交于E，经过点A的直线与线段DE交于F，与y轴交于G，记的面积为，的面积为，若，求OG的长． 【答案】（1）函数表达式为， （2）存在，20或12 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据轴对称的性质求出抛物线的解析式，再求出其与x轴的交点坐标，即可求得的长； （2）设点P的坐标为，根据平行四边形的性质，分两种情况讨论，分别列方程求解，即得答案； （3）设直线AF的函数表达式为，可求出，则，然后联立方程组求出点F的坐标，以及，的表达式，再根据列方程求解，即得答案． 【小问1详解】 抛物线：， 因为抛物线：与抛物线：关于y轴对称， 所以抛物线的函数表达式为， 令，解得或， 即，， ∴； 【小问2详解】 （2）存在；理由如下： 以为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ，.， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为或， 当点Q的坐标为时，，解得， 当时，，此时平行四边形ABQP的面积为20（如图1）； 当点Q的坐标为时，，解得， 当时，，此时平行四边形ABPQ的面积为12（如图2）； 综上，平行四边形的面积为20或12； 【小问3详解】 （3）令，解得或，即，. 如图3，设直线AF的函数表达式为， 直线AF经过点， ， ， 直线AF的函数表达式为，易得直线的函数表达式为， 联立， 解得， 点F的坐标为， ， ， ，即， ， ， 解得或， 点的纵坐标为或（不合题意，舍去）， ． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $