江苏省南京市中华中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷

2023-2024学年中华中学第二学期高一5月月考 一．选择题（每题5分） 1．设向量，，且，则　　 A．1 B． C．1或 D．或3 2．复数在复平面内对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．某校学生为测量操场上的旗杆高度，在与旗杆底端位于同一水平高度的共线三点，，处，测得旗杆顶端处的仰角分别为，且，则旗杆的高度为　　 A． B． C． D． 5．若锐角，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 6．如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为　　 A． B． C． D． 7．三棱锥所有棱长都为2，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 8．在中外心为G，内角，，的对边分别为，，，且a:b:c=5:5:8，若，则　　 A． B．50 C．25 D． 二．多选题（共3小题，每题5分） 9．已知为虚数单位，，则下列选项中正确的有　　 A． B．若复数z满足 C．在复数范围内，为方程的根 D．若复数的共轭复数，则 10．如图，在正方体中，点在线段运动，则　　 A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的取值范围为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．过作直线，则 11．已知中，角，，所对的边分别是，，，则下列命题正确的有　　 A．若 B．若 C．若 D．若 三．填空题（共3小题，每题5分） 12．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 　　． 13．设为锐角，若，则的值为 　　． 14．在中，是边AC上一点，且，若∠BDC为钝角，则当最小时，CD=　　． 四．解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）如图，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 16．（15分）已知向量，，，函数． （1）若，且，求的值； （2）若，，，，．求的值． 17．（15分）如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，． （1）求角的大小； （2）若，，，，求的长． 18．（17分）如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数，，，，的图象，图象的最高点坐标为．第二部分是长为1千米的直线段，轴．跑道的最后一部分是以为圆心的一段圆弧． （1）若新校门位于图中的点，其离的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于点的万象楼，求该学生走过的路的长； （2）若点在弧上，点和点分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值． 19．（17分）已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点 ①求与平面所成角的正弦值； ②求二面角的平面角的余弦值． 2023-2024学年中华中学第二学期高一5月月考 一．选择题（共8小题） 1．设向量，，且，则　　 A．1 B． C．1或 D．或3 【解答】解：，，且， 则，解得或1． 故选：． 2．复数在复平面内对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：=18+26i， 复数在复平面内对应的点的坐标位于第一象限． 故选：A． 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解答】解：若，，则或或与相交，故错误； 若，，则或或与相交，故错误； 若，，由直线与平面垂直的性质可知，，故正确； 若，，则或或与相交，故错误． 故选：． 4．某校学生为测量操场上的旗杆高度，在与旗杆底端位于同一水平高度的共线三点，，处，测得旗杆顶端处的仰角分别为，且，则旗杆的高度为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设， 由题意知，，，， 所以，，， 在中，因为， 所以， 所以，即， 解得， 所以旗杆的高度为． 故选：． 5．若锐角，满足，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由于， 所以， 整理得：， 于是． 故选：． 6．如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题图可知，， 则， 解得舍去）， ，， 则向量在向量上的投影向量为， 其坐标为． 故选：． 7．三棱锥所有棱长都为2，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解答】 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 由三棱锥所有棱长都为2， 可得：，，，， 则，， 即， 又， 即向量夹角的余弦为， 则异面直线，所成角的余弦值为， 故选：． 8．在中外心为G，内角，，的对边分别为，，，且a:b:c=5:5:8，若，则　　 A． B．50 C．25 D． 【解答】解： 故选：A． 二．多选题（共3小题） 9．已知为虚数单位，，则下列选项中正确的有　　 A． B．若复数z满足 C．在复数范围内，为方程的根 D．若复数的共轭复数，则 【解答】，虚部是-5，，把z2带入方程所以是方程的根； 故选：． 10．如图，在正方体中，点在线段运动，则　　 A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角的取值范围为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．过作直线，则 【解答】解：在中，，平面，平面， 平面， 点在线段上运动，到平面的距离为定值， 又△的面积是定值，三棱锥的体积为定值，故正确； 在中，由知，则异面直线与所成的角即为直线与所成的角，连接，，则有△为正三角形，则点在线段运动，当点与或重合时，直线与所成角最小，为， 当点为线段的中点时，直线与所成角最大，为， 故异面直线与所成角的取值范围是，，故错误； 在中，不妨设正方体中棱长为1，设到平面平面的距离为，用等体积法求出，直线与平面所成角的正弦值为，的最小值为，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故正确． 在中，过作直线，则，，，故正确． 故选：． 11．已知中，角，，所对的边分别是，，，则下列命题正确的有　　 A．若 B．若 C．若 D．若 【解答】解：因为 ．，，，，，故正确； ．，，，， 最大， 又， ， 是钝角三角形，故错误； ．， ， ， 又， ，故正确； 故选：． 三．填空题（共3小题） 12．若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 　　． 【解答】解：如图为圆锥的轴截面， 其底面半径为，母线， ， 故答案为：． 13．设为锐角，若，则的值为 　　． 【解答】解：设， ，，， ． 故答案为：． 14．在中，是边AC上一点，且，若∠BDC为钝角，则当最小时，CD=　　． 【解答】解：因为 所以 所以 所以 所以 因为时最小，此时∠BDC=∠BDC=由正弦定理可得CD= 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．如图，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解答】证明：（1）取的中点，连接，， ，分别是和的中点，，， 是的中点，，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，又平面，平面， 平面． （2），是的中点， ， 又侧面底面，侧面底面，平面， 平面， 又平面， 平面平面． 16．已知向量，，，函数． （1）若，且，求的值； （2）若，，，，．求的值． 【解答】解：（1），且； ； ，， ，， ，； （2）， ； 又， ； 、，， ，； ． 17．如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，． （1）求角的大小； （2）若，，，，求的长． 【解答】解：（1）因为在中， ， 所以，① 即在中，由余弦定理得， ，② 则由①②两式得，， 又因为在中，，所以． （2）在中，设，，则由正弦定理得， 即①， 又在中，，， 则由正弦定理得， 即②， 则由①②两式得，，即， 展开并整理得，也即， ， 又因为在中，，所以， 把代入①式得，． 18．如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数，，，，的图象，图象的最高点坐标为．第二部分是长为1千米的直线段，轴．跑道的最后一部分是以为圆心的一段圆弧． （1）若新校门位于图中的点，其离的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于点的万象楼，求该学生走过的路的长； （2）若点在弧上，点和点分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值． 【解答】解：（1）由已知条件，得， 又，，． 又当时，有，． 曲线段的解析式为，，． 由， 得，， ，， 又，，，．． ， 学生走过的路长为千米． （2）如图，，，，， 作轴于点，在中，， 在中，， ． ，． 当时，即时，平行四边形面积最大值为． 19．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点 ①求与平面所成角的正弦值； ②求二面角的平面角的余弦值． 【解答】证明：（1）因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以． 取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． 解：（2）过点作，垂足为．如图所示， 由（1）知，平面． 因为平面，所以．，所以平面， 所以为与平面所成角． 由（1）知，平面，平面，所以． 在中，，，， 因为为的中点，所以． 在中，， 在中，， 在中，， 所以由同角三角函数的基本关系得． 所以与平面所成角的正弦值为． （3）取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，所以平面，平面． 所以． 过点作，垂足为，连接，，，平面， 所以平面．平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以 由（1）知，平面，平面．所以， 在中，，由（2）知，， 即，解得． 因为平面，平面，所以． 在中，． ， 所以二面角的平面角的余弦值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$