1.4.1一元二次函数课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.1一元二次函数 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 2 2 3 3 4 4 5 5 探究一 一元二次函数的图像 例2.:若函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上单调递减, 则实数a的取值范围是(　　) A.{-3} B.(-3,+∞) C.(-∞,-3] D.[-3,+∞) 解析:由函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上单调递减, 结合图象(图略)知-(2a-1)≥7,所以a≤-3. 答案:C 探究二 一元二次函数的单调性 【变式训练2】 已知函数y=x2+(a+1)x+1在区间[-1,1]上为单调函数, 则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　.  答案:(-∞,-3]∪[1,+∞) 探究三 一元二次函数的最值 【例3】 已知函数y=f(x)=x2-4x-4.若x∈[3,4],求函数f(x)的最值. 分析:先配方→结合一元二次函数的图象和已知求解 解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8的图象开口向上,对称轴为直线x=2, 所以当x∈[3,4]时,函数y=x2-4x-4单调递增, 所以当x=3时,f(x)取得最小值9-12-4=-7, 当x=4时,f(x)取得最大值16-16-4=-4. 1.本例中将“x∈[3,4]”改为“x∈[-3,4]”,其他条件不变,求函数y=f(x)的最值. 解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8在区间[-3,2]上单调递减, 在区间[2,4]上单调递增,所以f(x)的最小值为-8. 又因为x=-3时,y=17,x=4时,y=-4, 所以f(x)的最大值为17. 解法1: y>0对∀x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对∀x∈[1,+∞)恒成立. 设g(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞),则问题转化为g(x)>0在x∈[1,+∞)上 恒成立,又g(x)在区间[1,+∞)上单调递增, 从而g(x)min=3+a. 于是当且仅当g(x)min=3+a>0,即a>-3时,g(x)>0对x∈[1,+∞)恒成立, 故实数a的取值范围是(-3,+∞). 解法2: y>0对∀x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对∀x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x对x≥1恒成立. 令μ=-x2-2x=-(x+1)2+1,其在区间[1,+∞)上单调递减, 所以当x=1时,μ取得最大值,μmax=-3. 因此a>-3. 故实数a的取值范围是(-3,+∞). 求一元二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值的类型 忽视对参数的讨论致误 【典例】 已知一元二次函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值3, 求实数a的值. 错解：由题意,可知该函数的图象为开口向下的抛物线,对称轴为 x=a,所以x=a时,y取最大值,ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1. 综上所述,a=2或a=-1. 正解:由题意,可知该函数的图象的对称轴为直线x=a, (1)当a≤0时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而减小, 则函数在x=0处取得最大值,即ymax=1-a=3,得a=-2, 满足a≤0,所以a=-2符合条件; (2)当0<a<1时,在区间[0,a]上函数值y随自变量x的增大而增大, 在区间[a,1]上函数值y随自变量x的增大而减小, 则函数在x=a处取得最大值,即ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1, 又0<a<1,所以a=-1或a=2都不符合条件; (3)当a≥1时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而增大, 则函数在x=1处取得最大值,即ymax=-1+2a+1-a=3, 解得a=3满足a≥1,所以a=3符合条件. 综上所述,a=-2或a=3. 总结： 这是定区间,动对称轴问题,需对它们的关系进行讨论, 分对称轴在区间的左、中、右三种情形讨论,确定实数a的值. 【变式】 已知一元二次函数y=f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)，满足: 其图象的对称轴为直线x=1,且方程y=2x有两个相等的实数根. 求: (1)函数y=f(x)的解析式; (2)函数y=f(x)在区间[0,t]上的最大值. 解:(1)∵方程y=2x有两个相等的实数根,即ax2+(b-2)x=0(a≠0)有 两个相等的实数根, ∴Δ=(b-2)2=0,解得b=2. 又已知直线x=1是函数图象的对称轴, ∴函数的解析式为y=-x2+2x. (2)∵函数y=-x2+2x的图象的对称轴为直线x=1,又x∈[0,t], ∴当t≤1时,在区间[0,t]上函数值y随自变量x的增大而增大, ∴函数在x=t处取得最大值,即ymax=-t2+2t; 当t>1时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而增大, 在区间[1,t]上函数值y随自变量x的增大而减小, ∴函数在x=1处取得最大值,即ymax=-1+2=1. 谢 谢 观 看 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 1．一元二次函数的三种形式 (1)一般式：____________________； (2)顶点式：____________________； (3)两根式：______________________； y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 方向 左、右平移 左 右 上、下平移 上 下 2．一元二次函数的图象 二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图象的________及____；h决定了二次函数图象的__________，而且“h正__移，h负__移”；k决定了二次函数图象的__________，而且“k正__移，k负__移”． 开口大小 3．一元二次函数的性质 解析式 y＝ax2＋bx＋c eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0)) y＝ax2＋bx＋c eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a<0)) 图象 定义域 R 值域 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) eq \f(4ac－b2,4a) 递减 递增 递增 递减 最值 ymin＝_________ ymax＝_________ 增减性 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上____ 在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上____ 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上____ 在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上____ 对称性 关于直线x＝－ eq \f(b,2a)对称 eq \f(4ac－b2,4a) 例1　[多选题]在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中正确的是(　　) A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x＝2 C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 解析：二次函数y＝(x－2)2＋1，a＝1>0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为(2,1)，当x＝2时，y有最小值1，当x>2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝(x－2)2，再向上平移1个单位长度得到y＝(x－2)2＋1；故选项D说法正确，故选ABD. 答案：ABD 例2．如何把y＝2x2－4x的图象变换成y＝x2的图象？ [解]　∵y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2， 故可先把y＝2x2－4x的图象向上平移2个单位长度得到y＝2(x－1)2的图象， 然后再把y＝2(x－1)2的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x2的图象， 最后把y＝2x2的图象纵坐标变为原来的 eq \f(1,2)，便可得到y＝x2的图象． 解析:由题意得-≤-1,或-≥1,得a≥1或a≤-3. 3.已知函数y=f(x)=,若对任意的x∈[1,+∞),y>0恒成立, 试求实数a的取值范围. (3)若->n,则f(x)在区间[m,n]上单调递减,最大值为f(m),最小 值为f(n). (1)若函数图象的对称轴x=-在区间[m,n]内,则最小值为f, 最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x=-距离较 远的一个对应的函数值为最大值). (2)若-<m,则f(x)在区间[m,n]上单调递增,最大值为f(n),最小 值为f(m). ∴-=1,∴a=-1, 综上所述,ymax= 易错题　忽视对称轴与所给区间的关系致误 例3　当x∈[－2,1]时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值3，则实数m的值为(　　) A．2或－eq \r(2) B.eq \r(2)或－eq \r(2) C.eq \f(3,2)或－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)或－eq \r(2) 解析：二次函数的对称轴为x＝m， ①当m<－2时，x＝－2时二次函数有最大值，此时－(－2－m)2＋m2＋1＝3，解得m＝－eq \f(3,2)，与m<－2矛盾，故m值不存在； ②当－2≤m≤1时，x＝m时二次函数有最大值，此时m2＋1＝3，解得m＝－eq \r(2)或m＝eq \r(2)(舍去)； ③当m>1时，x＝1时二次函数有最大值，此时－(1－m)2＋m2＋1＝3，解得m＝eq \f(3,2). 综上所述，m的值为eq \f(3,2)或－eq \r(2).故选D.答案：D 易错分析 易错原因 忽略x∈[－2,1]，直接由当x＝m时，ymax＝m2＋1＝3得m＝±eq \r(2)，错选了B. 纠错心得 二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1的对称轴为x＝m，所给区间是x∈[－2，1]，所以要分m<－2，－2≤m≤1，m>1三种情况讨论方可得到正确答案. $$