1.3.2基本不等式（1）课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.2基本不等式(1) 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立 此不等式称为重要不等式 问题1：当 a,b为任意实数时， 成立吗？ 问题2：你能否借助已证的重要不等式 ，分析不等式 的成立性呢？ 3 算术平均数 几何平均数 (3)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式 (2)当且仅当 a=b 时“＝”号成立. (1)必须满足a>0,b>0. 最值定理：若a、b皆为正数，则 （1）当a+b的值是常数S时，当且仅当a=b时，ab有最 大值_______； （2）当ab的值是常数P时，当且仅当a=b时， a+b有最 小值_______. 注意：①各项皆为正数； ②和为定值或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等” 和定积最大，积定和最小 注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定 [练习1]判断下列说法的正误. √ × × √ 例题讲解——利用基本不等式求最值 一正 二定 三相等 基本不等式法 二次函数法 暗含和定:(3-x)+(x+5)=8 和定积最大 (和定) 例题讲解——利用基本不等式求最值 求乘积最大值： 基本不等式法 二次函数图象法 暗含和定：(3-x)+(x+5)=8 暗含和定：x+(10-x)=10 构造和定：4x2+(1-4x2)=1 构造和定：3x+(3-3x)=3 谢 谢 观 看 3.2 基本不等式（2） 最值问题 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 均值不等式链 基本不等式 归纳总结：基本不等式求最值的条件 一正：认清a,b且a,b均为正值 二定：和定(积最大)、积定(和最小) 三相等：当且仅当a=b时等号成立(取得最值) [注]求最值时三个条件缺一不可. 例题讲解——利用基本不等式求最值 关键：凑项构造“积定” 例题讲解——利用基本不等式求最值 关键:凑项构造“积定” 例题讲解——利用基本不等式求最值 例题讲解——利用基本不等式求最值 错因：用两次基本不等式时， 两个等号不同时成立。 错解 例题讲解——利用基本不等式求最值 1 关键:添1构造“积定” 1 18 6 例题讲解——利用基本不等式求最值 8 1 16 9 例题讲解——利用基本不等式求最值 9 6 例题讲解——利用基本不等式求最值 错解： 错因：用两次基本不等式时，两个等号不同时成立. 课后练习： 思考： “1”的整体代换 谢 谢 观 看 3.2 基本不等式（3） 基本不等式的综合运用 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 25 例题讲解——基本不等式的实际应用 18 x y 设 列 求 结 变量 范围 已知 未知 作答 单位 例题讲解——基本不等式的实际应用 3 x y 3.三个正数的基本不等式 即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. 三个正数的均值不等式链 例 求函数 在 上的最大值. [练习] （1）求函数 在 上的最大值. 谢 谢 观 看 例题讲解　利用基本不等式证明不等式 例7　已知a，b，c>0，求证：eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c. 分析 注意分析不等式的结构特征，即证eq \f(a2,b)＋b≥2a，eq \f(b2,c)＋c≥2b，eq \f(c2,a)＋a≥2c. 证明：∵a，b，c，eq \f(a2,b)，eq \f(b2,c)，eq \f(c2,a)均大于0， ∴eq \f(a2,b)＋b≥2 eq \r(\f(a2,b)·b)＝2a.当且仅当eq \f(a2,b)＝b时等号成立． eq \f(b2,c)＋c≥2 eq \r(\f(b2,c)·c)＝2b.当且仅当eq \f(b2,c)＝c时等号成立． eq \f(c2,a)＋a≥2 eq \r(\f(c2,a)·a)＝2c，当且仅当eq \f(c2,a)＝a时等号成立． 相加得eq \f(a2,b)＋b＋eq \f(b2,c)＋c＋eq \f(c2,a)＋a≥2a＋2b＋2c， ∴eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c. 当且仅当a＝b=c时等号成立 变式　已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1， 求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc. 证明：∵a＋b＋c＝1，∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)． 又a，b，c都是正实数，∴eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)>0，eq \f(b＋c,2)≥eq \r(bc)>0，eq \f(a＋c,2)≥eq \r(ac)>0， ∴eq \f(a＋bb＋ca＋c,8)≥abc，∴(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc. 当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立． 如果 ，那么 ，当且仅当 时，等号成立. $$