1.3.1不等式的性质课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.3.1不等式的性质 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 1.表示不等关系的式子叫做不等式. 2.两点之间线段最短; 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; 长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超过或不少于 等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 什么是不等式？ 知识探究(一)：用不等式表示不等关系 思考1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度v不超过40km/h.怎样用不等式表示这里的不等关系？ 思考2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，怎样用不等式组表示这里的不等关系？ 0＜v≤40 思考3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产。请用不等式组把此实例中的不等关系表示出来。 分析:设分别生产甲．乙两种肥料为x吨,y吨 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 知识要点3 1．作差法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作差． (2)变形，将两个实数作差，作差后变形为： ①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形式． (3)定号，即判断差的符号是正、负还是零． (4)结论，利用实数大小之间的关系得出结论． (2)作商法的适用对象： 所比较的两个式子均为乘积的形式或可以转化为乘积的形式，往往可以考虑作商法． (3)作商法的一般步骤： ①转化为乘积形式； ②作商； ③判断商值与1的大小关系； ④结论． 作差法比较大小 实例 b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），则糖水就变甜了。 不等式的性质 对称性— a>b 传递性— a>b，b>c 可加性— a>b 推 论 移项法则— a+c>b 同向可加— a>b，c>d 可乘性— a>b 推 论 同向正可乘— a>b>0，c>d>0 可乘方性— a>b>0 可开方性— a>b>0 (nR+) (nN) b<a  a+c>b+c  a>b-c  a+c>b+d  a>c  ac>bc c>0  c<0 ac<bc  an>bn  ac>bd  2、已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列选项不一定成立的是(　) A. B.>0 C. D.<0 C C 不等式性质——同向可加性 Q：两个不等式能够同向相减吗? 3>2，1>-2， 但3－1<2－(-2). 可加性 传递性 (不等式不可同向相减) > 3.不等式性质——同向可加性 关键：减化加 3.不等式性质——同向可乘性(同号) (不等式不可同向相除) 关键：除化乘 < 3.不等式性质——同向可加性 错因：当4a取得最小时，-2b不同时取得最小. 3.不等式性质——同向可加性 方法：待求的整体用已知的整体表示，仅用1次同向可加性 练习 谢 谢 观 看 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a = b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立． 判断两个实数大小的依据是： 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础. 作差比较法 题型一　比较大小 1．已知a∈R，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　) A．p>q B．p≥q C．p<q D．p≤q 解析：由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p<q.故选C. 答案：C 知识小结 作差后，常见的变形方向有： ①将差变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式； ②将差变为几个式子的积或商，而各个式子的符号是可以确定的；③当差是某个字母的二次三项式时，常用判别式或配方法判断符号． 题型二　不等式的性质及应用 例1　(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　) A.若a>b，则ac2>bc2 B．若eq \f(a,c)>eq \f(b,c)，则a>b C．若a3>b3且ab<0，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b) D．若a2>b2且ab>0，则eq \f(1,a)<eq \f(1,b) 分析 根据不等式的性质，对选项通过举反例一一验证． 解析：(1)A中，若a>b，则ac2>bc2(错)，若c＝0，则A不成立；B中，若eq \f(a,c)>eq \f(b,c)，则a>b(错)，若c<0，则B不成立；C中，若a3>b3，且ab<0，则eq \f(1,a)>eq \f(1,b)(对)，若a3>b3且ab<0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0,b<0)).D中，若a2>b2，且ab>0，则eq \f(1,a)<eq \f(1,b)(错)，若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0，))则D不成立．故选C. 答案：(1)C　 (2)[多选题]设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac2>bc2 B.eq \f(1,a2)<eq \f(1,b2) C．a－c>b－c D．e－a<e－b 解析：(2)对A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，A错误；对B，当a＝－1，b＝－2时，eq \f(1,a2)<eq \f(1,b2)不成立，B错误；对C，因为a>b，两边同时减去c有a－c>b－c成立，故C正确；对D，因为a>b⇒－a<－b，又y＝ex为增函数．故e－a<e－b成立．故D正确．故选CD. 答案：(2)CD 方法小结 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 题型三　利用不等式的性质证明不等式 例2　(1)已知a>b>0，c<0，求证：eq \f(c,a)>eq \f(c,b). (2)求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(a，b，c∈R)． 证明：(2)∵2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca) ＝(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca) ＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2，又a，b，c∈R， ∴(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 当且仅当a＝b＝c时取“＝”． ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 证明：(1)∵a>b>0，∴ab>0，eq \f(1,ab)>0，∴a·eq \f(1,ab)>b·eq \f(1,ab)， 即eq \f(1,b)>eq \f(1,a)，又c<0，∴eq \f(c,a)>eq \f(c,b). 方法小结 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法再判断最终的符号，完成证明． (3)用作差法证明不等式与用作差法比较两个数大小的原理一样．变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 易错题　混淆不等式的性质出错 例3　已知12<a<60,15<b<36，则eq \f(a,b)的取值范围是________． 解析：∵15<b<36，∴eq \f(1,36)<eq \f(1,b)<eq \f(1,15)，又12<a<60，∴eq \f(12,36)<eq \f(a,b)<eq \f(60,15)，即eq \f(1,3)<eq \f(a,b)<4. 答案：eq \f(1,3)<eq \f(a,b)<4 易错分析 易错原因 混淆不等式的性质，直接使用同向不等式相除，本题得到错误答案：eq \f(4,5)<eq \f(a,b)<eq \f(5,3). 纠错心得 学习过的不等式的性质中没有同向不等式相除这一性质，要转化为不等式相乘来解决. $$