福建省福州市六校联考2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

2023~2024学年第二学期高二年段期中六校联考 数 学 试 卷 2024.4. 本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分 命题校：福清第三中学 班级_________ 座号__________ 姓名___________________ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．复数，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，，则（     ） A．22 B．10 C．8 D．4 4．已知在R上可导的函数的图像如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 7．中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．展开式中系数最大的为 10．从含有3个红球，2个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取i次.记事件：“第i次取出的球是红球”，事件：“第i次取出的球是白球”，则（    ） A． B． C． D． 11．设函数，，给定下列命题，正确的是（    ） A．不等式的解集为； B．函数在单调递增，在单调递减； C．若时，总有恒成立，则； D．若函数有两个极值点，则实数. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12．已知展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中含项的系数为 . 13．函数的单调递减区间是 . 14.已知数列满足①②.则________________；设为的前项和，则.（结果用指数幂表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数在处有极小值． (1)求函数的解析式； (2)若函数在只有一个零点，求的取值范围． 16. (15分) 今年是我国建国75周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. (1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率. (2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 17. (15分) 在中，内角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求边上的中线长. 18. (15分) 已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，. 第一行 第二行 第三行 …… 第行 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 19. (19分) 已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期高二年段期中六校联考 数 学 答 案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的并运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2．复数，则等于（    ） A． B． C． D． 答案：C 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】，所以. 故选：C. 3．已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．22 B．10 C．8 D．4 答案：D 【分析】利用等差数列求和公式和下标和性质可直接求得结果. 【详解】是等差数列，，解得：． 故选：D． 4．已知在R上可导的函数的图像如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 答案：B 【分析】根据函数图象判断、的不同区间上的符号，再由求解集即可. 【详解】由图知：、上，上， 又、上，上， ∴的解集为. 故选：B 5. 已知向量，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 【详解】因为，， 所以， 当时， 即 解得 所以“”是的充分不必要条件，故选A 6. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 答案：A 【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为 解得故选A 7．中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（    ） A． B． C． D． 答案：B 【分析】根据排列组合知识和古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有种不同的安排方法，其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有种，节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，故所求概率为. 故选：B 8．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 答案：C 【解析】判断出为偶函数,且在上单调递增,将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案. 【详解】由得所以函数为偶函数,又因为 ，， 所以在上单调递增,则不等 , 即解得:. 所以不等式的解集为. 故选:C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．展开式中系数最大的为 10．从含有3个红球，2个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个同色球，如此共取i次.记事件：“第i次取出的球是红球”，事件：“第i次取出的球是白球”，则（    ） A． B． C． D． 答案：ABD 【分析】根据给定条件，利用古典概率计算判断A；利用条件概率计算判断B，C；计算互斥事件的概率判断D作答. 【详解】依题意，第一次取到白球的概率，A正确； ，，则有，B正确 在已知第二次取出1个红球的条件下，第一次取得1个白球，，故C不正确；； 事件是以下4个互斥事件的和：，，，， ，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 11．设函数，，给定下列命题，正确的是（    ） A．不等式的解集为； B．函数在单调递增，在单调递减； C．若时，总有恒成立，则； D．若函数有两个极值点，则实数. 答案：AC 【解析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可. 【详解】的导数为，则，, 对于A，即解得，故正确； 对于B，  ，当x时在单调递增，故错误； 对于C，  可化为： 设，又 ∴在上单调递减， ∴在上恒成立， 即，又在单调递增，在上单调递减，， ∴故正确； 对于D，若函数有两个极值点，则有两个零点， 即，， 又在单调递增，在上单调递减， ，时，即2a，a，故错误； 故选：AC 【点睛】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12．已知展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中含项的系数为 . 答案： 【分析】先根据第3项与第6项的二项式系数相等求出，从而得到展开式的通项公式，得到答案. 【详解】由题意得，解得， 故展开式通项公式为， 令得， 故展开式中含项的系数为. 故答案为： 13． 函数的单调递减区间是 . 【解析】先根据函数，求导，然后结合函数的定义域为，由求解. 【详解】函数的定义域为 ， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间是， 14． 已知数列满足①②.则______________；设为的前项和，则.（结果用指数幂表示） 答案：， 解析：由得得 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数在处有极小值． (1)求函数的解析式； (2)若函数在只有一个零点，求的取值范围． 答案：（1)；（2） 解：（1） ……………………………………………………………………1分 由在处有极小值 得， ……………………………………………………………2分 解得， ……………………………………………………………………… 4分 此时， 满足在处取极小值，…… 5分 ∴；…………………………………………………………………6分 （2）由（1）得， ∴ ………………………………………………………………7分 函数在只有一个零点 在只有一个交点…………………………………………8分 由（1）得令得， ∴在(0,1)上单调递减，在(1,2)单调递增………………………………………10分 ∴在x=1处有极小值 , ∴的取值范围是…………………………………………13分 16. (15分) 今年是我国建国75周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是. (1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率. (2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率. 16．(1) (2) （1）解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为， 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，……………………………2分 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，………………………………4分 所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为.………………………………………………… 7分 （2）解：记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，………………………………………………………………………………………… 8分 记事件为“这道题被答对”， 则，，，……………………………………………… 10分 ，，，……………………………………………12分 由全概率公式可得.……………… 15分 17. (15分) 在中，内角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求边上的中线长. 17.(1) (2)4 解（1） ， ∴由正弦定理得：，……………………………………………1分 ， ∴，………………………………………………………………………………2分 ∴，即，…………………………………… 3分 ， ∴，………………………………………………………………………………4分 ∴， ……………………………………………………………………………………5分 ……………………………………………………………………………… 6分 （2） ………………………………………………………………………………8分 在中，由余弦定理得 ， 所以………………………………………………………………………10分 设的中点为， 则，…………………………………………………………………………11分 两边同时平方得： =…………………………13分 所以 …………………………………………………………………………14分 所以BD=4 .………………………………………………………………………………15分 18. (15分) 已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，. 第一行 第二行 第三行 …… 第行 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18. (1) (2) （1）解：由题意，设第一行的公差为，第三列的公比为， 则由，， 可得， ∴，…………………………………………………………………………………2分 ∴，…………………………………………………………………………………3分 又， ∴， ∴，…………………………………………………………………………………5分 ∴；……………………………………………………… 7分 （2） 解 ………………………………………………………………9分 .………………………………………11分 ∴ .…………………………………………………15分 19. (19分) 已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 解答：（1）当时 ，（） ………………………………2分 令 在上单调递减，在上单调递增.……………………………4分 （2） ① …………………………………………………5分 因为有两个极值点 即：在有两个不相等的实根， 所以…………………………………………………………………… 6分 所以………………………………………………………………………… 8分 ②由①得 …………………………………………………………………………10分 要证 即证：， 只需证………………………………………………………11分 令 ………………………………………………………12分 令 则恒成立， 所以在上单调递减………………………………………………………13分 又因为……………………………………………14分 由零点存在性定理得：，使得，即……………15分 所以，单调递增。 时，，单调递减。…………………………………16分 则 ……………………………………………………………………………17分 因为在上单调递增 所以 所以，即得证。………………………………19分 答案第1页，共2页 答案解析第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$答案解析第 1页，共 15页 2023~2024学年第二学期高二年段期中六校联考 数 学 答 案 一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合  3A x N x   ，  2 4 0B x x   ，则 A B  （ ） A． 2 B． 2,0,1,2,3 C． 2 2 ， D． 2 【答案】A 【分析】利用集合的并运算即可求解. 【详解】因为  0,1, 2,3A  ，    2 4 0 2,2B x x     ， 所以  2A B  . 故选：A. 2．复数 2 i 1 2i z   ，则 z 等于（ ） A． 0 B． 5 C．1 D． 5 5 答案：C 【分析】利用复数的除法化简复数 z，利用复数的模长公式可求得 z 的值. 【详解】         2 i 1 2i2 i 4 3 1 2i 1 2i 1 2i 5 iz          ，所以 1z  . 故选：C. 3．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 21 84S  ，则 11a （ ） A．22 B．10 C．8 D．4 答案：D 【分析】利用等差数列求和公式和下标和性质可直接求得结果. 答案解析第 2页，共 15页 【详解】  na 是等差数列，  1 2121 11 21 21 84 2 a a S a      ，解得： 11 4a  ． 故选：D． 4．已知在 R上可导的函数 ( )f x 的图像如图所示，则不等式 ( ) ( ) 0f x f x  的解集为（ ） A． ( 3,0) B． ( , 3) ( 1,0)    C． ( , 3) (0, )    D． ( 3, 1) (0, )    答案：B 【分析】根据函数图象判断 ( )f x 、 ( )f x 的不同区间上的符号，再由 ( ) ( ) 0f x f x  求解集 即可. 【详解】由图知： ( , 3)  、 ( 1, )  上 ( ) 0f x  ， ( 3, 1)  上 ( ) 0f x  ， 又 ( , 3)  、 ( 3,0) 上 ( ) 0f x  ， (0, ) 上 ( ) 0f x  ， ∴ ( ) ( ) 0f x f x  的解集为 ( , 3) ( 1,0)    . 故选：B 5. 已知向量 (2, 4)a ， (3, 1) b 则“ 2k  ”是“ ( ) ( )k k  a b a b ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 【详解】因为 (2, 4)a ， (3, 1) b ， 所以 (2 3 ,4 )k   a b k k ， (2 3 ,4 )k   a b k k 当 ( ) ( )k k  a b a b 时， ( ) ( ) 0k k  a b a b 即 (2 3 )(2 3 ) (4 )(4 ) 0k k k k      解得 2k   答案解析第 3页，共 15页 所以“ 2k  ”是 ( ) ( )k k  a b a b 的充分不必要条件，故选 A 6. 已知直线 y kx b  既是曲线 xy e 的切线，也是曲线 xy e  的切线，则（ ） A. , 0k e b  B. 1, 0k b  C. , 1k e b   D. 1, 1k b   答案：A 【详解】设曲线 xy e 上的切点为 11( , ) xx e ，曲线 xy e  上的切点为 22( , ) xx e ( ) , ( )x x x xe e e e     1 2 1 1 2 2 1 2 x x x x x x e e k e x e e x e b            解得 0b k e    故选 A 7．中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵 十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进 入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗， 节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗 6个方面.根据安排，讲座分为三 次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常 食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（ ） A． 1 5 B． 4 15 C． 1 3 D． 2 5 答案：B 【分析】根据排列组合知识和古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有 2 2 26 4 2C C C  90 种 不同的安排方法，其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日 食俗安排在第二次讲座的有 1 2 2 4 12C C  种，节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食 俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有 1 2 2 3 2 2C A A 12 种，故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次 讲座中的有12 12 24  种，故所求概率为 24 4 90 15 P   . 故选：B 答案解析第 4页，共 15页 8．已知 ( ) 10 10 cosx xf x x   ，则不等式 (2 1) (4 ) 0f x f x    的解集为（ ） A． ( , 5)  B． ( ,1) C． ( 5,1) D． (1, ) 答案：C 【解析】判断出 ( )f x 为偶函数,且在 (0, ) 上单调递增,将所求不等式利用函数性质转化为 (2 1) (4 )f x f x   利用单调性解得答案. 【详解】由 ( ) 10 10 cosx xf x x   得  ( ) 10 10 cos 10 10 cos = ( )x x x xf x x x f x         所 以函数 ( )f x 为偶函数,又因为    ' 10 10 ln10 sinx xf x x   (0, )x 当 时，    ' 10 10 ln10 sin 0x xf x x    ， ( , )x  当 时    10 10 ln10 10 10 ln10 2 ( ) 0x x f x         所以  f x 在 (0, ) 上单调递增,则不等 (2 1) (4 ) 0f x f x     (2 1) (4 )f x f x   , 即 2 1 4x x   解得: 5 1x   . 所以不等式 (2 1) (4 ) 0f x f x    的解集为 ( 5,1) . 故选:C. 二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求的．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知  6 2 60 1 2 62 3x a a x a x a x      ，则下列选项正确的是（ ） A． 3 360a   B．    2 20 2 4 6 1 3 5 1a a a a a a a       C．  61 2 6 2 3a a a     D．展开式中系数最大的为 2a 10．从含有 3个红球，2个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个 同色球，如此共取 i次.记事件 iA：“第 i次取出的球是红球”，事件 iB：“第 i次取出的球 是白球”，则（ ） A．  1 2 5 P B  B．  1 2 1 5 P A B  答案解析第 5页，共 15页 C．  1 2 12P B A  D．  3 21 35 P A  答案：ABD 【分析】根据给定条件，利用古典概率计算判断 A；利用条件概率计算判断 B，C；计算 互斥事件的概率判断 D作答. 【详解】依题意，第一次取到白球的概率  1 2 5 P B  ，A正确； 1 3( ) 5 P A  ， 2 1 2 1( | ) 6 3 P B A   ，则有   2 11 12 ( ( | ) 1) 5 P A P B AP A B   ，B正确 在已知第二次取出 1个红球的条件下，第一次取得 1个白球，   1 21 2 2 ( ) 1 ( ) 5 P B AP B A P A   ，故 C不正确；； 事件 3A 是以下 4个互斥事件的和： 1 2 3A A A ， 1 2 3A B A ， 1 2 3B A A ， 1 2 3B B A ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 33 3 4 5 3 2 4) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 7 5 6 ( 7 P A A A P AB A P B A AP P B B AA           2 3 4 2 3 3 21 5 6 7 5 6 7 35        ，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两 互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 11．设函数   lnf x x x ，    f xg x x   ，给定下列命题，正确的是（ ） A．不等式   0g x  的解集为 1 ,e      ； B．函数  g x 在  0,e 单调递增，在  ,e  单调递减； C．若 1 2 0x x  时，总有      2 21 2 1 22 m x x f x f x   恒成立，则 1m  ； D．若函数     2F x f x ax  有两个极值点，则实数  0,1a . 答案：AC 【解析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可. 答案解析第 6页，共 15页 【详解】 ( ) lnf x x x 的导数为 ' ( ) 1 lnf x x  ，则     1 ln f x xg x x x     ，  ' 2 ln xg x x   , 对于 A，   0g x  即1 ln 0x x  ＞ ，解得 1x e  ，故正确； 对于 B，  ' 2 ln xg x x   ，当 x  0,1 时    ' 0g x g x＞ ， 在  0,1 单调递增，故错误； 对于 C，      2 21 2 1 22 m x x f x f x   可化为：    2 22 2 1 12 2 m mf x x f x x   设   2φ ( ) 2 mx f x x  ，又 1 2 0x x  ∴  φ x 在  0 ， 上单调递减， ∴  'φ 1 ln 0x x mx    在  0 ， 上恒成立， 即 1 ln xm x   ，又   1 ln xg x x   在  0,1 单调递增，在  1 ， 上单调递减，  1 1g  ， ∴ 1m  故正确； 对于 D，若函数     2F x f x ax  有两个极值点，则  ' 1 ln 2F x x ax   有两个零点， 即1 ln 2 0x ax   ， 1 ln2 xa x   ， 又   1 ln xg x x   在  0,1 单调递增，在  1 ， 上单调递减，  1 1g  ， x时，   0g x  ，即 2a  0,1 ，a 10, 2      ，故错误； 故选：AC 【点睛】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难 题. 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．把答案填在题中的横线上． 12．已知  1 2 nx 展开式中第 3项与第 6项的二项式系数相等，则展开式中含 3x 项的系数 为 . 答案： 280 【分析】先根据第 3项与第 6项的二项式系数相等求出 7n  ，从而得到展开式的通项公式， 得到答案. 【详解】由题意得 2 5C Cn n ，解得 7n  ， 答案解析第 7页，共 15页 故  71 2x 展开式通项公式为  1 7C 2 rr rT x   ， 令 3r  得  33 34 7C 2 280T x x    ， 故展开式中含 3x 项的系数为 280 . 故答案为： 280 13．函数  ( ) lnf x x x  的单调递减区间是 . 【解析】先根据函数 ( ) ln( )f x x x  ，求导，然后结合函数的定义域为 ( ,0) ，由 ( ) 0f x  求解. 【详解】函数 ( ) ln( )f x x x  的定义域为 ( ,0) ( ) 1 ln( )f x x    ， 由 ( ) 1 ln( ) 0f x x     ， 解得 1 0x e    ， 所以函数 ( ) lnf x x x 的单调递减区间是 1( ,0) e  ， 14．已知数列 na 满足① 1 5a  ② 1 2, ( ) 3 2 ( n n n a n a a n    为奇数 ，为偶数) .则 3a  ______________； 设 nS 为 na 的前 n项和，则 2024 _________S  .（结果用指数幂表示） 答案： 3 23a  ， 10132 3 6079  解析：由 1 5a  得 2 7a  得 3 23a  答案解析第 8页，共 15页 2 3 1013 2 3 1013 2024 (3 4 3 4 3 4) (3 2 3 2 3 2)S                1012 1014 9(3 12 4 1012 2 1012 3 1 3 6081           ） + 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数 3( ) 3f x x ax b   在 1x  处有极小值 2． (1)求函数 ( )f x 的解析式； (2)若函数 mxfxg  )()( 在 ]2,0[ 只有一个零点，求m的取值范围． 答案：（1) 3( ) 3 4f x x x   ；（2） | 4 6 2m m m  或 解：（1） 3( ) 3f x x ax b    2( ) 3 3f x x a   ……………………………………………………………………1分 由 3( ) 3f x x ax b   在 1x  处有极小值 2 答案解析第 9页，共 15页 得 (1) 3 3 0 (1) 1 3 2 f a f a b            ， ……………………………………………………………2分 解得 1 4 a b    ， ……………………………………………………………………… 4分 此时   2( ) 3 3 3 1 1f x x x x      ，        1,1 , ' 0, 1, , ' 0,x f x x f x      满足  f x 在 1x  处取极小值，…… 5分 ∴ 3( ) 3 4f x x x   ；…………………………………………………………………6分 （2）由（1）得 3( ) 3 4f x x x   ， ∴ 3( ) 3 4g x x x m    ………………………………………………………………7分 函数 mxfxg  )()( 在 ]2,0[ 只有一个零点 ( )y f x y m  与 在 ]2,0[ 只有一个交点…………………………………………8分 由（1）得   2( ) 3 3 3 1 1f x x x x      令 ( ) 0f x  得 1x   ， 1x  ∴ ( )f x 在(0,1)上单调递减，在(1,2)单调递增………………………………………10 分 ∴ ( )f x 在 x=1处有极小值 (1) 2f   (0) 4f  , (2) 6f  ∴m的取值范围是 | 4 6 2m m m  或 …………………………………………13分 16. (15分) 今年是我国建国 75周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组 织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关 团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为 2 3 ，甲、丙两人都 回答正确的概率是 1 2 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 1 4 . 答案解析第 10页，共 15页 (1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确 的概率. (2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为 2 5 ，乙抢到答题机 会的概率为 1 5 ，丙抢到的概率为 2 5 ，求这个问题回答正确的概率. 16．(1) 17 18 (2) 19 30 （1）解：设乙答题正确的概率为 1p ，丙答题正确的概率为 2p ， 则甲、丙两人都回答正确的概率是 2 2 1 3 2 p  ，解得 2 3 4 p  ，……………………………2分 乙、丙两人都回答正确的概率是 1 3 1 4 4 p  ，解得 1 1 3 p  ，………………………………4分 所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确 的概率为 2 1 3 171 1 1 1 3 3 4 18                .………………………………………………… 7分 （2）解：记事件 1A为“甲抢答这道题”，事件 2A 为“乙抢答这道题”，事件 3A 为“丙抢答这道 题”，………………………………………………………………………………………… 8分 记事件 B为“这道题被答对”， 则  1 2 5 P A  ，  2 1 5 P A  ，  3 2 5 P A  ，……………………………………………… 10分  1 23P B A  ，  2 1 3 P B A  ，  3 34P B A  ，……………………………………………12分 由全概率公式可得       3 1 2 2 1 1 2 3 19 5 3 5 3 5 4 30i ii P B P A P B A          .……………… 15分 17. (15分) 在 ABC 中，内角 , ,A B C的对边分别是 , ,a b c，且 sin 3 sin 2 Bb C c . (1)求角 B的大小； (2)若 6b  ，且 ABC 的面积为 2 37 ，求 AC边上的中线长. 17.(1) π 3 B  (2)4 答案解析第 11页，共 15页 解（1）  sin 3 sin 2 Bb C c ， ∴由正弦定理得： sin sin 3sin sin 2 BB C C ，……………………………………………1分   0, πC ， ∴ sin 0C  ，………………………………………………………………………………2分 ∴ sin 3sin 2 BB  ，即 2sin cos 3sin 2 2 2 B B B  ，…………………………………… 3分  π0, 2 2 B      ， ∴ sin 0 2 B  ，………………………………………………………………………………4分 ∴ 3cos 2 2 B  ， π 2 6 B   ……………………………………………………………………………………5分 π 3 B  ……………………………………………………………………………… 6分 （2） 1 1 3 7 3sin 2 2 2 2ABC S ac B ac     14ac  ………………………………………………………………………………8分 在 ABC 中，由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   得 2 236 a c ac   ， 所以 2 2 50a c  ………………………………………………………………………10分 设 AC的中点为D， 则 2BD BC BA     ，…………………………………………………………………………11分 两边同时平方得： 2 2 224 ( ) 2BD BC BA BC BA BC BA             = 2 2 64a c ac   …………………………13分 答案解析第 12页，共 15页 所以 2 16BD   …………………………………………………………………………14分 所以 BD=4 .………………………………………………………………………………15分 18. (15分) 已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且 公比都相等， 12 14 332, 4, 12a a a   . 第一行 11 12 13 14 1, , , na a a a a 第二行 21 22 23 24 2, , , na a a a a 第三行 31 32 33 34 3, , , na a a a a …… 第 n行 1 2 3 4, , ,n n n n nna a a a a (1)求数列 2na 的通项公式； (2)设      1 2 1 2 2 , 1,2,3, 1 1 n n n n b n a a        ，求数列 nb 的前 n项和 nS . 18. (1) 2 2 n na  (2) 2 1 1 2 2 2n n S    （1）解：由题意，设第一行的公差为 1d ，第三列的公比为q， 则由 12 2a  ， 14 4a  ， 可得 1 14 122 2d a a   ， ∴ 1 1d  ，…………………………………………………………………………………2分 ∴ 13 3a  ，…………………………………………………………………………………3分 又 33 12a  ， ∴ 33 13 2 4 a a q   ， 答案解析第 13页，共 15页 ∴ 2q= ，…………………………………………………………………………………5分 ∴ 1 1 2 12 2 2 2 n n n na a q       ；……………………………………………………… 7分 （2）解      1 2 1 2 2 1 1 n n n n b a a           1 1 2 2 1 2 1 n n n n b       ………………………………………………………………9分        1 11 1 2 1 2 1 1 1 12 2 2 1 2 12 1 2 1 n n n nn n                 .………………………………………11分 ∴ 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n S b b b                     1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2n n           .…………………………………………………15分 19. (19分) 已知函数 xaxxxf ln 2 14)( 2  （ 0a ） (1)当 3a 时，讨论函数 )(xf 的单调性. (2)若 )(xf 有两个极值点 )(, 2121 xxxx  ①求 a的取值范围 ②证明： axfxf ln10)()( 21  解答：（1）当 3a 时 21( ) 4 3ln 2 f x x x x   ，（ 0x  ）  23 4 3 ( 3)( 1)( ) 4 x x x xf x x x x x            ………………………………2分 令 ( ) 0 1, 3f x x x   得 答案解析第 14页，共 15页  ( )f x 在    0,1 , 3, 上单调递减，在 (1,3)上单调递增.……………………………4分 （2）① ( ) af x =4-x- x  2 24 4x x a x x a x x         …………………………………………………5分 因为 )(xf 有两个极值点 )(, 2121 xxxx  即： 2 4 0x x a   在  0, 有两个不相等的实根， 所以 1 2 1 2 4 4 0 4 0 0 a x x x x a            …………………………………………………………………… 6分 所以 0 4a  ………………………………………………………………………… 8分 ②由①得 1 2 1 24, , 0 4x x x x a a    且 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1( ) ( ) (4 ln ) (4 ln ) 2 2 f x f x x a x x x a x x       2 2 1 2 1 2 1 2 14( ) (ln ln ) ( ) 2 x x a x x x x      ln 8a a a   …………………………………………………………………………10分 要证 axfxf ln10)()( 21  即证： ln 8 10 lna a a a    ， 只需证 (1 ) ln 2 0a a a    ………………………………………………………11分 令 ( ) (1 ) ln 2, (0,4)g a a a a a     1 1( ) ln 1 lnag a a a a a        ………………………………………………………12分 令 1( ) lnm a a a   则 2 1 1( ) 0m a a a      恒成立， 所以 ( )m a 在 (0, 4)上单调递减………………………………………………………13分 答案解析第 15页，共 15页 又因为 1(1) 1 0, (2) ln 2 0 2 m m     ……………………………………………14分 由零点存在性定理得： 0 (1, 2)a  ，使得 0( ) 0m a  ，即 0 0 1ln a a  ……………15分 所以 0(0, )a a ( ) ( ) 0m a g a  ， ( )g a 单调递增。 0( , 4)a a 时， ( ) ( ) 0m a g a  ， ( )g a 单调递减。…………………………………16分 则 max 0 0 0 0 0 0 0 1( ) ( ) (1 ) ln 2 (1 ) 2g a g a a a a a a a          0 0 1 3a a    ……………………………………………………………………………17分 因为 0 0 1 3y a a    在 0 (1, 2)a  上单调递增 所以 0 0 1 1 13 2 3 0 2 2 a a         所以 ( ) 0g a  ，即 axfxf ln10)()( 21  得证。………………………………19分 试卷第 1页，共 4页 2023~2024学年第二学期高二年段期中六校联考 数 学 试 卷 2024.4. 本试卷共 4 页，考试时间 120 分钟，总分 150 分 命题校：福清第三中学 班级_________ 座号__________ 姓名___________________ 一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合  3A x N x   ，  2 4 0B x x   ，则 A B  （ ） A． 2 B． 2,0,1,2,3 C． 2 2 ， D． 2 2．复数 2 i 1 2i z   ，则 z 等于（ ） A． 0 B． 5 C．1 D． 5 5 3．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 21 84S  ，则 11a （ ） A．22 B．10 C．8 D．4 4．已知在 R上可导的函数 ( )f x 的图像如图所示，则不等式 ( ) ( ) 0f x f x  的解集为（ ） A． ( 3,0) B． ( , 3) ( 1,0)   C． ( , 3) (0, )   D． ( 3, 1) (0, )   5. 已知向量 (2, 4)a ， (3, 1) b 则“ 2k  ”是“ ( ) ( )k k  a b a b ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 已知直线 y kx b  既是曲线 xy e 的切线，也是曲线 xy e  的切线，则（ ） A. , 0k e b  B. 1, 0k b  C. , 1k e b   D. 1, 1k b   试卷第 2页，共 4页 7．中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵 十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进 入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗， 节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗 6个方面.根据安排，讲座分为三 次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常 食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（ ） A． 1 5 B． 4 15 C． 1 3 D． 2 5 8．已知 ( ) 10 10 cosx xf x x   ，则不等式 (2 1) (4 ) 0f x f x    的解集为（ ） A． ( , 5)  B． ( ,1) C． ( 5,1) D． (1, ) 二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求的．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知  6 2 60 1 2 62 3x a a x a x a x      ，则下列选项正确的是（ ） A． 3 360a   B．    2 20 2 4 6 1 3 5 1a a a a a a a       C．  61 2 6 2 3a a a     D．展开式中系数最大的为 2a 10．从含有 3个红球，2个白球的口袋中随机取出一个球，记下颜色后放回，并加进一个 同色球，如此共取 i次.记事件 iA：“第 i次取出的球是红球”，事件 iB：“第 i次取出的球 是白球”，则（ ） A．  1 2 5 P B  B．  1 2 1 5 P A B  C．  1 2 15P B A  D．  3 21 35 P A  11．设函数   lnf x x x ，    f xg x x   ，给定下列命题，正确的是（ ） A．不等式   0g x  的解集为 1 ,e      ； B．函数  g x 在  0,e 单调递增，在  ,e  单调递减； C．若 1 2 0x x  时，总有      2 21 2 1 22 m x x f x f x   恒成立，则 1m  ； D．若函数     2F x f x ax  有两个极值点，则实数  0,1a . 试卷第 3页，共 4页 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．把答案填在题中的横线上． 12．已知  1 2 nx 展开式中第 3项与第 6项的二项式系数相等，则展开式中含 3x 项的系数 为 . 13．函数  ( ) lnf x x x  的单调递减区间是 . 14.已知数列 na 满足① 1 5a  ② 1 2, ( ) 3 2 ( n n n a n a a n    为奇数 ，为偶数) .则 3a  ________________； 设 nS 为 na 的前 n项和，则 2024 _________S  .（结果用指数幂表示） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数 3( ) 3f x x ax b   在 1x  处有极小值 2． (1)求函数 ( )f x 的解析式； (2)若函数 mxfxg  )()( 在 ]2,0[ 只有一个零点，求m的取值范围． 16. (15分) 今年是我国建国 75周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组 织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关 团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为 23 ，甲、丙两人都 回答正确的概率是 1 2 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 1 4 . (1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确 的概率. (2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为 2 5 ，乙抢到答题机 会的概率为 1 5 ，丙抢到的概率为 2 5 ，求这个问题回答正确的概率. 试卷第 4页，共 4页 17. (15分) 在 ABC 中，内角 A,B,C的对边分别是 , ,a b c，且 sin 3 sin 2 Bb C c . (1)求角 B的大小； (2)若 6b  ，且 ABC 的面积为 2 37 ，求 AC边上的中线长. 18. (15分) 已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且 公比都相等， 12 14 332, 4, 12a a a   . 第一行 11 12 13 14 1, , , na a a a a 第二行 21 22 23 24 2, , , na a a a a 第三行 31 32 33 34 3, , , na a a a a …… 第 n行 1 2 3 4, , ,n n n n nna a a a a (1)求数列 2na 的通项公式； (2)设      1 2 1 2 2 , 1,2,3, 1 1 n n n n b n a a        ，求数列 nb 的前 n项和 nS . 19. (19分) 已知函数 xaxxxf ln 2 14)( 2  （ 0a ） (1)当 3a 时，讨论函数 )(xf 的单调性. (2)若 )(xf 有两个极值点 )(, 2121 xxxx  ①求 a的取值范围 ②证明： axfxf ln10)()( 21 