精品解析：重庆市渝北中学校2023-2024学年高三下学期5月月考质量监测数学试题

渝北中学2023-2024学年（下）高三5月月考质量监测 数学试题 （全卷共四大题19小题，总分150分，考试时长"120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知A，B是全集U的非空子集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据Venn图，结合子集和集合间的运算理解判断. 【详解】由题意知，从而可得Venn图如下图， 对A、D：由Venn图，可得，故A、D错误； 对B：因为，正确，故B正确； 对C：因为，则错误，故C错误； 故选：B. 2. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故. 故选：B 3. 某学校运动会男子决然中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，，则下列说法错误的是（ ） A. 若该八名选手成绩的第百分位数为，则 B. 若该八名选手成绩的众数仅为，则 C. 若该八名选手成绩的极差为，则 D. 若该八名选手成绩的平均数为，则 【答案】A 【解析】 【分析】举反例判断A，利用众数和平均数定义判断B、D，分情况讨论判断C. 【详解】对A：因为，当，八名选手成绩从小到大排序为：，，，，，，，， 故该八名选手成绩的第百分位数为，但，故A错误； 对于B：由众数是出现次数最多的数据，故该八名选手成绩的众数仅为，则，故B正确； 对于C：当，极差为，不符合题意； 当，极差为，符合题意； 当，极差为不符合题意， 综上若该八名选手成绩的极差为，则，故C正确； 对于D：平均数为， 解得，故D正确. 故选：A 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理可求解，由面积公式即可求解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得，解得， 所以， 故选：A 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和与差的三角函数，结合求解. 【详解】已知， 则， ， ，， 则，， 则 . 故选：A. 6. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进一步由组合数排列数即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为， 甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为， 甲不去场馆，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种； 情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种， 场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时， 场馆仅有2名志愿者的概率为. 故选：B． 7. 在平行四边形中，，，，分别为，的中点，将沿直线折起，构成如图所示的四棱锥，为的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 平面平面 B. 四棱锥体积的最大值为 C. 无论如何折叠都无法满足 D. 三棱锥表面积的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，连接,判断选项A;当平面平面,四棱锥体积最大，判断选项B;利用线面垂直，判断选项C;当在根据对称性此时的面积最大，求出表面积，判断选项D. 【详解】选项A，平行四边形,所以，又,分别为中点，所以,即四边形为平行四边，所以,又平面,平面,所以平面，又是中点，所以,又平面,平面,所以平面,又,平面,所以平面平面，故A正确； 选项B，当平面平面,四棱锥的体积最大，因为，所以最大值为 ,故B正确； 选项C，根据题意可得 ,只要 , ,平面,所以平面，即,故C错误； 选项D，当,根据对称性可得,此时的面积最大，因此三棱锥表面积最大，最大值为,选项D正确. 故选：C 8. 曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线关于轴、轴均对称； ②曲线上存在点，使得； ③若点在曲线上，则的面积最大值是1； ④曲线上存在点，使得为钝角. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得曲线的方程为，可判断①错误；②假设结论成立，推得曲线不存在；当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故③正确；在曲线上再寻找一个特殊点P（0，y），验证即可判断④正确． 【详解】设曲线上任意一点，由题意可知的方程为 . ①错误，在此方程中用取代，方程不变，可知关于轴对称； 同理用取代，方程改变，可知不关于轴对称，故①错误. ②错误，若，则 曲线不存在，故②错误. ③正确， P应该在椭圆D：内（含边界）， 曲线与椭圆D有唯一的公共点，此时 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故③正确； ④正确，由 ③可知，取曲线上点，此时， 下面在曲线上再寻找一个特殊点，， 则， 把两边平方， 整理得， 解得，即或. 因为，则取点， 此时.故④正确． 故答案为：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 函数在区间内有6个零点 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】首先化简得，对于A：直接用周期公式求解；对于B：求出的范围，然后结合的图象得零点个数；对于C：直接计算的值即可判断；对于D：求出，结合图象来列不等式求解. 【详解】 ， 对于A：，A正确； 对于B：当时，，则分别取时对于的的值为函数在区间上的零点，只有个，B错误； 对于C：，故点不是的对称中心，C错误； 对于D：由已知， 当时，， 因为在上的最大值为， 所以，解得，D正确. 故选：AD. 10. 已知直线与圆交于点，点中点为，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为4 C. 为定值 D. 存在定点，使得为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线过定点进行逐项分析，对于A，根据和直线垂直时，取最小值求解即可；对于B，验证直线能否过圆心即可； 对于C，联立直线和圆的方程，将表示出来求解即可；对于D，利用，结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】直线，即， 故直线过定点,且圆的圆心为，半径为2, ，故在圆内， 对于A，当和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，距离， 此时最小，，故A正确； 对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心， 方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误； 对于C，设，则， 当直线斜率不存在时，，联立圆得，， 此时 当直线斜率存在时，设直线，联立圆， 得，即， ， ，, , 带入得：， 故为定值，故C正确； 对于D，中点为，故,且在上， 所以,故是直角三角形， 当为中点时，为定值，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论. 【详解】因为， 令得：，又因为，所以，故A正确； 因为是定义域为的奇函数，所以，且为偶函数. 令，可得：① 再用代替可得： ② ①②得： 所以：， 所以是周期为3的周期函数，所以：，故B正确. 因为：，，所以：， 所以：，故C错误； 又因为亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以 令，可得：， 所以. 所以：.故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于可导函数有：奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为奇函数. 若定义在上的函数是可导函数，且周期为，则其导函数也是周期函数，且周期也为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则______. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】根据复数的乘方及除法运算可得，进而可得，根据乘法运算即可求解. 【详解】， 所以，. 故答案为： 13. 已知三个实数、、，其中且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，进而得，即可求出的范围，于是，令，，利用二次函数的单调性即可求解最值. 【详解】当时满足且， ，即，进而，解得． 所以或， 所以， 令，， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以， 即的最大值为. 故答案为：． 14. 已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出正四面体的外接球半径，再利用，结合外接球知识求出该八面体的外接球半径即可求解. 【详解】如图： 设为正四面体的外接球球心，为的中心,为的中心, 为的中点， 由正四面体可知平面， 因为平面，所以， 又因为棱长为8，所以，， 设正四面体外接球球心为，则在，则为外接球半径， 由得，解得， 即, 在正四面体中，易得，，所以， 则该八面体的外接球半径, 所以该球形容器表面积的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是各项均为正数的数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用题给条件求得数列是公比为3的等比数列，再求得其首项的值，进而求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法即可求得数列的前项和． 【小问1详解】 ，． ， ，， 数列是公比为3的等比数列． ，，． 【小问2详解】 由（1）知，， ，① ，② ①②得 ， ． 16. 如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线线垂直推到线面垂直得到平面，推出；再由推出面，即得； （2）由题设条件和余弦定理求出，建立空间直角坐标系，设，写出相关点和向量的坐标，计算出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值即得. 【小问1详解】 三棱柱中，由可得, 因，且，面，则平面， 因平面，则，又四边形是菱形,则， 由，面，故得 面，因面 ,故． 【小问2详解】 因，不妨设，则，由余弦定理，,故得：， 分别取为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.( 轴为与平面垂直向上的方向), 则有，，，，，， 设平面的法向量为，则故可取； 又因，， 设平面的法向量为，则故可取. 设二面角的平面角为，则因故． 故二面角的正弦值为. 17. 垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表： 男生 女生 总计 A等级 40 20 60 B等级 20 20 40 总计 60 40 100 （1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？ 附：，其中，． （2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望． 【答案】（1）无关 （2）（i）；（ii）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1） 计算的值，再与进行比较即可得结论； （2）（i）由相互独立事件概率的乘法公式可直接求出答案； （ii）先由相互独立事件概率的乘法公式求出，则分布列可得，再由期望公式求数学期望即可. 【小问1详解】 提出原假设:学生对垃圾分类的了解程度与性别无关， 确定显著性水平，由题意得， 可得， 由，且， 所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关. 【小问2详解】 （i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为 比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为， 故比赛只进行3局就结束的概率为； （ii）的可能取值为， ，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故， ，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢， 故， ，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢， 故 ， ，即最后甲赢得比赛，由概率性质得， 所以分布为 0 1 2 3 故数学期望为. 18. 已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，． （1）求抛物线C的方程； （2）若点，连接AD，BD，证明：； （3）已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）要证，即证DG平分，即证， 由（1）可知，， 则 ， 故； （3）8 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再求出，再根据求出，即可求出抛物线C的方程； （2）要证，即证DG平分，即证，结合（1）计算化简即可得出结论； （3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG，求出，结合切线长定理可得，，，再根据，求出，再结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 设直线的方程为， 由，得， 设，， 则，， 从而，解得， 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG， 由题意，得， 由切线长定理，知，，， 所以， 又 ，解得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故面积的最小值为8． 【点睛】 思路点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：一是转化，把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解． 19. 已知函数． （1）证明曲线在处的切线过原点； （2）讨论的单调性； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导函数的几何意义求解即可； （2）首先求函数的导数，根据判别式，讨论a的取值，求函数的单调区间; （3）把问题转化为，利用一次函数单调性得，只需证，利用导数研究单调性即可. 【小问1详解】 由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 所以切线方程为，即恒过原点． 【小问2详解】 由（1）得， ①时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 令，则 ②且时，即时，，在上单调递增， 时，， ，则，或，得 所以在上单调递增，在上单调递增； ，则，则， 所以在上单调递减， ③时，， 则，则，所以在上单调递减； ，则，所以在上单调递增， 综上：时，在上单调递增；在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递增；在上单调递减， 时，在上单调递减；在上单调递增， 【小问3详解】 当时，，即， 下面证明当时，，，即证， 令，因为，所以，只需证， 即证，令，，，令，， 令，，与在上单调递减， 所以在上单调递减，，， 所以存在，使得，即， 所以，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，，， 令，时， 所以在上单调递增，所以， 所以，，所以在上单调递减， ，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，综上所述． 【点睛】关键点点睛 第三问的关键是构造函数并连续求导判断单调性，把构造的函数与当时的函数值比较，从而得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学2023-2024学年（下）高三5月月考质量监测 数学试题 （全卷共四大题19小题，总分150分，考试时长"120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知A，B是全集U的非空子集，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 某学校运动会男子决然中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，，则下列说法错误的是（ ） A. 若该八名选手成绩的第百分位数为，则 B. 若该八名选手成绩的众数仅为，则 C. 若该八名选手成绩的极差为，则 D. 若该八名选手成绩的平均数为，则 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 6. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，，，分别为，的中点，将沿直线折起，构成如图所示的四棱锥，为的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 平面平面 B. 四棱锥体积的最大值为 C 无论如何折叠都无法满足 D. 三棱锥表面积的最大值为 8. 曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线关于轴、轴均对称； ②曲线上存在点，使得； ③若点在曲线上，则的面积最大值是1； ④曲线上存在点，使得为钝角. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ③④ D. ①②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 函数在区间内有6个零点 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为 10. 已知直线与圆交于点，点中点为，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为4 C. 为定值 D. 存在定点，使得为定值 11. 已知函数及其导函数定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则______. 13. 已知三个实数、、，其中且，则的最大值为______． 14. 已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是各项均为正数的数列的前项和，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 17. 垃圾分类能减少有害垃圾对环境破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表： 男生 女生 总计 A等级 40 20 60 B等级 20 20 40 总计 60 40 100 （1）根据表中数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平）？ 附：，其中，． （2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为，主持人B提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布和数学期望． 18. 已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，． （1）求抛物线C的方程； （2）若点，连接AD，BD，证明：； （3）已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值． 19. 已知函数． （1）证明曲线在处的切线过原点； （2）讨论单调性； （3）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $