专题03 圆的有关计算与证明（四大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题三 圆 题型一 圆心角与圆周角 1．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，是的直径，弦交于点E，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁丹东·二模）如图，是的外接圆，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 题型二 垂径定理相关计算 3．（2024·辽宁营口·二模）如图，在中，弦，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁大连·二模）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（　　） A．5米 B．米 C．6米 D．米 5．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在中，弦，点C是圆上一点且，则的直径为（    ）    A．3 B． C． D．6 题型三 扇形面积和弧长公式 6．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　） A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2 8．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（2024·辽宁本溪·二模）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是 ．    10．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，，分别与切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．    题型四 圆相关证明大题 11．（2024·辽宁大连·二模）如图1，是的弦，的延长线与相交于点C，与过点B的切线相交于点D，． (1)求的度数； (2)如图2，点E在上，，连接．若，求的长． 12．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，是的外接圆，为的直径，与交于点F，D为延长线上一点，连接，． (1)求证： (2)若，，半径为4，求长． 13．（2024·辽宁营口·二模）如图，是的直径，弦于点E，点F为上一点，且，连接，交于点P，连接． (1)求证：： (2)延长交延长线于点G，若，，求的长． 14．（2024·辽宁鞍山千山区·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 15．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径的长． 16．（2024·辽宁丹东·二模）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 17．（2024·辽宁大连·二模）参考资料：对角互补四边形的四个顶点一定在同一个圆上． 请利用如上结论解决以下问题： 如图，为与的公共弦，连接并延长交于，连接、． (1)请探究是否四点共圆，若是，请证明并使用尺规作图，在答题纸上作出四边形的外接圆，并保留作图痕迹；若不是，请说明理由； (2)若，探究与的位置关系，并证明． 18．（2024·辽宁丹东·二模）如图，在中，点D是边上一点，且，以为直径的分别交，于点E，F，过点E作于点H． (1)求证：是切线． (2)若，，求． 19．（2024·辽宁沈阳皇姑区·二模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为H，过点C作直线分别于的延长线交于点E，F， 且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 20．（2024·辽宁沈阳二模）如图，是的直径，点C在上，点E是的中点，延长交的延长线于点D，点F在的延长线上，，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 21．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 22．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E． (1)求证：直线CD是⊙O的切线． (2)求证：． 23．（2024·辽宁抚顺·二模））中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边相切）”，如图所示．    (1)若圆O与正方形的两边相切于C、D两点，试判断四边形的形状并说明理由； (2)此图中，正方形一条对角线与相交于点M、N（点N在点M的右上方），若的长度为10丈，的半径为2丈，求的长度． 24．（2024·辽宁辽阳·二模）如图，已知的半径为，四边形内接于，连结，，．    (1)求的长； (2)求证：平分的外角． 25．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 圆 题型一 圆心角与圆周角 1．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，是的直径，弦交于点E，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 2．（2024·辽宁丹东·二模）如图，是的外接圆，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵ ∴， 故选：C． 题型二 垂径定理相关计算 3．（2024·辽宁营口·二模）如图，在中，弦，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，利用圆周角定理可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：连接，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的半径是， 故选：A． 4．（2024·辽宁大连·二模）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（　　） A．5米 B．米 C．6米 D．米 【答案】A 【分析】先设此圆的半径为r，用r表示出，的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设此圆的半径为r，则， ∵米，， ∴米， 在中， ∵米， ∴，即， 解得米． 故选A． 【点睛】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 5．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在中，弦，点C是圆上一点且，则的直径为（    ）    A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义．先由圆周角定理求出的度数，再由判断出是等腰直角三角形，据此计算可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴的直径为6． 故选：D． 题型三 扇形面积和弧长公式 6．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可得． 【详解】解：由图可知，圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥的侧面积为， 即蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟记公式是解题关键． 7．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　） A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2 【答案】D 【分析】先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案 【详解】解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P， 由题意得：BC=4cm， ∵六边形ABCD是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， 又∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键． 8．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵正六边形的边长为2， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 9．（2024·辽宁本溪·二模）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题． 【详解】解：∵∠BCD=30°， ∴∠BOD=60°， ∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2， ∴阴影部分的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 10．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，，分别与切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．    【答案】 【分析】 连接、，求出圆心角的度数，根据弧长公式，即可求解， 本题考查了切线的性质，弧长公式，解题的关键是：熟练掌握弧长公式． 【详解】解：连接、，    ∵，分别与切于点，， ∴，， ∴， 在四边形中，， ∴， 故答案为：． 题型四 圆相关证明大题 11．（2024·辽宁大连·二模）如图1，是的弦，的延长线与相交于点C，与过点B的切线相交于点D，． (1)求的度数； (2)如图2，点E在上，，连接．若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由，，可得，利用三角形内角和求得即可； （2）连接，，由是直径，可得，由（1）可得，则，由，，可得，，由，可得，证明是等边三角形，则，，，然后利用弧长公式计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的度数为； （2）解：如图2，连接，， ∵是直径， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的弦相等，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，正弦，弧长等知识．熟练掌握切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的弦相等，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，正弦，弧长是解题的关键． 12．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，是的外接圆，为的直径，与交于点F，D为延长线上一点，连接，． (1)求证： (2)若，，半径为4，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据得到，推出，即可证明结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，由，推出，进而得到，根据正切，求出，利用勾股定理求出，再根据得到，根据正切，求出，再求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为圆内接四边形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接 为的直径， 在中， 垂直平分 在中， 在中， ． 【点睛】此题考查的是圆周角定理、圆的内接四边形，勾股定理、正切的定义，正确作出辅助线是解决此题关键． 13．（2024·辽宁营口·二模）如图，是的直径，弦于点E，点F为上一点，且，连接，交于点P，连接． (1)求证：： (2)延长交延长线于点G，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)的长为5 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理及推理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）由根据垂径定理可得，再由可得，进而得到； （2）连接BC，先求出，，再证明得到解得，再证明得到求得，最后根据求解即可． 【详解】（1）为直径， ． （2）连接BC， 为直径 ， ， 在中，由勾股定理得： ，为直径 ，， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， ， ， ， ， ， ． 的长为5． 14．（2024·辽宁鞍山千山区·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）2． 【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明； （2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∴∠ADC+∠ODA=90°， ∵OF⊥AD， ∴∠AOF+∠DAO=90°， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠DAO， ∴∠ADC=∠AOF； （2）设半径为r， 在Rt△OCD中，， ∴， ∴， ∵OA=r， ∴AC=OC-OA=2r， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴， ∴OE=4， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键． 15．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 16．（2024·辽宁丹东·二模）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出是的切线； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【详解】（1）证明：直线与相切，理由如下： 连接，则：，    ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，，的半径为3， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， 则：， ∴， ∴． 17．（2024·辽宁大连·二模）参考资料：对角互补四边形的四个顶点一定在同一个圆上． 请利用如上结论解决以下问题： 如图，为与的公共弦，连接并延长交于，连接、． (1)请探究是否四点共圆，若是，请证明并使用尺规作图，在答题纸上作出四边形的外接圆，并保留作图痕迹；若不是，请说明理由； (2)若，探究与的位置关系，并证明． 【答案】(1)是四点共圆，证明见解析，作图见解析 (2)与相切，证明见解析 【分析】本题主要考查了圆的概念、四边形的外接圆、全等三角形的判定与性质、等边对等角、同弧所对的圆周角相等、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、尺规作图、圆切线的判定等知识，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键． （1）连接、、、，根据圆的概念、等边对等角，推出，利用证明，得出，根据，得出，根据“对角互补四边形的四个顶点一定在同一个圆上”即可证明是四点共圆；分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于两点，连接两交点，作出的垂直平分线，分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于两点，连接两交点，作出的垂直平分线和的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，即可作出四边形的外接圆； （2）根据是四点共圆，，结合同弧所对的圆周角相等、轴对称的性质，得出，，推出，根据，证明．得出，等量代换推出，即可证明与相切． 【详解】（1）解：是四点共圆，证明如下， 如图，连接、、、， ∵为与的公共弦， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是四点共圆； 如图，尺规作图出四边形的外接圆， ； （2）解：与相切，证明如下， ∵由（1）得是四点共圆，， ∴，和关于成轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴与相切． 18．（2024·辽宁丹东·二模）如图，在中，点D是边上一点，且，以为直径的分别交，于点E，F，过点E作于点H． (1)求证：是切线． (2)若，，求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连结，如图，利用等腰三角形的性质证明，则可判断，然后根据平行线的性质得到，从而根据切线的判定方法得到结论； （2）过O点作于M点，连结，如图，先利用圆周角定理得到，则在中利用余弦的定义求出，再利用勾股定理计算出，接着证明为的中位线得到，然后证明四边形为矩形，从而得到． 【详解】（1）证明：连结，如图， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是切线； （2）解：过O点作于M点，连结，如图， ∵为的直径， ∴. 在中，∵， ∴， ∴. ∵， ∴， 而， ∴为的中位线， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，中位线的性质，矩形的性质和判定，切线的判定与性质等，即圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 19．（2024·辽宁沈阳皇姑区·二模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为H，过点C作直线分别于的延长线交于点E，F， 且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，由圆周角定理和已知条件证明，进而可证明，由此即可证明是的切线； （2）由垂径定理和圆的性质得到，则，解直角三角得到，，则，即可得到． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的直径，是的弦，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径，是的弦，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，是的直径，点C在上，点E是的中点，延长交的延长线于点D，点F在的延长线上，，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接 OE ，由圆周角定理及等腰三角形的性质证得，得出，则可得出结论； （2）证明△∽△AFE，由相似三角形的性质得出，求出 AF 的长，则可得出答案． 【详解】（1）（1）证明：连接，如图所示， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴△∽△AFE， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定判定，圆周角定理定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解本题的关键． 21．（2024·辽宁抚顺·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，交的延长线于点E，且平分． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，平行四边形的判定，等边对等角等等： （1）根据等边对等角，同弧所对的圆周角相等证明， 推出，再由，即可证明四边形是平行四边形． （2）先证明，得到，推出，解直角三角形得到，由勾股定理可得． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：， ， ， ， ，   ， 是直径， ， 在中，， ， ， ， ． 22．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E． (1)求证：直线CD是⊙O的切线． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论； （2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：证明：(1)连接OD， ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线CD是⊙O的切线； (2)连接BD， ∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23．（2024·辽宁抚顺·二模）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边相切）”，如图所示．    (1)若圆O与正方形的两边相切于C、D两点，试判断四边形的形状并说明理由； (2)此图中，正方形一条对角线与相交于点M、N（点N在点M的右上方），若的长度为10丈，的半径为2丈，求的长度． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)丈 【分析】（1）连接，，由切线的性质及正方形的判定可得出结论； （2）由正方形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形， 理由：连接，，    圆与正方形一角的两边相切， ，， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）解：如图，设正方形的一边与的切点为，连接，    则， 四边形是正方形，是对角线， ， (丈)， 丈． 【点睛】本题考查的是切线的性质、正方形的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 24．（2024·辽宁辽阳·二模）如图，已知的半径为，四边形内接于，连结，，．    (1)求的长； (2)求证：平分的外角． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据圆周角定理，弧长计算公式即可求解； （2）根据，可得，根据圆周角定理，同弧所对圆周角相等，运用等量代换即可求证． 【详解】（1）解：如图所示，连接，    ∵，的半径为， ∴， 根据弧长公式得，． （2）解：根据题意，， ∴， 在中，， ∵，且， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴平分的外角． 【点睛】本题主要考查圆与四边形，等腰三角形的综合，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，等量代换的方法是解题的关键． 25．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）根据等边对等角，以及同角的余角相等，证明，即可得证； （2）由已知条件可得，然后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）如图，连接， ， ． ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 是的半径， 是的切线． （2）解：连接， 为的直径， ， ， ， 在中 ，， ， 在中 解得：， 【点睛】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形行，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 36 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$