专题02 方程与不等式（七大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题02 方程与不等式 题型一 不等式及其应用 1．（2024·辽宁沈阳·二模）不等式组的解集为 ． 2．（2024·辽宁营口·二模）不等式组的解集是 ． 3．（2024·辽宁大连·二模）关于x的不等式，且，则该不等式的解集为 ． 4．（2024·辽宁鞍山·二模）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 5．（2024·辽宁盘锦·二模）一家游泳馆暑期推出两种游泳方式． 方式一：每次购买元入场券． 方式二：办理实名制会员证元，仅限本人使用，每次凭证需再购入场券元． (1)当小宁去游泳次时，选哪种方式更划算？请说明理由； (2)当小宁去游泳至少多少次时，方式二比方式一划算？请说明理由． 题型二 一元二次方程根的判别式 6．（2024·辽宁大连·二模）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 7．（2024·辽宁鞍山·二模）关于的一元二次方程的根的情况是(   ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．与的取值有关，无法确定根的情况 8．（2024·辽宁铁岭·二模）关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024·辽宁丹东·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·辽宁抚顺·二模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．只有1个实根 B．没有实根 C．有两个相等的实根 D．有两个不相等的实根 11．（2024·辽宁沈阳·二模）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则（     ） A．10 B．25 C． D． 12．（2024·辽宁鞍山·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 13．（2024·辽宁本溪·二模）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 14．（2024·辽宁抚顺·二模）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·辽宁丹东·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 16．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 题型三 方程应用选填小题 17．（2024·辽宁丹东·二模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（    ） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 18．（2024·辽宁铁岭·二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出九，盈六；人出七．不足十四．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出九钱，那么多了六钱；如果每人出七钱，那么少了十四钱，问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买兔，根据题意，可列一元一次方程为（） A． B． C． D． 19．（2024·辽宁葫芦岛·二模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”    若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 20．（2024·辽宁抚顺·二模）某中学组织全校优秀九年级毕业生参加学校夏令营，一共有x名学生，分成y个学习小组、若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人，若求夏令营学生的人数所列的方程组为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·辽宁营口·二模）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（        ） A．B．C． D． 22．（2024·辽宁抚顺·二模）在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（    ） A．B． C． D． 23．（2024·辽宁鞍山·二模）“端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为 ． 题型四 方程的应用 24．（2024·辽宁抚顺·二模）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积． （1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？ （2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？ 25．（2024·辽宁大连·二模）一种药品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？ 26．（2024·辽宁丹东·二模）某文具店批发甲、乙两种文具，已知甲文具的单价是乙文具单价的倍．用元购买乙文具比购买甲文具多4个，求：甲、乙两种文具的单价各为多少元？ 27．（2024·辽宁盘锦·二模）随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，甚至的快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用技术提高了50%，若采用充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？ 题型五 方程与不等式 28．（2024·辽宁营口·二模）“母亲节”来临之际，某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售，若购买4束百合和3束康乃馨需要花费230元．若购买6束百合和2束康乃馨需要花费270元． (1)求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元？ (2)花店打算购进30束百合和20束康乃馨两种鲜花进行销售，若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多10元，则两种鲜花全部售完后，每束百合的售价应至少定为多少元才能使获得的利润不低于500元？ 29．（2024·辽宁沈阳·二模）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同． (1)一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？ (2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？ 30．（2024·辽宁沈阳大东区·二模）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 31．（2024·辽宁沈阳·二模）某汽车租赁公司决定采购型和型两款新能源汽车．已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的倍，若用万元购进型汽车的数量比用万元购进型汽车的数量少辆，求每辆型汽车和每辆型汽车的进价分别为多少万元． 32．（2024·辽宁大连·二模）、两地相距千米，甲车从地出发匀速开往地，乙车同时从地出发匀速开往地，两车相遇时距地．已知乙车每小时比甲车多行驶． (1)求甲、乙两车的速度； (2)若、辆车分别以初速继续在一条长为的道路上相向而行，若经过时两车在没有相遇的条件下相距不超过，求的取值范围． 33．（2024·辽宁大连·二模）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 34．（2024·辽宁本溪·二模）为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，经调研，市场上有A型、B型两种充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.2万元，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等. (1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？ (2)该市决定购买A型、B型充电桩共300个，且花费不超过200万元，则至少购买A型充电桩多少个? 题型六 一元二次方程应用 35．（2024·辽宁本溪·二模）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． (1)求该公司销售A产品每次的增长率； (2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 36．（2024·辽宁丹东·二模）某经销商购进一款成本为60元的水杯．按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润率不高于．据市场调查发现，水杯每天的销售数量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为70元时，销售数量为160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个． (1)求y与x之间的函数表达式．（不需写出自变量x的取值范围） (2)若该经销商每天想从这款水杯销售中获利3600元，又想尽量减少库存，这款水杯的销售单价应定为多少元？ (3)设该水杯每天的总利润为W（元），那么销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 37．（2024·辽宁营口·二模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 题型七 解方程计算 38．（2024·辽宁鞍山·二模）计算： (1)； (2)． 39．（2024·辽宁·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 40．（2024·辽宁大连·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 41．（2024·辽宁鞍山·二模）（1）计算： （2）已知关于x的一元二次方程有实数根，若两根为，且，求m的值． 42．（2024·辽宁抚顺·二模）解方程 (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程与不等式 题型一 不等式及其应用 1．（2024·辽宁沈阳·二模）不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可确定不等式组的解集，掌握求不等式组解集的口诀是解题的关键． 【详解】解：由不等式组可得，不等式组的解集为， 故答案为：． 2．（2024·辽宁营口·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得答案． 【详解】 解不等式①得：x＞-1， 解不等式②得：x＜2， ∴不等式组得解集为：-1＜x＜2， 故答案为：-1＜x＜2 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，求不等式的解集须遵循以下原则：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了；正确求出各不等式的解集是解题关键． 3．（2024·辽宁大连·二模）关于x的不等式，且，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，由知结合得 再进一步求解即可，掌握解不等式的基本步骤是关键，需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解： 则 解得： 故答案为：． 4．（2024·辽宁鞍山·二模）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】先解分式方程，用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 去分母，得：， 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得：． ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴． 又∵， ∴． ∴． 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键． 5．（2024·辽宁盘锦·二模）一家游泳馆暑期推出两种游泳方式． 方式一：每次购买元入场券． 方式二：办理实名制会员证元，仅限本人使用，每次凭证需再购入场券元． (1)当小宁去游泳次时，选哪种方式更划算？请说明理由； (2)当小宁去游泳至少多少次时，方式二比方式一划算？请说明理由． 【答案】(1)方式一划算，理由见解析 (2)当小宁去游泳至少次时，方式二比方式一划算 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用 （1）分别计算出两种方式需要付款额即可得出答案； （2）设去游泳次时，方式二比方式一划算，根据题意列出不等式，解之即可得出答案． 【详解】（1）解：去游泳次时，选择方式一更划算， 方式一需付款元， 方式二需付款元， ， 所以选择方式一更划算； （2）设去游泳次时，方式二比方式一划算， 根据题意，得：， 解得．， 为整数， 至少为， 答：当小宁去游泳至少次时，方式二比方式一划算． 题型二 一元二次方程根的判别式 6．（2024·辽宁大连·二模）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式．根据根的判别式，代入数据计算可得答案． 【详解】解：一元二次方程， ，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7．（2024·辽宁鞍山·二模）关于的一元二次方程的根的情况是(   ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．与的取值有关，无法确定根的情况 【答案】A 【分析】根据根的判别式即可求解，即． 【详解】解：关于的一元二次方程， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实根， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根的判别式判定方程的根是解题的关键． 8．（2024·辽宁铁岭·二模）关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求出n的取值范围，即可选择． 【详解】根据题意可知：， ∴． ∴符合题意的选项为D． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式．根据题意可知一元二次方程没有实数根时其根的判别式小于0是解答本题的关键． 9．（2024·辽宁丹东·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 先计算，解不等式即可． 【详解】解：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， ， ∴． 故选：D． 10．（2024·辽宁抚顺·二模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．只有1个实根 B．没有实根 C．有两个相等的实根 D．有两个不相等的实根 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原方程有两个相等的实根． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 11．（2024·辽宁沈阳·二模）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则（     ） A．10 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：B． 12．（2024·辽宁鞍山·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握利用判别式判断一元二次方程根的方法． 利用根的判别式对方程根进行判断即可求解：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 13．（2024·辽宁本溪·二模）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 14．（2024·辽宁抚顺·二模）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．分别求出根的判别式求解即可． 【详解】解：A．∵，∴方程有两个相等的实数根，故符合题意； B．∵，∴方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； C．∵，∴方程没有实数根，故不符合题意； D．∵，∴方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选A． 15．（2024·辽宁丹东·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此即可解答，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴即，且， 即有， 解得， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 16．（2024·辽宁沈阳和平区·二模）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】根据一元二次方程根与系数关系可以求出，可化为，代入求值即可解答． 【详解】∵是方程的两个实数根 由一元二次方程根与系数关系可得： ， 而 故答案为2024． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系式进行计算与转化是解决本题的关键． 题型三 方程应用选填小题 17．（2024·辽宁丹东·二模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（    ） A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键． 设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可． 【详解】设绫布有尺，则罗布有尺， ∵绫布和罗布分别出售均能收入896文， ∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元， ∵， ∴， ∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文． 故选：C． 18．（2024·辽宁铁岭·二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出九，盈六；人出七．不足十四．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出九钱，那么多了六钱；如果每人出七钱，那么少了十四钱，问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买兔，根据题意，可列一元一次方程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设有x个人共同出钱买兔，根据买兔需要的总钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x个人共同出钱买兔，根据题意得： 9x-6=7x+14． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 19．（2024·辽宁葫芦岛·二模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”    若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 20．（2024·辽宁抚顺·二模）某中学组织全校优秀九年级毕业生参加学校夏令营，一共有x名学生，分成y个学习小组、若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人，若求夏令营学生的人数所列的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到两种分组方法得到的总人数的关系是解决本题的关键． 相应的关系式为：组数实际人数；组数实际人数，即可列出方程． 【详解】解：每组10人时，实际人数可表示为；每组9人时，实际人数可表示为； 可列方程组为：， 故选：D． 21．（2024·辽宁营口·二模）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程． 【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为千克，根据题意，得 故选：A 【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键． 22．（2024·辽宁抚顺·二模）在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据2023年上学期平均每天书面作业时长2022年上学期每天书面作业平均时长（1该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 23．（2024·辽宁鞍山·二模）“端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式方程的应用，根据“甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等”即可列出分式方程． 【详解】解：设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子， 根据题意可得：， 故答案为：． 题型四 方程的应用 24．（2024·辽宁抚顺·二模）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积． （1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？ （2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种方案的施工费用最少？ 【答案】（1）甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米；（2）选择方案①完成施工费用最少 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，根据甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积，列出方程，求解即可； （2）利用施工费用=每天的施工费用×施工时间，即可求出选择各方案所需施工费用,再比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲队每天能完成绿化的面积是（x+200）米， 依题意得：x+x+200=800 解得：x=300， x+200=500 ∴甲队每天能完成绿化的面积是500平方米，乙队每天能完成绿化的面积是300平方米． （2）选择方案①甲队单独完成所需费用=（元）； 选择方案②乙队单独完成所需费用=（元）； 选择方案③甲、乙两队全程合作完成所需费用=（元）； ∴选择方案①完成施工费用最少． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）利用总费用=每天支出的费用×工作时间，分别求出选择各方案所需费用． 25．（2024·辽宁大连·二模）一种药品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？ 【答案】大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶 【分析】设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，根据“3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶， 依题意得：， 解得：， 答：大盒每盒装20瓶，小盒每盒装12瓶． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 26．（2024·辽宁丹东·二模）某文具店批发甲、乙两种文具，已知甲文具的单价是乙文具单价的倍．用元购买乙文具比购买甲文具多4个，求：甲、乙两种文具的单价各为多少元？ 【答案】甲文具单价是6元，乙文具的单价是4元 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列分式方程是解题的关键． 设乙文具单价是x元，则甲文具的单价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设乙文具单价是x元，则甲文具的单价是元， 依题意得，， 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲文具单价是6元，乙文具的单价是4元． 27．（2024·辽宁盘锦·二模）随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，甚至的快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用技术提高了50%，若采用充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？ 【答案】60公里 【分析】设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里，根据题意，列出分式方程，求解验根即可． 【详解】解：设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 当时，， 答：采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键． 题型五 方程与不等式 28．（2024·辽宁营口·二模）“母亲节”来临之际，某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售，若购买4束百合和3束康乃馨需要花费230元．若购买6束百合和2束康乃馨需要花费270元． (1)求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元？ (2)花店打算购进30束百合和20束康乃馨两种鲜花进行销售，若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多10元，则两种鲜花全部售完后，每束百合的售价应至少定为多少元才能使获得的利润不低于500元？ 【答案】(1)每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元； (2)每束百合的售价应至少定为47元才能使获得利润不低于500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设每束百合的进价为x元，则每束康乃馨的进价为y元，列出方程组求解即可； （2）设每束百合的售价为m元，则每束康乃馨的售价为元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每束百合的进价为x元，则每束康乃馨的进价为y元， 由题意得，， 解得， ∴每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元； （2）解：设每束百合的售价为m元，则每束康乃馨的售价为元，由题意得， ， 解得：， ∴每束百合的售价应至少定为47元才能使获得利润不低于500元． 29．（2024·辽宁沈阳·二模）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同． (1)一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？ (2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？ 【答案】(1)一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷 (2)至少要安排7台A型收割机 【分析】（1）设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，然后根据一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同列出方程求解即可； （2）设每天要安排y台A型收割机，然后根据确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷． 根据题意，得， 解得 经检验：是所列分式方程的根 ∴（公顷）． 答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷． （2）解：设每天要安排y台A型收割机， 根据题意，得， 解得， 答：至少要安排7台A型收割机． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键． 30．（2024·辽宁沈阳大东区·二模）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 【答案】(1)x的值为600 (2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元 【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可； （2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意列方程，得． 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：x的值为600． （2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元． 则． ， ． 1400>0， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为56800． 答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 31．（2024·辽宁沈阳·二模）某汽车租赁公司决定采购型和型两款新能源汽车．已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的倍，若用万元购进型汽车的数量比用万元购进型汽车的数量少辆，求每辆型汽车和每辆型汽车的进价分别为多少万元． 【答案】每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元，根据题意，列出方程解答即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元． 32．（2024·辽宁大连·二模）、两地相距千米，甲车从地出发匀速开往地，乙车同时从地出发匀速开往地，两车相遇时距地．已知乙车每小时比甲车多行驶． (1)求甲、乙两车的速度； (2)若、辆车分别以初速继续在一条长为的道路上相向而行，若经过时两车在没有相遇的条件下相距不超过，求的取值范围． 【答案】(1)甲车的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用、不等式的应用，理解题意列分式方程、不等式求解是解题的关键． （1）设甲车的速度是千米/时，乙车的速度为千米/时，根据两车相遇时距地，结合“时间路程速度”列分式方程求解即可，注意分式方程的解要代入原分式方程检验； （2）根据“经过时两车在没有相遇的条件下相距不超过”，列不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/时，乙车的速度为千米/时， 由题意得：， 解得，， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲车的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时； （2）解：由题意得：， 解得：． 33．（2024·辽宁大连·二模）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【答案】(1)2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为 (2)此次价格的下降率最多是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，200元经过两年下降后的价格为，由此列出方程，求解方程即得答案； （2）设此次价格的下降率为m，根据题中的数量关系列出不等式，求解不等式即得答案． 【详解】（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； （2）设此次价格的下降率为m， 根据题意得， 解得， 答：此次价格的下降率最多是． 34．（2024·辽宁本溪·二模）为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，经调研，市场上有A型、B型两种充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.2万元，用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等. (1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？ (2)该市决定购买A型、B型充电桩共300个，且花费不超过200万元，则至少购买A型充电桩多少个? 【答案】(1)型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元． (2)至少可购买种充电桩200个． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，根据“用12万元购买型充电桩与用16万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过200万元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元． 根据题意得： 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元． （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 由题可得：， 解得：， 答：至少可购买种充电桩200个． 题型六 一元二次方程应用 35．（2024·辽宁本溪·二模）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． (1)求该公司销售A产品每次的增长率； (2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 【答案】(1) (2)1万元 【分析】（1）设该公司销售产品每次的增长率为，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润每套的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该公司销售产品每次的增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该公司销售产品每次的增长率为． （2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答尽量减少库存， ． 答：每套产品需降价1万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．（2024·辽宁丹东·二模）某经销商购进一款成本为60元的水杯．按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润率不高于．据市场调查发现，水杯每天的销售数量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为70元时，销售数量为160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个． (1)求y与x之间的函数表达式．（不需写出自变量x的取值范围） (2)若该经销商每天想从这款水杯销售中获利3600元，又想尽量减少库存，这款水杯的销售单价应定为多少元？ (3)设该水杯每天的总利润为W（元），那么销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为； (2)这款水杯的销售单价应定为90元； (3)当销售单价定为99元时，该经销商销售该水杯的总利润最大，最大利润是3978元． 【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，结合减少库存，列方程可解； （3）由题意得二次函数，得到对称轴，可求得答案． 本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大． 【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为， 根据题意，得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为． （2）由题意得， ∴， 解得：，， ∵想尽量减少库存， ∴， 答：这款水杯的销售单价应定为90元． （3）由题意得， 因为销售单价不低于成本， ∴， 因为销售利润率不高于65%， ∴， ∴， ∴， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，（元）． 答：当销售单价定为99元时，该经销商销售该水杯的总利润最大，最大利润是3978元． 37．（2024·辽宁营口·二模）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可； （2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可． 【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元． 则 解得：，经检验是方程的解． ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． 答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． （2）由题意得，当时，每天可售100盒． 当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为() ∴， 配方得： 当时，y取最大值为1750元． ∴，最大利润为1750元． 答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键． 题型七 解方程计算 38．（2024·辽宁鞍山·二模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了实数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方与立方根，再计算乘除法，然后计算加减法即可得； （2）利用公式法解方程即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 39．（2024·辽宁·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加法即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 本题考查实数的运算及解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 移项得：， 配方得：， 即， 则， 解得：，． 40．（2024·辽宁大连·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了实数的运算、解一元二次方程，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式和绝对值、计算乘方，再加减计算即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ，，， ， ， 解得：，． 41．（2024·辽宁鞍山·二模）（1）计算： （2）已知关于x的一元二次方程有实数根，若两根为，且，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了特殊的三角函数值和根的判别式，正确进行二次根式的运算和解一元二次方程是关键． （1）首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可． （2）由方程有两个相等的实数根可得，设，，为一元二次方程两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：或3，再根据情况选出最终的结果． 【详解】解：（1）原式 （2）依题意可知该一元二次方程有实数根， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，，为一元二次方程两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∴，即， 解得或3， ∵， ∴． 42．（2024·辽宁抚顺·二模）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程，根据题中所给方程结构特征，利用提公因式法及平方差公式法因式分解求解即可得到答案． （1）利用提公因式法因式分解求解即可得到答案； （2）利用平方差公式因式分解求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 或， ； （2）解：， 移项得， 因式分解得， 或， ． 二、解答题 三、填空题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 28 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$