精品解析：2024年安徽省芜湖市无为市多校中考三模数学试题

2024年安徽省初中学业水平考试模拟试题 数学 中考全部内容 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个有理数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 水是生命之源，节约用水是一种美德．一个人每天少浪费一滴水，全国一年就可以节约2445万升水，这些水可供9万人使用一年．数据2445万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解某公司员工的年收入情况，小丽随机调查了10名员工，其年收入（单位：万元）如下：4，4，5，5，5，6，6，6，8，20．下列说法正确的是（ ） A. 平均数可以反映该公司员工年工资水平 B. 众数是5 C. 中位数是5.5 D. 平均数6.6 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 图象与轴交于点 C. 点在函数图象上 D. 图象经过第二、三、四象限 8. 在同一直角坐标系中,一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2-b的图象大致为(　　) A. B. C. D. 9. 在锐角中，于点，若，，则的度数是(　　) A. B. C. D. 10. 如图，E是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则的周长的最小值为（ ） A. 16 B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 请写出一个大于且小于的无理数_______． 12. 分解因式：a3－a=___________ 13. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的弦中点，，在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，______． 14. 如图，直线AB的解析式为，与双曲线相交于A，B两点，且点A的坐标为． （1）____________． （2）如图，若轴，轴，直线与直线相交于点D，则____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 16. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）绕原点逆时针旋转得到，按照要求画出； （2）以点为位似中心画，使它与位似，且位似比为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 用相同规格的黑、白两种颜色的正方形按如图所示的方式铺成图形． （1）铺第4个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形_________块． （2）按照此方式，铺第n个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形__________块．（用含的代数式表示） （3）若第个图形中黑色正方形数量的4倍等于白色正方形数量的平方，请求出的值． 18. 某中学的科技兴趣小组制作的甲、乙两种型号的机器人都被用来搬运快递，甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运60千克快递，甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同，问甲、乙两种型号的机器人每小时分别搬运多少千克快递？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 合肥园博园由原骆岗机场改建而成，原机场信号塔使用双曲面氟碳铝单板改建成了七彩蘑菇塔．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这座信号塔的高度（测角仪高度为1米）．他们的操作方法如下：如图，在B处测得塔顶A的仰角为，然后向塔基方向直行22.5米到达C处，再次测得塔顶A的仰角为．请帮助他们计算出塔的高度．（参考数据：，，） 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 为了进一步加深学生对环保知识的了解，某中学组织七、八年级学生参与了环保知识竞赛活动，校团委从两个年级中分别随机抽取名学生，并对他们的得分情况进行整理、描述和分析．分数用m表示，共分为三个等级：优秀，良好，不合格．下面给出了部分信息： ①七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，分数不低于分的数据为，，，89，，，，，； ②八年级学生成绩中良好等级包含的所有数据为，，，，，， 年级 平均数 中位数 众数 优秀等级所占百分比 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题 （1）_________，___________，_________． （2）根据以上样本数据，估计该学校哪个年级学生的环保知识竞赛成绩更好．请说明理由．（写出一条理由即可） （3）学校计划从成绩优秀的名学生（分别记为甲、乙、丙、丁、戊）中随机选取人进社区宣传环保知识，请用列表法或画树状图法求恰好选中丁、戊的概率． 七、（本题满分12分） 22. 在中，点D，E分别在边，上，且，． （1）如图1，当时，求的度数． （2）如图2，点F在上，，当平分时，求证：四边形是菱形． （3）如图3，连接．求证：． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，． （1）求的值． （2）若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值． （3）若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年安徽省初中学业水平考试模拟试题 数学 中考全部内容 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个有理数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，正数大于零，负数小于零．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：B 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方的性质，幂的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：、，此选项运算错误，不符合题意； 、，此选项运算错误，不符合题意； 、，此选项运算正确，符合题意； 、，此选项运算错误，不符合题意； 故选：． 3. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力，解题的关键是根据组合体的形状进行判断． 根据组合体的形状即可求出答案． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选A． 4. 水是生命之源，节约用水是一种美德．一个人每天少浪费一滴水，全国一年就可以节约2445万升水，这些水可供9万人使用一年．数据2445万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2445万， 故选：C． 5. 下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．分别求出根的判别式求解即可． 【详解】解：A．∵，∴方程有两个相等的实数根，故符合题意； B．∵，∴方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； C．∵，∴方程没有实数根，故不符合题意； D．∵，∴方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选A． 6. 为了解某公司员工的年收入情况，小丽随机调查了10名员工，其年收入（单位：万元）如下：4，4，5，5，5，6，6，6，8，20．下列说法正确的是（ ） A. 平均数可以反映该公司员工年工资水平 B. 众数是5 C. 中位数是5.5 D. 平均数6.6 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查中位数的实际应用，根据中位数的定义求解． 【详解】解：中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），反映的是一组数据的中间水平．因此能合理反映该公司年工资中等水平的是中位数． 而中位数， 平均数为： 故选C． 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 图象与轴交于点 C. 点在函数图象上 D. 图象经过第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，根据以上知识点逐项分析即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、， 函数值随自变量的增大而减小，故A说法正确，符合题意； B、当时，， 解得：， 图象与轴交于点，故B说法错误，不符合题意； C、当时，，故C说法错误，不符合题意； D、，， 图象经过第一、二、四象限，故D说法错误，不符合题意； 故选：A． 8. 在同一直角坐标系中,一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2-b的图象大致为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可得出答案． 【详解】A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B错误； C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，故C错误； D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故D正确； 故选D 【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是解题关键. 9. 在锐角中，于点，若，，则的度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形,根据题意画出图形, 令，勾股定理求得，根据等面积法求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示， ，， 则令， ，． 在中， ， 同理可得，． 过点作的垂线，垂足为， 则， ． 在中， ， ． 故选：B． 10. 如图，E是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则的周长的最小值为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合等腰直角三角形性质得出，，再证明，因为，所以，得出是等腰直角三角形，作点A关于直线CF的对称点，当点A，C，在同一直线上，的周长最小．得证 即可作答．本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】提示：如图，过点F作，交的延A长线于点H，连接, ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接AC，则，， ∴，． 作点A关于直线CF的对称点， ∴，点A，C，在同一直线上， 连接，交CF于点，连接，则， 此时最小， 即的周长最小． 过点作，交DC的延长线于点I， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小为． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 请写出一个大于且小于的无理数_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，由于所求无理数大于且小于，则该数的平方大于小于，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】， ， 写出一个大于且小于的无理数是， 故答案为：（答案不唯一） 12. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 13. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的弦中点，，在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，垂径定理和勾股定理；连接，根据垂径定理，知，设圆的半径为根据勾股定理求出，计算求出答案． 【详解】解：连接，如图： 是的弦中点，， ， ，，共线， ， ， 设圆的半径为，则， 在中，根据勾股定理， 得， 即， 解得， ， ∴ 故答案为：． 14. 如图，直线AB的解析式为，与双曲线相交于A，B两点，且点A的坐标为． （1）____________． （2）如图，若轴，轴，直线与直线相交于点D，则____________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入的解析式，即可求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可得出值； （2）连接点和点，联立直线与双曲线的解析式，得到点的坐标为，再由轴，轴，可得点坐标为，即可求得直线的解析式为，联立直线与直线的解析式，求出点的坐标，易得点为的中点，根据直角三角形斜边中线定理，得，然后求出，的值，利用勾股定理可求得，，的值，再利用勾股定理逆定理，证得是直角三角形，即可证得，得到，再根据求出的值，即可计算的值． 【详解】解：（1），两点为直线，与双曲线的交点， 将代入，得， ， ， 故答案为：2； （2）如图，连接点和点， 由（1）得双曲线的解析式为， 联立直线与双曲线的解析式得，解得，， 点的坐标为， 若轴，轴， 点坐标为， 直线的解析式为， 联立直线与直线的解析式得，解得， 点的坐标为， ，， 点为的中点， ， ，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题综合考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，直角三角形斜边中线定理，勾股定理及其逆定理的应用，求角的正切值，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，联立函数解析式求函数图象的交点，利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，利用直角三角形两直角边的比求锐角的正切值． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 去括号，移项合并，最后系数化为1可求不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 解集在数轴上表示如下： 16. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）绕原点逆时针旋转得到，按照要求画出； （2）以点为位似中心画，使它与位似，且位似比为． 【答案】（1）作图见详解， （2）作图见详解． 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换的性质，分别作、、，的对应点、、即可； （2）根据位似变换的性质作，本题考查作图，旋转变换，位似变换，解题的关键是：掌握旋转变换位似变换的性质． 本题考查作图﹣旋转变换、位似变换，熟练掌握旋转和位似图形的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 如图所示，即为所作， 【小问2详解】 如图所示，即为所作， 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 用相同规格的黑、白两种颜色的正方形按如图所示的方式铺成图形． （1）铺第4个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形_________块． （2）按照此方式，铺第n个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形__________块．（用含的代数式表示） （3）若第个图形中黑色正方形数量的4倍等于白色正方形数量的平方，请求出的值． 【答案】（1）17；10 （2）； （3）2 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察图形，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据图形即可解答； （2）由图可知，黑色正方形依次增加4个，白色正方形依次增加2个，即可解答； （3）根据（2）可得第个图形中有块黑色正方形，有块白色正方形，再建立方程求解，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 铺第4个图形用黑色正方形块，用白色正方形块， 【小问2详解】 解：由图可知，黑色正方形依次增加4个，白色正方形依次增加2个， ∴铺第个图形用黑色正方形块，用白色正方形块， 【小问3详解】 解：由（2）可得：第个图形中有块黑色正方形，有块白色正方形， ∴， ∴， 解得（不符合题意的根舍去）． 18. 某中学的科技兴趣小组制作的甲、乙两种型号的机器人都被用来搬运快递，甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运60千克快递，甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同，问甲、乙两种型号的机器人每小时分别搬运多少千克快递？ 【答案】甲型机器人每小时搬运180千克快递，乙型机器人每小时搬运240千克快递 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设甲型机器人每小时搬运x千克快递，则乙型机器人每小时搬运千克快递，根据“甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同”，这一等量关系列方程，解答，检验即可． 【详解】解：设甲型机器人每小时搬运x千克快递，则乙型机器人每小时搬运千克快递， 依题意，得 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（千克）． 答：甲型机器人每小时搬运180千克快递，则乙型机器人每小时搬运240千克快递． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 合肥园博园由原骆岗机场改建而成，原机场信号塔使用双曲面氟碳铝单板改建成了七彩蘑菇塔．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这座信号塔的高度（测角仪高度为1米）．他们的操作方法如下：如图，在B处测得塔顶A的仰角为，然后向塔基方向直行22.5米到达C处，再次测得塔顶A的仰角为．请帮助他们计算出塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】61米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先证明，设，则，，再利用锐角三角函数建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴（米）． ∵测角仪的高度为1米， ∴塔的高度约为61米． 答：塔的高度约为61米． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得出，进而得出，则，推出，即可求证是的切线； （2）连接，即可得出，结合等腰三角形的性质得出，进而推出是等边三角形，则，，得出，最后根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线定理，直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉掌握圆的基本性质，并能与结合等腰三角形的性质． 六、（本题满分12分） 21. 为了进一步加深学生对环保知识的了解，某中学组织七、八年级学生参与了环保知识竞赛活动，校团委从两个年级中分别随机抽取名学生，并对他们的得分情况进行整理、描述和分析．分数用m表示，共分为三个等级：优秀，良好，不合格．下面给出了部分信息： ①七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，分数不低于分的数据为，，，89，，，，，； ②八年级学生成绩中良好等级包含的所有数据为，，，，，， 年级 平均数 中位数 众数 优秀等级所占百分比 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题 （1）_________，___________，_________． （2）根据以上样本数据，估计该学校哪个年级学生的环保知识竞赛成绩更好．请说明理由．（写出一条理由即可） （3）学校计划从成绩优秀的名学生（分别记为甲、乙、丙、丁、戊）中随机选取人进社区宣传环保知识，请用列表法或画树状图法求恰好选中丁、戊的概率． 【答案】（1），， （2）八年级；理由：两个年级学生的环保知识竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生环保知识竞赛成绩的众数及优秀率均高于七年级 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，统计表、列表法树状图求概率，扇形统计图等，熟练掌握中位数，众数的意义和求法，列表法树状图求概率是解答本题的关键． （1）根据七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，将七年级成绩分数在优秀范围内的数据排列，利用众数的概念可直接得出的值；根据八年级学生成绩良好等级中所包含的所有数据为，，，，，，，得到良好等级占比为，不及格等级占比为，得到不及格等级的人数有4人， 推出八年级成绩的中位数为和的平均数是． （2）从众数及优秀率的角度分析即可(答案不唯一)． （3）列表或画树状图后，让所求情况数比上总情况数即为概率． 【小问1详解】 ∵七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，优秀范围内的数据为，，，，， ∴出现次数最多的数据为， ∴众数为，即； ∵八年级学生成绩良好等级中所有数据为，，，，，，， ∴八年级学生成绩良好等级占比为， ∴八年级学生成绩不及格等级占比为， ∴， ∴八年级学生成绩不及格等级的人数有（人）， ∴个八年级学生成绩从小到大排列，第个和第个数据是和， ∴八年级成绩的中位数． 故答案为：，，． 【小问2详解】 八年级． 理由：两个年级学生的环保知识竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生环保知识竞赛成绩的众数及优秀率均高于七年级 (答案不唯一)． 【小问3详解】 学校计划从成绩优秀的名学生（分别记为甲、乙、丙、丁、戊）中随机选取人进社区宣传环保知识，请用列表法或画树状图法求恰好选中丁、戊的概率． 列表可得下图： 树状图如下： 由图可得甲、乙、丙、丁、戊中，选出两人有种情况，恰好选中丁、戊的情况有种， 故恰好选中丁、戊的概率为，即． 七、（本题满分12分） 22. 在中，点D，E分别在边，上，且，． （1）如图1，当时，求的度数． （2）如图2，点F在上，，当平分时，求证：四边形是菱形． （3）如图3，连接．求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据条件证明是等边三角形，再通过三角形外角定理得出的度数，然后与相加即可求解． （2）先根据条件利用两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形邻边相等证明四边形是菱形． （3）先根据条件利用三角形外角定理证明，然后证明，再利用对应边成比例转化成，而后利用对应边成比例夹角相等证明，最后通过相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：如图，标记∠1，∠2． ，， ， ． ， ． 又， ， ． 【小问2详解】 证明：平分， ． ， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 又， 是菱形． 【小问3详解】 ，， ，． ，， ， ． 又， ， ， ． 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的内容是等边三角形与等腰三角形的性质，平行四边形与菱形的性质与判定，以及相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例的转化，找到关键两个相似三角形从而解决问题． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与坐标轴分别交于点，连接，已知抛物线的对称轴为直线，． （1）求的值． （2）若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值． （3）若点在轴上，点在抛物线上，当为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数最值问题，二次函数与四边形结合，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据待定系数法求解析式即可； （2）过点作轴，将的长度用二次函数表示，即可求出最大值，分与重合和不重合讨论，从而求得线段的最大值； （3）分两种情况进行讨论，求出点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得点的坐标为， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：过点作轴于点， 当时，， ∴点的坐标为，， 当时，，， ∴点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵点在抛物线上， ∴设， 当不与重合时， ， ∵， ∴当时，的最大值为， 当与重合时，，即 ，解得或（舍） 此时的最大值为 ； ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：设， 情况一：当时，过点作轴于点，， ∵，， ∴， 解得（舍去），， ∴，， ∴，； 情况二：当时，过点作轴于点，， ∵，， ∴， 解得，， 当时， ，，， ∴ 当时，，， ∴， ∴，， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $