精品解析：山东省济宁市邹城市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023—2024年第二学期期中检测数学试题 （考试时间120分钟，共100分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故不本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故不本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故不本选项符合题意． 故选：A． 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1，， 【答案】A 【解析】 【分析】判断是否能构成直角三角形，需验证两个较小边的平方和是否等于最长边的平方．根据三角形的三边关系及勾股定理的逆定理逐一判断即可得答案． 【详解】解：A.1+2=3，不能构成三角形，故该选项符合题意， B.32+42=52，能构成直角三角形，故该选项不符合题意， C.52+122=132，能构成直角三角形，故该选项不符合题意， D.，能构成直角三角形，故该选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，注意题干要求找出不能构成直角三角形的选项． 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则依次判断即可． 本题主要考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.. 与不是同类二次根式，无法进行相加减，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项正确． 故选：D 5. 若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较小内角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补． 首先设平行四边形中两个内角分别为，由平行四边形的邻角互补，即可得，继而求得答案． 【详解】解：设平行四边形中两个内角分别为， 则， 解得：， ∴其中较小的内角是． 故选：C． 6. 估计的运算结果应在（　　） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了无理数的估算． 根据二次根式的乘法法则计算得到原式，然后根据无理数的估算进行判断． 【详解】解：原式， ， ， 故选：C． 7. 下列条件：①一组对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直；④对角线相等；⑤一组邻边相等；⑥一个角为直角，从中选取两个，能判定一个四边形为菱形的序号为（　　） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定方法，熟记图形的判定方法是解题的关键，本题“一组对边平行，一组对角相等”根据平行线的性质可以推出另一组对角相等，从而得到四边形是平行四边形，再利用平行四边形与矩形、菱形、正方形的特殊关系判定． 根据菱形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、①②有一组对边平行且相等，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误； B、①③有一组对边平行且相等，对角线互相垂直的四边形是菱形，故本选项正确； C、②④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项错误； D、②⑥对角线互相平分且一个角为直角的四边形是矩形，故本选项错误； 故选：B． 8. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 9. 如图，折叠矩形的一边，点D落在边上的点F处，已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，也考查了勾股定理，矩形的性质． 根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，在中，根据勾股定理得，然后解方程即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ，， ∵折叠矩形的一边，使点落在边的点处， ， 在中，， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴的长为． 故答案为：C． 10. 海伦–秦九韶公式告诉我们，若一个三角形三边长分别为a、b、c，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦–秦九韶公式计算的面积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代值计算即可． 【详解】解∶由题意得， 故选∶C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 如果，那么a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题的关键. 由题意可得，解不等式即可求出答案. 【详解】由题意得：， 解得：， 故答案为：. 12. 若，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了二次根式的意义和性质，化简二次根式，式子叫二次根式，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式有意义的条件可知，由此求得、的值，代入求值即可． 【详解】解：根据题意，得且，则， ∴． ∴． 故答案为：． 13. 若最简二次根式与可以合并，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了最简分式和同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得， 故答案为：2 14. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】直角坐标系中，某点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的确距离是它的横坐标的绝对值，到原点的距离为． 【详解】∵平面直角坐标系中M的坐标为（-5，12）， ∴==13， 即到原点的距离为13． 故答案为13． 【点睛】此题考查两点间的距离公式，解题关键在于注意求点到原点的距离时要用到勾股定理． 15. 直角的一条边长为3，另一条边长为4，则第三条边的长为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，已知直角三角形的两边长分别为3和4，则有两种情况，一种是这两边都是直角边，则第三边是斜边；另一种是已知的两边一条是直角边，另一条是斜边，则第三边是直角边，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当3和4都是直角边时，第三条边的长为； 当4为斜边，3为直角边时，第三条边的长为， ∴第三条边的长为5或 ． 故选：5或 ． 16. 如图，在菱形中，，点E、F分别在边上，且，若菱形边长为2，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，通过证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 连接，由菱形的性质可证明，得出，作，即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ， 又∵， ∴和都是等边三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 作交于点， 在中，， ， ∴， ， ， 则四边形的面积为， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，折痕分别交、于点E、F，连接，点D的对应点为点．若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，轴对称的性质，二次根式的化简等知识点，利用轴对称的性质得到边与角的相等是解本题的关键． 如图，过点E作于点H，证明，，又由折叠性质，知，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解x，在中，由勾股定理可得答案． 【详解】过点E作于点H 四边形是矩形， 四边形是矩形， ，， 又由折叠性质，知，设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， 则，， 由折叠性质，知 又， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 18. 如图，在矩形中，边长，边长，对角线的垂直平分线分别与相交于点和相交于点O，动点分别从两点出发，分别绕和运动，点P的速度为，路径为．点Q的速度为，路径为两个动点返回起点后均停止运动．若点P和点Q同时出发，当四边形为平行四边形时，所用时间为______s． 【答案】 【解析】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质，平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，需要进行分类讨论，画出图形，运用平行四边形的性质才能得出结果． 证明，得出，再根据，证明四边形是菱形．设菱形的边长，则．在中，由勾股定理，算出，即得到，由作图可以知道，点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上，也不可能构成平行四边形．只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形．即可确定当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，，由此列方程即可； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵垂直平分， ∴． 在和中， ， ， ∴． ， ∴四边形是菱形． 设菱形的边长，则． 在中，， 由勾股定理，得， 解得． ， 由作图可以知道，点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上，也不可能构成平行四边形． ∴只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形． 当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． ∵点的速度为，点的速度为，运动时间为， ， ， 解得． ∴以四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键；先计算二次根式的乘除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处． （1）求B、C间的距离； （2）这辆汽车超速了吗?请说明理由． 【答案】（1）B、C间的距离为 （2）这辆汽车未超速，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理代入数据即可求得答案． （2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可． 【小问1详解】 解：在中，由，，且为斜边， 根据勾股定理可得． 答：，间的距离为． 【小问2详解】 解：这辆小汽车没有超速，理由如下： ， 而， ， ∴这辆小汽车没有超速． 22. 如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A、B、C为格点． （1）求证：是直角； （2）仅用无刻度直尺作的边上的中线，并求面积和周长（保留作图痕迹）． 【答案】（1）证明见解析 （2）作图见详解，面积为1，周长为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——应用与设计作图、勾股定理及其逆定理，矩形的性质，直角三角形的性质． （1）分别求出，，，再利用勾股定理的逆定理，即可得到结论； （2）根据矩形的性质，作图，再根据三角形的面积公式，直角三角形斜边上的中线的性质，即可求解 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，即是直角； 【小问2详解】 解：如图： 是的边上的中线， 的面积=的面积， 的周长=． 23. [材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 24. 如图1，已知四边形，连接和，点E、F、G、H分别是、、、的中点，连接、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判定四边形的形状； （3）如图2，在（2）的条件下，若，求证：． 【答案】（1）见详解 （2）是矩形 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，再根据一组对边平行且相等四边形是平行四边形求证； （2）根据平行线的性质定理得到，，由，得到，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形证明； （3）分别延长和，交于M、N，可证明，则，同理可证，由四边形是矩形，得，故，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：同（1）可证， ， ， ∵， ， ， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【小问3详解】 证明：分别延长和，交于M、N， ∵， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∵E、G为、中点， ∴ ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024年第二学期期中检测数学试题 （考试时间120分钟，共100分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，12，13 D. 1，， 3. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较小内角的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 估计的运算结果应在（　　） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 7. 下列条件：①一组对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直；④对角线相等；⑤一组邻边相等；⑥一个角为直角，从中选取两个，能判定一个四边形为菱形的序号为（　　） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②⑥ 8. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，折叠矩形的一边，点D落在边上的点F处，已知，则（　　） A. B. C. D. 10. 海伦–秦九韶公式告诉我们，若一个三角形三边长分别为a、b、c，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦–秦九韶公式计算的面积为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 如果，那么a的取值范围是_______ 12. 若，则=______． 13. 若最简二次根式与可以合并，则_______． 14. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______． 15. 直角的一条边长为3，另一条边长为4，则第三条边的长为______． 16. 如图，在菱形中，，点E、F分别在边上，且，若菱形边长为2，则四边形的面积为______． 17. 如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，折痕分别交、于点E、F，连接，点D的对应点为点．若，，则的长为_______． 18. 如图，在矩形中，边长，边长，对角线的垂直平分线分别与相交于点和相交于点O，动点分别从两点出发，分别绕和运动，点P的速度为，路径为．点Q的速度为，路径为两个动点返回起点后均停止运动．若点P和点Q同时出发，当四边形为平行四边形时，所用时间为______s． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分） 19. 计算： 20. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 21. 如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处． （1）求B、C间的距离； （2）这辆汽车超速了吗?请说明理由． 22. 如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A、B、C为格点． （1）求证：是直角； （2）仅用无刻度直尺作的边上的中线，并求面积和周长（保留作图痕迹）． 23. [材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 24. 如图1，已知四边形，连接和，点E、F、G、H分别是、、、的中点，连接、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判定四边形的形状； （3）如图2，在（2）的条件下，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $