精品解析：浙江省金华市义乌市佛堂苏溪后宅三校联考2023-2024学年八年级下学期数学期中试题

2024年上学期八年级期中作业检测数学卷 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 卡西尼卵形线 C. 赵爽弦图 D. 费马螺线 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据2，2，2，3，4，8，12，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 6. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与相交 7. 如果多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的两对角线相交于点，，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 将张宽为的小长方形如图摆放在平行四边形中，则平行四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 四个正方形如图所示放置，若要求出四边形的面积则需要知道下列选项中哪个面积（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 当时，二次根式的值是______． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________ 13. 在中，若，则的度数为__________． 14. 方差是刻画数据波动程度的量对于一组数据，，，，可用如下算式计算方差：，则这组数据的平均数是______ 15. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段交于点F，若，则的度数为_________． 16. 如图，△ABC中，∠A=60° ，，点D，E分别在边AB，AC上，且，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为________． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列一元二次方程． （1） （2） 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）． （1）在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； （2）在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 20. 如图，在中，过中点的直线分别交，的延长线于点，． （1）求证：； （2）连接，若，，的周长为，求的周长． 21. 为了弘扬中国传统文化，某校举行了“经典诵读”比赛，本次比赛结果由评委评分和学生代表评分两个部分组成，评委评分和学生代表评分分别以平均数计分，小颖同学各项得分如表所示： 评委 评委 评委 评委 学生代表 得分 （1）求学生代表给小颖评分的众数和中位数． （2）根据竞选规则，将评委评分和学生代表评分的平均分按的比例计算成绩，求小颖的最后得分． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题：（2）已知，则　　； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，试求出k的值． 拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值． 24. 如图1，在直角坐标系中，线段可以绕原点O逆时针旋转，已知： ，点M，N在x轴上，，分别是，的平分线，于点A，于点C． （1）求证：四边形是矩形． （2）当时，求四边形的周长． （3）过点A作轴于点Q，如图2，当在第一、二象限内旋转，且存在时，求线段的长． （4）如图3，若，直角坐标系内有一点P，使点P，B，O，C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上学期八年级期中作业检测数学卷 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，未知数的次数是1次，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 卡西尼卵形线 C. 赵爽弦图 D. 费马螺线 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式的求解，熟知二次根式的被开方数非负是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，解答即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：B． 4. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质与化简，负整数指数幂分别判断即可求出答案． 【详解】解：．，故此选项正确，符合题意； B.，故此选项错误，不符合题意； C.，故此选项错误，不符合题意； D.，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简、负整数指数幂，正确掌握二次根式乘法运算法则是解题关键． 5. 一组数据2，2，2，3，4，8，12，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】依据众数、平均数、中位数、方差的定义逐一进行判断，即可得到结论． 【详解】解：A、原来数据的众数是2，加入一个整数后众数仍为2，符合题意，选项正确； B、原来数据的平均数是，加入一个整数后，平均数一定变化，不符合题意，选项错误； C、原来数据的中位数是3，加入一个整数后，如果，中位数一定变化，不符合题意，选项错误； D、原来数据的方差加入一个整数后的方差一定发生了变化，不符合题意，选项错误， 故选A． 【点睛】本题考查了众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题关键． 6. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与相交 【答案】D 【解析】 【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可 【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时， 首先应假设与不平行，即与相交． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 7. 如果多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和是，外角的个数与多边形的边数之间的关系，是解题关键． 8. 如图，矩形的两对角线相交于点，，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，根据，可得是等边三角形，，在中，根据含角的直角三角形的性质可得的值，根据矩形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵对角线相交于点，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合等知识，掌握以上知识是解题的关键． 9. 将张宽为的小长方形如图摆放在平行四边形中，则平行四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作AF⊥BC于F，过点C作CE⊥AD于E，证明四边形是矩形，由图形可知小长方形的长为3，△AGH是直角边为1的等腰直角三角形，求出AB即可得出答案． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，ADBC， ，， 四边形是矩形， ， ， 由图形可知：小长方形的长为3，△AGH是直角边为1的等腰直角三角形， ∴，与都是直角边为的等腰直角三角形， ∴， ， 平行四边形的周长为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键． 10. 四个正方形如图所示放置，若要求出四边形的面积则需要知道下列选项中哪个面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接，可证，，再根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴M、F、J三点共线， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴求出四边形的面积则需要知道的面积， 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求规则图形的面积的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 当时，二次根式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，把代入计算，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：2． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________ 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 13. 在中，若，则的度数为__________． 【答案】80°． 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠C=∠A=80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 14. 方差是刻画数据波动程度的量对于一组数据，，，，可用如下算式计算方差：，则这组数据的平均数是______ 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质．根据方差公式的定义即可求解． 【详解】解：根据方差公式与对比可知：， 故答案为：5． 15. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段交于点F，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定．如图，证明，得到，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，△ABC中，∠A=60° ，，点D，E分别在边AB，AC上，且，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作CH// AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J，首先证明CH=EC，∠ECH=120°，勾股定理求出EJ，用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J， ∵BD∥CH， ∴∠B=∠NCH， ∵BN=CN，∠DNB=∠HNC， ∴△DNB≌△HNC（ASA）， ∴BD=CH，DN=NH， ∵BD=EC=2， ∴EC=CH=2， ∵∠A+∠ACH=180°， ∠A=60° ， ∴∠ECH=120° ， ∴∠HEC=∠EHC=30°， ∵CJ⊥EH， ∴∠EJC=90°，EJ=HJ， ∴CJ=EC=1， ∴EJ=， ∴EH=2EJ， ∵点M是DE的中点，点N是DH的中点， ∴EH=2MN， ∴MN=EJ=， 故答案为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减运算可进行求解； （2）根据二次根式的混合运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 18. 解下列一元二次方程． （1） （2） 【答案】（1），， （2），， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可得到答案； （2）移项，利用因式分解法求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：因式分解可得， ， ∴或， 解得：，， 故方程的解为： ，； 【小问2详解】 解：移项得， ， 因式分解可得， ， ∴，， 解得：，； 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解方程． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）． （1）在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； （2）在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】（1） 如图中，四边形即为所求； （2） 如图中，四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的定义，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造等腰直角三角形，可得角，利用数形结合的思想画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 20. 如图，在中，过中点的直线分别交，的延长线于点，． （1）求证：； （2）连接，若，，的周长为，求的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ； （2）24 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）依据平行四边形的性质，即可得出≌，依据全等三角形的性质，可得，即可得到； （2）依据垂直平分，即可得出，再根据的周长为，即可得到，则，进而得到的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ，， 垂直平分， ， 的周长为， ，即， ， 的周长为． 21. 为了弘扬中国传统文化，某校举行了“经典诵读”比赛，本次比赛结果由评委评分和学生代表评分两个部分组成，评委评分和学生代表评分分别以平均数计分，小颖同学各项得分如表所示： 评委 评委 评委 评委 学生代表 得分 （1）求学生代表给小颖评分的众数和中位数． （2）根据竞选规则，将评委评分和学生代表评分的平均分按的比例计算成绩，求小颖的最后得分． 【答案】（1）；（2）9.34分 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义解决问题即可； （2）先求出3个评委的平均评分和6个学生代表的平均评分，然后利用加权平均数公式计算即可． 【详解】解：（1）学生代表评分中9.2出现了3次，出现次数最多，所以众数为9.2； 将学生代表评分由小到大排列为：9.0，9.2，9.2，9.2，9.3，9.3， 所以中位数为9.2； （2）评委评分为： （分） 学生评分为：(分) 小颖得分为：（分）． 【点睛】本题考查众数，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 【答案】任务一：15600 任务二：； 任务三：100 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． 任务1：根据题意“当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元”列出算式即可求解； 任务2：设镇流器补进件，根据题意列出代数式即可求解； 任务3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元， 答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元； 任务2：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为（元）， 补进灯管的总价为：（元）， 故答案为：；． 任务3：依题意，， 解得， ， ， 答：补进镇流器100件． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题：（2）已知，则　　； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，试求出k的值． 拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）9；（4）最大值6 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）把变形为，得出，，然后进行求解即可； （2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （3）由得出，根据，是整数，得出，也是整数，求出的最小值为0，的最小值为1，根据S的最小值为2，得出，求出k的值即可； （4）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； （3） ， ，是整数， ，也是整数， ∴的最小值为0，的最小值为1， ∵S的最小值为2， ∴， 解得：； （4）∵， ，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 24. 如图1，在直角坐标系中，线段可以绕原点O逆时针旋转，已知： ，点M，N在x轴上，，分别是，的平分线，于点A，于点C． （1）求证：四边形是矩形． （2）当时，求四边形的周长． （3）过点A作轴于点Q，如图2，当在第一、二象限内旋转，且存在时，求线段的长． （4）如图3，若，直角坐标系内有一点P，使点P，B，O，C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 证明∶∵，分别是，的平分线， ∴，， 又， ∴， 即， 又，， ∴四边形是矩形； （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）利用角平分线定义和平角定义求出，然后利用矩形的判定即可得证； （2）判定是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，证明四边形是正方形，利用正方形的性质求解即可； （3）先根据勾股定理求出，取中点G，连接，过B作轴于H，证明是等边三角形，得出，利用含的直角三角形的性质求出，，利用勾股定理求出，即可； （4）过B作轴于D，过C作轴于E，在上取点G，使，先求出B的坐标，设，利用含的直角三角形的性质，勾股定理，可求出，，，同理设，则，根据勾股定理得出，求出，利用勾股定理得出，则可求出，即可求出点C的坐标，然后分①以，为对角线时，②以，为对角线时，③以，为对角线时，三种情况讨论，利用中点坐标公式构建方程组求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴正方形的周长为； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， 解得， 取中点G，连接，过B作轴于H， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 同理， ∴，， ∴ 【小问4详解】 解：过B作轴于D，过C作轴于E，在上取点G，使 ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 同理设，则， ∵， ∴， 化简得， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设， ①以，为对角线时， ， 解得， ∴； ②以，为对角线时， ， 解得， ∴； ③以，为对角线时， ， 解得， ∴； 综上，P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，坐标与图形等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造特殊三角形求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $