陕西省西安市第一中学2023-2024学年高三考前模拟考试文科数学试题

试卷类型：老教材版 2023—2024学年高三考前模拟考试 文科数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则 A． B． C． D． 2.若复数，则 A． B． C．5 D．10 3.已知直线与直线垂直，则 A． B． C． D． 4.若，，则化简的结果是 A． B． C． D． 5.若从小到大排列的样本数据3，5，7，8，9，x的平均数与极差相等，则 A．10 B．11 C．12 D．13 6.若x，y满足约束条件，则的取值范围是 A． B． C． D． 7.已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为 A． B． C． D． 8.已知函数（）的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为 A． B． C． D． 9.小李到长途客运站准备乘坐客车去某地，有甲、乙两个公司的客车可以选择，已知甲公司的下一趟客车将在15分钟内的某个时刻发车，乙公司的下一趟客车将在20分钟内的某个时刻发车，则他等车时间不超过8分钟的概率为 A． B． C． D． 10.若函数在区间内有两个零点，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 11.如图所示，在六面体ABEDC中，，，，则 A．1 B．3 C． D．4 12.已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，P是C右支上一点，直线，，与直线的交点分别为M，N，记，△PMN的外接圆半径分别为，，则的最大值为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知椭圆C：（）的焦距为，则C的离心率为 . 14.已知向量，，，则的最小值为 . 15.已知函数的图象关于y轴对称但不关于坐标原点对称，则实数 . 16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则△ABC面积的最大值为 . 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分） 某高科技公司组织大型招聘会，全部应聘人员的笔试成绩统计如图所示： （Ⅰ）求m的值，并估计全部应聘人员笔试成绩的中位数； （Ⅱ）该公司2020—2024年每年招聘的新员工人数逐年增加，且这五年招聘的新员工总人数为500，若用这五年的数据求出每年招聘的新员工人数y关于年份代码x（x＝年份－2019）的线性回归方程为，请根据此回归模型预测该公司2026年招聘的新员工人数是否会超过250. 18.（12分） 记为等差数列的前n项和，已知，. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和. 19.（12分） 已知四棱锥S-ABCD如图所示，其中四边形ABCD为梯形，△SAB为等边三角形，且平面SAB，平面SAB，M为棱SC的中点，. （Ⅰ）求证：平面SAB； （Ⅱ）求点M到平面SAD的距离. 20.（12分） 已知为抛物线C：（）上的一点，直线交C于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之积为2. （Ⅰ）求C的准线方程； （Ⅱ）求的最小值. 21.（12分） 已知函数. （Ⅰ）若，求的极值； （Ⅱ）若，不相等的实数m，n满足，求证：. （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：不等式选讲]（10分） 已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （Ⅰ）求l的极坐标方程以及C的参数方程； （Ⅱ）已知直线m的倾斜角为锐角，m与l交于点M，m与C交于O，N两点，若，求. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数. （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）记的最小值为m，若a，b，c为正数且，求证：. 2023—2024学年高三考前模拟考试 文科数学（老教材版）答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1.答案 B 命题意图 本题考查集合的运算. 解析 . 2.答案 C 命题意图 本题考查复数的模. 解析 . 3.答案 D 命题意图 本题考查两直线的位置关系. 解析 直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为，即且，，所以，故选D． 4.答案 B 命题意图 本题考查指数与对数的运算. 解析 由，，可知选B． 5.答案 A 命题意图 本题考查平均数与极差的概念. 解析 平均数，极差为，所以，解得. 6.答案 C 命题意图 本题考查简单的线性规划问题. 解析 如图，阴影部分为可行域，当直线经过坐标原点时，，当直线经过点时，，所以z的取值范围是. 7.答案 D 命题意图 本题考查圆柱和球的结构特征及体积的计算. 解析 球的表面积为，可得其半径为，圆柱的底面半径为，在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为. 8.答案 D 命题意图 本题考查三角函数的图象与性质. 解析 ，由题可知，所以.令（），得（），所以的图象的对称中心为（），所以点符合. 9.答案 C 命题意图 本题考查几何概型的概率计算. 解析 设小李等待甲公司客车发车的时间为x分钟，等待乙公司客车发车的时间为y分钟.如图所示，试验的全部结果所构成的区域为，面积为，事件“小李等车时间不超过8分钟”所构成的区域为，即图中的阴影部分，面积为，故所求概率为. 10.答案 A 命题意图 本题考查零点存在定理的应用. 解析 因为，所以当或时，单调递增，当时，单调递减，根据题意可得，解得. 11.答案 B 命题意图 本题考查空间中线段长度的计算. 解析 根据棱长特征分析，可以将该六面体置于长方体（以CA，CB，CD为共顶点的棱）中，则CE为该长方体的体对角线，所以. 12.答案 A 命题意图 本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系. 解析 如图，，，直线与x轴交于点T，设，因为P在C的右支上，所以，记，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，且，，于是，即，在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以.在三角形中，由正弦定理，在三角形PMN中，由正弦定理得，所以，当且仅当，时取等号. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.答案 命题意图 本题考查椭圆的简单几何性质. 解析 因为焦距，所以，所以，离心率为. 14.答案 命题意图 本题考查平面向量的坐标运算. 解析 ，所以. 15.答案 2 命题意图 本题考查函数的图象和性质. 解析 由题意知为偶函数，故为奇函数，则，，得（舍去）. 16.答案 命题意图 本题考查正弦定理和余弦定理的应用. 解析 因为，所以，由正弦定理可得，即，，因为，所以，故.由余弦定理得，所以，即，当且仅当时取等号，由，得，所以. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.命题意图 本题考查样本的数字特征、线性回归方程. 解析 （Ⅰ）依题意，， 解得. 前两组的频率之和为0.26，前三组的频率之和为0.56，所以中位数在区间内， 估计中位数为. （Ⅱ）依题意，， 则，解得，故线性回归方程为. 故当时，， 故预测该公司2026年招聘的新员工人数不超过250. 18.命题意图 本题考查等差数列的性质以及错位相减法. 解析 （Ⅰ）设的公差为d，则，， 解得，. 故. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 所以，① 则，② ①－②，得 ， 所以. 19.命题意图 本题考查空间线面的位置关系、空间距离的计算. 解析 （Ⅰ）如图，取棱SB的中点H，连接MH，AH. 因为平面SAB，平面SAB， 故， 由点M为棱SC的中点，可知且. 又且， 所以，， 故四边形DAHM为平行四边形，从而， 因为平面SAB，平面SAB， 故平面SAB． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， 所以平面SAD，则点M到平面SAD的距离与点H到平面SAD的距离相等. 因为平面SAB，所以平面平面SAB， 作于点G，则平面SAD， 在等边三角形SAB中，计算可得，所以点B到平面SAD的距离为， 又H是SB的中点，所以点H到平面SAD的距离为， 即点M到平面SAD的距离为. 20.命题意图 本题考查抛物线的方程与性质，抛物线与直线的位置关系. 解析 （Ⅰ）因为点在C：（）上，所以， 解得. 所以C的准线方程为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知C：，设，. ，同理可得， 所以，即. 联立，得， 由得.（*） ，， 所以， 整理得. 所以， 当，时，等号成立，此时，满足（*）式， 故的最小值为. 21.命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质. 解析 （Ⅰ）依题意，，则. 令，解得， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值为，无极大值. （Ⅱ）令，则， 因为，， 所以， 所以在上单调递增. ，即， 因为，所以m，， 要证，即证，只需证， 即，即. 令函数， 则， 令，则， 所以为上的增函数， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意，都有，从而原命题得证. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的互化以及应用. 解析 （Ⅰ）依题意，直线l：，故其极坐标方程为. 曲线C的极坐标方程可化为，故其直角坐标方程为，即， 故曲线C的参数方程为（为参数）. （Ⅱ）由题可知直线m的极坐标方程为（，）， 则，， 故， 解得，故. 23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法、柯西不等式. 解析 （Ⅰ）依题意， 故或或， 解得或. 所以不等式的解集为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知的最小值. 由柯西不等式可得， 当且仅当时等号成立， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $