特训06 期末解答压轴题（四大模块，浙江期末归纳）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训06 期末解答压轴题（四大模块，浙江期末归纳） 目录： 模块1：整式的乘除与因式分解 模块2：二元一次方程组、分式及其实际应用 模块3：表格类的情境探索实际应用题 模块4：平行线综合（共13题） 模块1：整式的乘除与因式分解 1．（22--23七年级下·浙江宁波·期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形. （1）若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 . （2）请利用（1）中的等式解答下列问题： ①若三个实数满足，，求的值. ②若三个实数满足，，求的值. 2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．    (1)观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）； (2)将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ． 记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值； 若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值． 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，，所以13是“完美数”，再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是______； 判断：45______（请填写“是”或“不是”）“完美数”； (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)如果数m，n都是“完美数”，，试说明也是“完美数”． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：①当时，______；②若，则______； （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】 （3）甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校的研学基地参加研学．甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进；乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为，． ①试用含，，的代数式分别表示和，则______，______． ②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由． 模块2：二元一次方程组、分式及其实际应用 6．（浙江省杭州市滨江区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知，（a，b都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 7．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的传承数． (1)若，，求a，b的传承数； (2)若，，且，求a，b的“传承数”； (3)若，，且a，b的传承数c是一个整数，请直接写出整数n的值． 8．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为 ，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程 的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 9．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时． ①求和b的值； ②求两车相遇时，离A地多少千米． 10．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品．这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元． (1)求A奖品和B奖品的单价分别是多少？ (2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品．采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件． ①甲商场的商品打几折？ ②若学校准备采购m件A奖品和n件B奖品，当m，n满足什么数量关系时，在甲、乙两个商场所花费用一样． 11．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）数学活动：认识算两次 把同一个量用两种不同的方法计算两次，进而建立等量关系解决问题，这种方法在数学上称为算两次．例如：在学习整式乘法过程中，我们用两种不同的方法计算如图1中最大的正方形面积验证了完全平方公式：． (1)如图2，将长为m，宽为n的四个大小、形状完全相同的小长方形按如图所示拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积可以得出等式______________． (2)如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体． ①剩余部分按如图所示继续切割为甲、乙、丙三个长方体，它们的体积可以用含x、y的整式分别表示为______________、______________、______________； ②利用①中的结果以及算两次的方法，因式分解： ③若，求的值． 模块3：表格类的情境探索实际应用题 12．（22-23七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材 图中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图是靠背与座垫的尺寸示意图．      素材 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背张和座垫张． 方法二：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张． 方法三：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作张学生椅，该工厂仓库现有张座垫和张靠背，还需要购买该型号板材多少张恰好全部用完？并给出一种裁切方案． 13．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 模块4：平行线综合（共13题） 14．（20-21七年级下·浙江绍兴·期末）如图，，一块三角板的顶点A在直线上，、分别交与点D、E．已知，，． (1)如图1，，求： ①的度数； ②当和的角平分线交于点I时，的度数． (2)如图2，点I在的角平分线上，连接，让，且请求此时的度数； (3)如图3，若，，求的度数． 15．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．    (1)如图1，若，，则　 　°，　 　°． (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 16．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．    (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 17．（22-23七年级下·浙江台州·期末）如图，有一张长方形纸条，，在线段，上分别取点G，H，将四边形沿直线折叠，点C，D的对应点为，，将四边形沿直线折叠，点A，B的对应点为，，设．    (1)若、在直线的上方，当且满足时，求的度数． (2)在（1）的条件下，猜想直线和的位置关系，并证明 (3)在点G，H运动的过程中，若，请直接用含有的式子表示的度数 18．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，直线PQ，一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（的对应点分别为）．设旋转时间为秒（）． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点分别为）．请直接写出当边时的值． 19．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 20．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图1，在四边形中，，平分交于点E，且．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，过C点作交延长线于点F，分别作，的平分线交于点G，交于点H． ①请问的大小是否保持不变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由． ②若，请直接写出的值． 21．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．      (1)求的度数． (2)点为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 22．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点A在边上，其中，，．    (1)求的度数； (2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒． ①当旋转至图（2）时，此时，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值． 23．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，，点E为射线上一点．      (1)如图1，若，，则______°； (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点H，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，，求的度数． 24．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，若点E，F在线段上，且满足，并且平分，求的度数；（用含m的代数式表示） (3)如图③，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 25．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上的一个动点． (1)如图，点在线段上，，，则______； (2)如果点运动到，之间时，试探究，，之间的关系，并说明理由； (3)若点在，两点的外侧运动时（点与点，不重合），，，之间的关系是否发生改变？请说明理由． 26．（【学科网转化】湖北省武汉市江岸区（洪山）联考2018-2019学年七年级下学期期末考试数学试题）如图1，已知，点、在直线上，点、在直线上，且于. （1）求证：； （2）如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； （3）如图3，为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 期末解答压轴题（四大模块，浙江期末归纳） 目录： 模块1：整式的乘除与因式分解 模块2：二元一次方程组、分式及其实际应用 模块3：表格类的情境探索实际应用题 模块4：平行线综合（共13题） 模块1：整式的乘除与因式分解 1．（22--23七年级下·浙江宁波·期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形. （1）若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 . （2）请利用（1）中的等式解答下列问题： ①若三个实数满足，，求的值. ②若三个实数满足，，求的值. 【答案】（1）；（2）①45；②－20 【分析】（1）根据大正方形的面积等于所有小正方形与矩形的面积和即可得解； （2）①利用（1）中等式可将（a+b+c）直接平方，然后代入式子的值求解即可； （3）②利用幂的乘方与同底数幂的乘除整理得到，然后将平方，由（1）公式整理即可得解. 【解析】解（1）； （2）①， 且， ； ②， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查整式混合运算，幂的混合运算，解此题的关键在于根据题图得到新等式，再利用新等式进行整理计算即可. 2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．    (1)观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）； (2)将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ． 记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值； 若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据长方形的对边相等可得，进而得到用含的代数式表示的式子； （2）①先根据平移的性质以及长方形的周长公式分别求出，，再代入，计算即可；②根据阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，列出关于的方程，再将（1）结论代入即可求解． 【解析】（1）解：由题可知：， ； （2）解：①阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为：， ， ； ②阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和， 将代入得：， ，即舍去， ． 【点睛】本题考查了列代数式，长方形的面积与周长公式，平移的性质，利用数形结合是解题的关键． 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，，所以13是“完美数”，再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是______； 判断：45______（请填写“是”或“不是”）“完美数”； (2)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)如果数m，n都是“完美数”，，试说明也是“完美数”． 【答案】(1)8（答案不唯一），是 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据“完美数”的定义即可作答； （2）将等式变形为，根据S是“完美数”，k为常数，即可得到，即可求解； （3）根据m、n “完美数”，设，（a，b，c，d都是整数），得到，再得到，则问题得证． 【解析】（1）解：∵， ∴8是完美数， ， ∴45是完美数， 故答案为：8（答案不唯一），是 （2）解：， ∴当时，即时，S是完美数； （3）证明：∵m，n都是“完美数”， 则设，（a，b，c，d都是整数）， ∴， ∴ ∴mn是完美数， ∵， ∴， ∴也是“完美数”． 【点睛】本题主要考查了新定义下的计算，理解新定义的含义并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 【答案】(1) (2)16 (3)，，9 【分析】（1）根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算即可； （3）把所给的多项式配方后根据非负数的性质进行解答． 【解析】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； （3） ，； ， 当，时， 即，时，取得最大值为9． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：①当时，______；②若，则______； （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】 （3）甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校的研学基地参加研学．甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进；乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为，． ①试用含，，的代数式分别表示和，则______，______． ②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）①，；②当时，甲、乙同时到达；当时，乙先到；当时，乙先到，理由见详解 【分析】（1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）①根据行程问题的数量关系即可求解；②根据“作差法”，整式的混合运算法则进行计算即可． 【解析】解：（1）①， ∵， ∴， ∴； ②， ∵， ∴，， ∴ ∴； （2）， 设， ∵，且， ∴恒小于零， ∴，即； 故答案为：（1）①；②；（2）． （3）路程为， ①甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进， ∴， 乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进， ∴，则， 故答案为：，； ②，， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，甲、乙同时到达；当时，乙先到；当时，乙先到． 【点睛】本题主要考查行程问题与整式的混合运算的综合，理解行程中的数量关系，掌握整式的混合运算的方法，“作差法”的计算与比较方法是解题的关键． 模块2：二元一次方程组、分式及其实际应用 6．（浙江省杭州市滨江区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知，（a，b都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)b=a或或 【分析】（1）根据，，可将变为，通分后利用完全平方公式进行运算即可； （2）由可得，两边同时去分母可得，运用完全平方公式的变形可得结论； （3）将，，代入可得，根据为正整数可得，之间的关系式． 【解析】（1）解：． ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解： ， 是正整数，，都是正数， 或或， 或或， 或或． 【点睛】本题考查运用完全平方公式进行运算，以及运用完全平方公式的变形进行运算，能够熟练掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键． 7．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的传承数． (1)若，，求a，b的传承数； (2)若，，且，求a，b的“传承数”； (3)若，，且a，b的传承数c是一个整数，请直接写出整数n的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或2或-2或4 【分析】（1）利用题中的新定义求出a，b的传承数即可； （2）利用题中的新定义求出a，b的传承数即可； （3）根据a与b表示出传承数，由c为整数确定出整数n的值即可． 【解析】（1）解：根据题意得：a，b的传承数， （2）∵ ∴a，b的传承数，， （3），， ∴a，b的传承数 ， ∵c为整数， ∴可以是-1或1或-3或3， 解得：或2或-2或4． 故答案为：或2或-2或4． 【点睛】此题考查了分式的加减法，以及整式的加减，准确理解题中所给的新定义是解本题的关键． 8．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）我们把形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为 ，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程 的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字方程”并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用“十字方程”并代入运算即可求解． 【解析】（1）解：可化为， ，． （2）解∶ 根据题意得：，， ． （3）解∶ 原方程变为， ，， ， ． 【点睛】本题考查完全平方公式，分式方程；理解“十字方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． 9．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时． ①求和b的值； ②求两车相遇时，离A地多少千米． 【答案】(1)a的值为，b的值为120 (2)①；②两车相遇时，离A地千米 【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出a、b的值； （2）①由乙车以两种速度行驶的时间相等，可得，即可求出a、b的值； ②求出两车相遇时所用的时间，再根据甲车所走的路程，即为相遇时离A的距离． 【解析】（1）由题意，得 ，解得：， 答：a的值为，b的值为120； （2）①由题意，得 ， 解得：； ②由题意，得甲前一半路程的时间为：小时， 乙一小时行驶的路程为：千米， ∴相遇时甲还没行驶到60千米处， ∴相遇时甲行驶的时间为：小时； ∴乙离A地距离，即为甲行驶的距离为：千米， 答：两车相遇时，离A地千米． 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键． 10．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品．这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元． (1)求A奖品和B奖品的单价分别是多少？ (2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品．采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件． ①甲商场的商品打几折？ ②若学校准备采购m件A奖品和n件B奖品，当m，n满足什么数量关系时，在甲、乙两个商场所花费用一样． 【答案】(1)A产品单价为25元，B产品单价为10元 (2)①甲商场的商品打8折；②当时，；当时， 【分析】（1）设A产品单价为x元，B产品单价为y元，根据“A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元”列出方程组求解即可； （2）①设甲商场的商品打a折，根据“在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件”列出方程求解即可；②根据题意进行分类讨论：当时，当时，根据两个商场的活动方式，列出等式即可． 【解析】（1）解：设A产品单价为x元，B产品单价为y元， ，解得：， 答：A产品单价为25元，B产品单价为10元． （2）解：①设甲商场的商品打a折， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：甲商场的商品打8折； ②当时， ， 整理得：； 当时， ， 整理得：； 综上：当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组是实际应用，分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意，找出等量关系，列出方程求解． 11．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）数学活动：认识算两次 把同一个量用两种不同的方法计算两次，进而建立等量关系解决问题，这种方法在数学上称为算两次．例如：在学习整式乘法过程中，我们用两种不同的方法计算如图1中最大的正方形面积验证了完全平方公式：． (1)如图2，将长为m，宽为n的四个大小、形状完全相同的小长方形按如图所示拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积可以得出等式______________． (2)如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体． ①剩余部分按如图所示继续切割为甲、乙、丙三个长方体，它们的体积可以用含x、y的整式分别表示为______________、______________、______________； ②利用①中的结果以及算两次的方法，因式分解： ③若，求的值． 【答案】(1) (2)①，，；②；③36． 【分析】（1）根据阴影部分的面积可由正方形公式计算，也可由大正方形的面积-四个长方形的面积计算，从而可得出等式； （2）①根据长方体的体积公式计算即可；②由该几何体的体积等于，又等于大正方体的体积-挖去的小正方体的体积，列出等式，再提取公因式即可；③由等式的基本性质可将变形为和．再由②结论可知，最后整体代入求值即可． 【解析】（1）由图可知大正方形的边长为(m+n)．阴影部分为一个小正方形，且边长为(m-n)． 方法一：直接利用正方形面积公式计算：， 方法二：利用大正方形的面积-四个长方形的面积：． ∴得出的等式为． 故答案为：； （2）①由图可知，甲的体积为：， 乙的体积为：， 丙的体积为：． 故答案为：，，； ②由①可知该几何体的体积为：． ∵该几何体的体积还可用大正方体的体积-挖去的小正方体的体积计算，即， ∴． ③，且． 由②可得：． ∵，且， ∴等号两边可同时除x，即得出， 整理，得． 将，等号两边平方，得：， 整理，得：，即． 将，代入，得：． 故． 【点睛】本题考查因式分解的应用．正确利用两种不同方法计算所求面积和体积，列出等式是解题关键． 模块3：表格类的情境探索实际应用题 12．（22-23七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材 图中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图是靠背与座垫的尺寸示意图．      素材 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背张和座垫张． 方法二：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张． 方法三：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作张学生椅，该工厂仓库现有张座垫和张靠背，还需要购买该型号板材多少张恰好全部用完？并给出一种裁切方案． 【答案】任务一：，；，；任务二：该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅；任务三：需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张． 【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成张学生椅； 任务三：设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，可得：，解方程组可得答案． 【解析】解：任务一： 设一张该板材裁切靠背张，坐垫张， 根据题意得：， ， ，为非负整数， 或或， 方法二：裁切靠背张和坐垫张； 方法三：裁切靠背张和坐垫张； 故答案为：，；，； 任务二： （张）， 该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅； 任务三： 设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 13．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： (1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ (2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． (3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【答案】(1)40个竖式无盖，80个横式无盖； (2)能，理由见解析 (3)240或245 【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【解析】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，由题意，得： ，解得：； 答：可做40个竖式无盖纸盒，80个横式无盖纸盒； （2）能；理由如下： ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：； ∴当制作竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为． （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：， ∵纸板的使用率为， ∴均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴丙种纸板的数量为张或张． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． 模块4：平行线综合（共13题） 14．（20-21七年级下·浙江绍兴·期末）如图，，一块三角板的顶点A在直线上，、分别交与点D、E．已知，，． (1)如图1，，求： ①的度数； ②当和的角平分线交于点I时，的度数． (2)如图2，点I在的角平分线上，连接，让，且请求此时的度数； (3)如图3，若，，求的度数． 【答案】(1)①；②； (2)50°； (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分的定义和三角形的外角性质，正确理解并应用角平分线的定义和n等分线的定义是解题的关键． （1）过点B作，得，由求；由角平分线的定义求和，记与直线交于点M，由的外角性质求． （2）设，利用（1）中思路用含有的式子表示角，根据的大小列出关于的方程，解方程求出的大小． （3）根据比例关系和（2）中思路表示出． 【解析】（1）解：①如图，过点B作，则， ∴，， ∴， ∵， ∴ ②如图1，与直线交于点M， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∵与的角平分线交于点I ∴，， ∵ ∴ ∵是的外角 ∴ （2）设， ∵， ∴ ∵点I在的角平分线上，连接，且， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ （3）设，， ∵，， ∴，， ∵ ∴ ∴ 15．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．    (1)如图1，若，，则　 　°，　 　°． (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)27，135 (2) (3)或或或或 【分析】（1）延长交于点G，设、交于点H，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （2）类比（1）的方法过程求解即可； （3）分为的三边分别与平行，分别画出图形求解即可． 【解析】（1）解：如图，延长交于点G，设、交于点H， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴，即， ∴， 故答案为：27，135；    （2）解：如图，延长交于点G，设、交于点H， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴；    （3）根据题意，需要分三种情况： 如图1，当时， ， ∴，    如图2，当时， ， ∴， 如图3，当时， ， ∴， 如图4，当时， ， ∴， 如图5，当时， ， ∴（舍）， 如图6，当时， ， ∴， 综上所述，或或或或．      【点睛】本题考查平行线的判定、三角形内角和定理及其推论、旋转的性质、四边形内角和，解题的关键是正确分类，找出相等关系列方程． 16．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．    (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 【答案】(1) (2)数量关系：，理由见解析 (3)① ，② 【分析】（1）过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （3）①过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； ②根据①的结论，利用角的关系解答即可． 【解析】（1）解：过点作，    ， ， ，， ， 故答案为：； （2）数量关系：， 证明：过点作，    ， ， ，， ． （3）①过点作，    ， ， ，， ． 又平分，平分， ， 由（2）可得 ②，理由如下： ：，，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答． 17．（22-23七年级下·浙江台州·期末）如图，有一张长方形纸条，，在线段，上分别取点G，H，将四边形沿直线折叠，点C，D的对应点为，，将四边形沿直线折叠，点A，B的对应点为，，设．    (1)若、在直线的上方，当且满足时，求的度数． (2)在（1）的条件下，猜想直线和的位置关系，并证明 (3)在点G，H运动的过程中，若，请直接用含有的式子表示的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析过程 (3) 或 【分析】（1）由折叠的性质可得：，，由平行线的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质可求，可求，即可得结论； （3）分两种情况讨论，由平行线的性质和折叠的性质可求解． 【解析】（1）解：由折叠得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 如图，过点F作交于点P，    ∴， ∵， ∴， 即． 又∵， ∴； （3）解：如图，当、在直线的上方时，    由折叠得：，， ∴． ∵， ∴， ∴； 如图，当、在直线的下方时，    由折叠得：， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， 综上所述： 或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 18．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，直线PQ，一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（的对应点分别为）．设旋转时间为秒（）． ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点分别为）．请直接写出当边时的值． 【答案】(1) (2)①秒；②秒或秒 【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题； （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题； ②分两种情形：当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题；当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 【解析】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图②中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边的值为． ②如图③中，当时，延长交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 综上，当边时，的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，学会用分类讨论的思想思考问题及利用参数构建方程是解题的关键． 19．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据和互补，，即可求解；②先求出，由平行线的性质可得，再结合①中结论可得的度数； （2）设，可得，，再结合即可求解． 【解析】（1）解：①和互补， ． ， ， ； ②由①得， ， ， 又， ， ． ， ， ； （2）解：， ． 设， ，， ， ， 又， ， ， ， 即m，n满足的等量关系为． 【点睛】本题考查平行线的性质，角的和差关系，互补角的关系等，解题的关键是掌握平行线的性质． 20．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图1，在四边形中，，平分交于点E，且．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，过C点作交延长线于点F，分别作，的平分线交于点G，交于点H． ①请问的大小是否保持不变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由． ②若，请直接写出的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①的大小保持不变；；② 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据，得出，根据平行线的性质得出，求出，即可证明结论； （2）①根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据求出结果即可； ②根据平行线的性质得出，设，则，根据，得出，求出，得出，，求出，，即可得出答案． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①的大小是否保持不变；；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，交平分线的定义，垂线的定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的判定和性质． 21．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．      (1)求的度数． (2)点为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②存在，或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，．则，根据即可求解； （2）①根据题意可得，根据平行线的性质可得，求得，即可得出结论； ②当点在点的左侧时．当点在点的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 【解析】（1）解： ， ， ， ． ．                        ， ． ．     ．                          （2）①．                                                               理由如下： ， ． ， ． ． ．                                                     ②存在点，使得． 下分两种情况： Ⅰ．如图，当点在点的左侧时． ， ． ， ． ， ， ．                          Ⅱ．如图，当点在点的右侧时． ， ． ， ． ， ， ．                            【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 22．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点A在边上，其中，，．    (1)求的度数； (2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒． ①当旋转至图（2）时，此时，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意，由三角形外角定理即可求解； （2）①当时，分两种情况，第一种当旋转角度在之间时，根据三角形外角定理得，再根据即可求解；第二种情况当旋转角度在时，此时再旋转； ②分三种情况讨论：第一种当时，a为或a为，第二种当时，a为或a为，，a为，根据角度转动速度分别求解t即可． 【解析】（1）解：，， ； （2）解：①如图，    ， ， 由（1）知，，， ，， ， 如图，与延长线交于点，    由第一种情况知，这种情况是在第一种情况的基础上再旋转， 三角板绕点A以每秒的速度按顺时针方向旋转， ， ； 解：②如图，当时，    ， ， ， ， a为或a为， （秒），（秒）． 如图，当时，    ， ， a为或a为， （秒），（秒）， ． 如图，当时， 此时a为 ∴， 综上所述， 【点睛】本题考查角的运动和角的运算及平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及性质和角度的运算是解题的关键． 23．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，，点E为射线上一点．      (1)如图1，若，，则______°； (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点H，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，，求的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据是的外角求解； （2）根据，可得，再根据是的外角可得；，即； （3）设，则，通过三角形内角和得到，由角平分线定义及得到，求出x的值再通过三角形内角和求． 【解析】（1）解：延长交于点H，    ， ， 是的外角， 故答案为：； （2）结论：． 证明：， ， 是的外角， ， ． （3）解：：， 设，则， ，， 又，， ， 平分， ， ， ， 即， 解得， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，外角性质的综合应用，解题关键是熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点． 24．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，若点E，F在线段上，且满足，并且平分，求的度数；（用含m的代数式表示） (3)如图③，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，进而推出，即可证明； （2）先由平行线的性质得到，再根据已知条件可证明； （3）证明，再由，可得． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． 25．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上的一个动点． (1)如图，点在线段上，，，则______； (2)如果点运动到，之间时，试探究，，之间的关系，并说明理由； (3)若点在，两点的外侧运动时（点与点，不重合），，，之间的关系是否发生改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)发生改变，理由见解析 【分析】（1）过点P作，根据平行公理得到，再根据平行线的性质得出，，从而求出； （2）当点在、之间运动时，首先过点作，由，可得，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：； （3）当点在、两点的外侧运动时，过点作，根据平行线的性质，即可求得，，之间的关系． 【解析】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图，点运动到、之间时，． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ； （3）如图②，当点在、两点的外侧运动，且在上方时，． 理由如下：过点作， ， ， ，， ， ， ， ； 如图③，当点在、两点的外侧运动，且在下方时，． 理由如下：过点作， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等与两直线平行，同位角相等，注意辅助线的作法． 26．（【学科网转化】湖北省武汉市江岸区（洪山）联考2018-2019学年七年级下学期期末考试数学试题）如图1，已知，点、在直线上，点、在直线上，且于. （1）求证：； （2）如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； （3）如图3，为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是__________. 【答案】（1）见解析；（2）225°；（3）或 【分析】(1) 过作EF∥a,由BC⊥AD可知，由平行可知，，从而可得=+= (2)作，，设，，由平行线性质和邻补角定义可得，，进而计算出即可解答， （3）分两种情况解答：I.∠NCD在∠BCD内部，II外部，仿照（2）解答即可. 【解析】（1）证明：过作, 　 ∴ 　 ∴ 　 ∴ 　 ∴ ∴ （2）解：作，， 设，， 由（1）知：，， ， ∴， ∴， 同理：， ∴ （3）结论：或， I.∠NCD在∠BCD内部时， 过I点作，过N点作，设∠IPN=∠BPN=x，=y， ∴∠BCD=3y. ∵a∥b， ∴ ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∴ II.在外部时,如图3（2）： 过I点作，过N点作，设∠IPN=∠BPN=x，=y， ∴∠BCD=y. ∵a∥b， ∴IG∥a∥ ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．此类题目过拐点作平行线是常用辅助线作法. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$