2024年新高考数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（C）06

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 8,已知函数f八x)=e'一(m一1)x一hm,若>0时，f)>ht.则m的取值范周为 数学（六】 A.(0.) 且(0.e) D.(e,十so 二，选择题：本愿共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 本试卷共4页，10题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 盟目要求。全部选对的得6分，部分遗对的得部分分，有选错的得0分。 注意事项： 0.下阁是间家统计局发布的2022年0月至2023年9月全国居民消费价格漆铁幅统计 1,答题算，先将自己的丝名，考号等填写在答题宁上，并将准考证号条形码粘贴在 阁.其中同比是与上年持期对比（如今年5月与上年月），侧重数据长期自势，环比 答题零上的指建位置 是与上月对比〔如今年5月与4月)，侧重数据想则变化，期 2,选择题的作答：这出每小题答常后，用2B每笔把答是卡上对应题日的答常株号 涂黑。写在试随寒草稿肤和答睡卡上的非答赠区城均无处。 3,填空恩和解答题的作答：用基宇笔是接写在答题于上对良的器题区域内。写在 议趋卷，草其城和答随令上的非答思区城均无效， 4,考试站来后，请得本以题卷和答题卡一并上交。 一，选择题：本题共8小晒，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 L.已知集合A=x<-1或x>7片，B=x|x-6<3影，则(aA)门 4 A.(=1.7 3.7] C.(-1,9] D(-3,7] 心世n月11星2月2C年2月3H4月5列6时3月k月9川 2.已知复数立=一1一4i,mz十征=一8十8（中a,6为实数），期b A.2 3 C.4 D.5 A.2022年9月至2023年9月同比毫失幅的极差为3.1% 3.索砂花盆有吸显透气排水性能，宜于花木生长，盆花相配，诗望怕 五.2022年9月至2023年9月环比涨跌幅的中位数为0 然，为盆规爱好者所向往。紫砂花盆造压丰富多形，色泽多样，因为 C.2022年9月至2023年9月同比素数隔的平均数低干1% 紫砂盆表里都不随轴，烧结强度坚司，质抱区性数密，有较微的吸 D.2022年9月至2023年9月同比沫贱幅的方差小于环比流肤辐的方差 水常，因此具备了额受的排水性，又保持养一定的透气性.如图所 示，某四方州形紫砂花盆可提为一个正四棱台，其上，下底面分别 10.已知两数八r)=amam一音}水m>0),则 是边长为16cam和10cn的正方形，侧棱长为9,3cm.则其容积为 入若直线y-5与f)图象的两个相邻交点同的距离为于，则w一8 (不计花然早度) A.2520cm 且2540cm C.2560em D.2580m 且当。一时.)图象的对称中心为x+兰0水E刀 4,现有长度分别为1州2m、3m的钢管各2根（质患均匀.相细相同，每根钢管附有不 同的编号)，现随机拍取3根（段设各钢管被抽取的可能性是相等的），再将轴取的这 C背w=3时.将)的湘象向左平移智个单位长度后得y=一n3r 3根钢管首尾相接焊成笔直的一根《焊接处长度无相失)，黑新早成的钢管长度为？m 的瓶率为 D,若：)在区间0，上单调遂增，则<≤ A品 & D号 1.已知箱网C号+学=1a>>0的上，下顶点分别为AA,左，右焦点分期为， 5,已知正到等比数列{4，的公比为y(9≠1)，其前w项积为T,:则0<4<1”是“数列 F:,点P是C上一动点，则 (T)单测逆或“的 A,P)的取值范围是[b,:] A.充要条件 从充分不必题条件 仁必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 玉若直线PAPA的斜率之积为一言，则- 6卫知面数八x)=。++则不等式/八3a一>八r十2)的解集为 C若存在点P,使得∠FPF=0,期C的离心率的取值范周是(0，号】 A(引 a(是) c(你) n(-是别 D若C的高心率为受，过点R且垂直于AF的直线与C交于M,N两点，期 7,已知直线y=2x十4与抛物线=4y交于A.B两点.且0·0币<一3（其中0为坐 标原点)，则a的取值范丽是 MN-16 A.(-1.3) 且《=4.3) C.(1,3》 D(=3,4》 数学（六1第1页（共4页） 衡水金卷·光章趋·信息难 数学（六）第2页（共4页1 g 三，填空题：本丽共3小题，每小原5分，共15分。 (1)求这100名学生每周阅读时同的平均数口（同一组中的数解用该组民可中点 2已知ee,受}n(e-》-受期1wm(x+e 值代表》 (2由顿岸分布直方图可以看出，孩校学生每耳的阅读时间X聚从正志分布N( 13。某圆维的侧展开图为翼心角为于的扇形，测该阔裤的表面积与其内切球的表面积 1.2),其中牡近製为样木平均数7，估计该校200的名学生中每周阅读时间在区间 6.8,10.4们内的人数，（结果保留整数） 之比为 (3》某书店计划根据每周的阅读时铜，对被抽取调在的学生胡定了两种不同的奖出 .已知数列，的脂为项和为S1=立，且针一2与·若不等式3十<S,+ 方案.（将顿率视为概率） 方案一：按每周的阅读时间划分为三规，T<7,五时.奖分0元的购书卡：7，运T 生芒对Y∈、相成立，期A的取值范围为。 <0.5时，奖幼100元的购书卡：I0.5时，奖奶150元的购书卡. 方案二：利用劫奖的方式纸得奖金，其中每周的侧读时间不低于9.5其有两次抽奖 四，解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或清算步豫。 机会，每周的阅读时间低于只，5时只有一次抽笑机会，每次抽奖的奖金及对应的假率如 15.〔本小圈满分13分) 下表所示： 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为d,,c,且bsC十cosB-2 asin A. 炭金0的期作卡00的购卡 1求A: 氧 0.6 0.4 (2)若=25，且△AC为锐角三角形，求：的取值雀罪， 小素是被御雀的其中一名孕生，试从数学调限的角度分析，小张选掉哪种奖奶方案 对他更有利？ 附：若2-N(nmd》,月P(wa运Z+a》一4,8827，P(-2aZ场a+2G》 0.0545.P(u-3g2≤r+3a)=0.0973. 16.(本小圈请分15分》 在如图1所示的平面儿何图形中，AD∥C',AB上AD,四边形ABEF为菱形，将四 边形ABEF沿AB折起，得到如图2所示的多面体，且平面ABEFL平面ABCD. 《目)证明：BF⊥平面ADE: (2)若AB=BC=。AD=2.∠ABE=60,点G满足C元=Ci(0≤A<1).平面 2 18.〔本逸津分17分》 AD呢与平面AG夹角的余弦慎为，求CG的长。】 已知点F一0)，F(4.0),P是图O:-y=4上任意一点，点S腾足F产 P线段SF,的中垂线与直线SF相交于点Q,记点Q的轨连为宙线C (1》求C的方程： (2)若直线x=4与C交于A,B两点（其中点A在第一象限），直线/与C交于M, N两点，M,N分别位于直线AB两制，且∠MAB一∠NAB,证明，l的斜率为定值. 图 17,(本小题满分15分) 某中学为了解全校学生的阅读情况，随机调查了100名学生的每周阅读时间x(单 位：小时)并绘制成如图所示的颗率分布直方周： 19,〔本小选满分17分) 0.33 已知函数r-2nr一2生，g)=十2 (1)当a=多时，求x的最大值： (2)当a0时，村论函数g(r)的零点个数 0.04 入名38功高制 数肇（六）第3页[共4页1 衡水金型”先享是·信息卷 数等（六）第4或I共4黄1 g信息卷C 数学（六） 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷C·数学（六）》 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 1.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ③ ④ ⑥ 档次 系数 集合的混合运算（涉 及补集)，其中一个 选择题 易 0.82 集合涉及解绝对值 不等式 2 选择题 5 由复数相等求参 易 0.75 与台体有关的数学 3 选择题 文化题或实际应用 / 分 0.68 问题 古典概型（涉及情 选择题 中 0.65 境) 等比数列与充要性 5 选择题 中 0.60 的综合 利用函数的单调性 6 选择题 5 中 0.50 和奇偶性解不等式 与抛物线有关的参 选择题 5 数取值问题，不涉及 难 0.28 最值 同构法的应用（涉及 选择题 导数) 0.25 9 选择题 6 折线统计图 易 0.72 正切函数的图象或 10 选择题 6 中 0.35 性质的应用 椭圆的定义与性质 11 选择题 6 0.25 的综合 12 填空题 诱导公式的应用 0.85 球与几何体的相切 13 填空题 5 中 0.50 问题 等比数列的综合应 14 填空题 5 难 0.28 用，错位相减法求和 信息卷C 数学（六） 利用正、余弦定理解 15 解答题 13 三角形，求三角形边 L 中 0.60 长的取值范围 折叠问题，证明线面 16 解答題 15 垂直，第2问由平面 中 0.50 与平面的夹角求参 以统计图表为载体， 17 涉及正态分布，利用 解答题 15 √ 中 0.40 期望或方差选择最 优方案 18 双曲线的轨迹问题， 解答题 17 0.28 定值问题 难 19 解答题 分式型函数，讨论函 17 难 0.15 数的最值，零点问题 ·2· 信息卷C 数学（六） 参考答案及解析 数学（六） 一、选择题 m.x+ln(m.r)=em+ln(m.r),令g(x）)=e+x(r> 1.B【解析】因为A=《xx<一1或x>71,所以CRA 0),即g(x)>g(ln(m.r).所以g'(x)=e+1>0,因 ={x-1≤x≤7}，由1x-61<3,得3<x<9,所以 为函数(x)在(0，十o∞)上单调递增，可得x>ln(m.x)》 (CmA)∩B={x3<r≤7).故选B. =lnm十lnx,即nm<x一lnx恒成立，所以lnm< 2.D【解析】因为x=一1一4i,ax+:=一8+8i.所以 (x-lnx)n,令g(x)=x-lnx(x>0),则g'(x)=1 a(-1-4i)+b(-1+4i)=-8+8i,所以-a-b= 一8，一4a十4b=8,解得a=3,b=5.枚选D. -1=1,令g'(x)>0,则x>1:令g'x)<0,则 3.D【解析】由题意知该正四棱台的高h 0<x<1,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1， √(9√3)2-(32)=15，所以该正四棱台的体积为 十o∞)上单调递增，所以g(x)n=g(1)=1,所以lnm <1,即0<m<e.故选B. 3×(162+102+16×10)×15=2580cm2.故选D. 二、选择题 4.B【解析】由题意知从6根钢管中随机抽取3根，共 9,ABC【解析】2022年9月至2023年9月同比涨跌 有(C=20种结果，新焊成的钢管长度为7m的结果 幅的极差为2.8%一（一0.3%）=3.1%，故A正确： 2022年9月至2023年9月环比涨跌幅分别为一0.5， 有C心C+CC=4种结果，所以其概率为六-了：故 -0.3,-0.2,-0.2,-0.2,-0.1,0,0.1,0.2,0.2, 选B. 0.3.0.3,0.8,所以其中位数为0，故B正确：2022年9 6.C【解折1由题意知干=a,=a,g且22.当a 月至2023年9月同比涨跌幅的平均数为言×(2.8+ =8g=号时，数列(T)不单调递减：当数列T)单 2.1十1.6+1.8+2.1+1.0+0.7+0.1+0.2+0 0.3十0.1+0.0)=122<1，故C正确：由折线图可知 13 =a,=a41<1(n>2),所以0<a 调递诚时，T二 2022年9月至2023年9月同比涨跌幅的方差大于环 =a<1,当a1≥1时，0<g<≤1：当a1<1时，若 比涨跌幅的方差，故D错误.故选ABC 41 10,BD【解析】由f(x)的图象与直线y=5的两个相 g>1,则总会存在n=k,使a4=a1d1>1成立，与题 意不符，若0<<1，则a。<1恒成立，所以“0<g<1“ 邻交点间的距离为于，故最小正周期为无=不 是“数列{T.单调递减”的必要不充分条件.故选C 4,故A错误：当w=之时，fr)=am(分r一受）， 1 6.A【解折】因为)=。++所以-) 令空x-吾=受k∈乙，解得x=k+经，k∈乙，所 1 e-十（一x)+e+x+=f八x),所以f(x)为 以函数八)的对称中心的坐标为(kx十要，0)（∈ 偶函数，因为y=e,y=x十1在(0，十∞)上单调递 1 增，所以f代x)=e+x+在(0，十∞)上单调递减· D,故B正确：将f(x)=tan(3x-答)的图象向左 由f(3a-1)>f(a+2),得f(|3a-1|)>f(1a+21), 平移日个单位长度后得y=tan(3x十x)=tam3x,故 所以|3a-1|<|a十2|.整理得8a2-10a-3<0,解得 、1 <a<号.故选八 C错误：当x∈(0，)时，r-子∈（-于，石w 7.C【解析】设A(x,y),B(x),由y=2x十4与 等)，因为f(x)在区间(0，答)上单调递增，所以 x2=4y联立，得x2-8.r-4a=0,则xx=一4a,△ 64+16a>0,得a>-4,因为OA·Oi<-3,所以OA 。号<受，解得0<w<5,又因为吾≥吾，所以如 ,0亦=+平，号=-a十a<-3,解得1<a ≤6，所以0<a≤5，故D正确.故选BD. 11.ABD【解析】设P(x,y),则|PO1?=x2+y= <3.故选C. 8.B【解析】由e一(m-1)x-lnm>lnx,得e+x> (-芳)+y=y+,-cy≤b.所以 数学（六） 参考答案及解析 |PO的取值范围是[b,a],故A正确：由题意知 所以带=专·气面片所以 1 A0,)A0,-),所以k,·kr=.+ =Y-l=_Y-l 一 2}是以2为首项，号为公比的等比数列，所 u(-) a 3 以气=，即a,=08=1x(位）广+3x 故B正确：若存在点P,使得∠FPF=60°，则 (号）+5×（号）广+7×(3）广+…+(2m-3)· ∠FA,0>30(0为坐标原点)，则台≥sim30°= ()P+(2m-1)·(2,2s=1×(2)广+ 合所以号<<1，故C错误：因为后-号所以a 3×(号）+5×(2）广+…+(2m-3)·(安）广+ =2e,b=c,所以k5=一1，kn=1,所以直线 MN:y=x+h,与x2+2y2=2联立得3.xr2+4hr= 2-10…(合)，所以号s=支+(）广十 0,设M(y),N(为)，不妨设西=- 3= (号)广+(2)广+…+（号）-(2m-1)· 0,所以1MN=巨-=，故D正确故 选ABD )》”立：-四 三、填空题 1-2 12.0 2 【解析】由s如(。一受）=号，得cosa= -1·(g）”=是-(2)-(2m-)· 号，由ae(x,受）：得na=-号，则ana (分)”落理得5=3-(2+3)·(2)广.因为3 2,tan(a)=tan a=14 14 +8+岁，所以<即<(）令 2" 2 【解析】如图所示圆锥SO,设其底面圆心为O, 半径为r,内切球球心为O,内切球与母线SA切于 -，当1<<7时，6单调递孩6=： 2# 点B,则由题意可知誓×SA=2x×OA,即号 3 SA 3 当≥8时，h,}单调递增，所以A<=一128 所以s0=√（受r)-= %r,又因为△SO,B 四、解答题 15.解：(1)因为beos C+ccos B=2 asin A, △SAO,所以 0=A0. BO ，所以 2 由正弦定理可得sin Beos C+sin Ceos B=2sinA, V 2-BO (2分) 所以sin(B+C)=2sin'A, (4分) BO -5 3 ，则圆锥的表面积S=rX之十πr 因为A+B+C=T,即B+C=T一A, 所以sinA=2sinA, 哥矿，内切球的表面积为s=红（停）广=言。 因为snA≠0，所以sinA=之 所以=25 又0<A<r, S.8 所以A=吾或A=要 (6分) (2)由D知A=吾 又b=2V3, 因为△ABC为锐角三角形， 0 所以/cosB>0 cos C>0' ja2+c2->0 由余弦定理可得。+行一2>0 14.（-∞，-128） 【解析】因为 即/0+e2-12>0 a2-c2+12>0 (8分) ·2 信息卷C 数学（六） 又d=2+(25)2-2x2×co0s晋 =c2-6e+ 4③ 419 191 12, (10分) 2w3× 3(1-A) +3+1 1+A 以侣部得3<心 解得一名皮3队会去. 即c的取值范围为(3,4). (13分) 2w② 16.解：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF 所以CG= (15分) 31 ∩平面ABCD=AB,AB⊥AD, 17.解：(1)由频率分布直方图得 所以AD⊥平面ABEF, x=5×0.02+6×0.09+7×0.22+8×0.33+9× 因为BFC平面ABEF, 0.24十10×0.08+11×0.02=8. (3分) 所以AD⊥BF, (2)因为X服从正态分布V(8,1.2), 因为AE⊥BF,AD∩AE=A,AD,AEC平面ADE, 所以P(6.8≤X≤10.4) 所以BF⊥平面ADE (4分) =P(4-g≤X≤十2g》 (2)取AB的中点O,连接OE, 因为侧面ABEF为菱形， [Pa-KX≤+o)+Pg-2a≤X≤+2o] 所以OE⊥AB. = ×(0.6827+0.9545)=0.8186， 1 因为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面 ABCD=AB,OEC平面ABEF, 所以该校2000名学生中每周阅读时间在区间 所以OE⊥平面ABCD. (6分) [6.8,10.4]内的人数约为2000×0.8186≈1637. 过O作平面ABE的垂线，以O为原点，分别以该垂 (7分】 线，OA,OE所在直线为x,y,:轴建立如图所示的空 (3)若选择方案一， 间直角坐标系Ozy, 设小张可获得Y,元的购书卡， 则Y,的可能取值为50,100,150， 由频常分布直方图得其对应的概率分别为0.33， 0.57,0.1, 故E(Y,)=50×0.33+100×0.57+150×0.1=88.5. (9分) 若选择方案二· 设小张可获得Y2元的购书卡， 则Y,的可能取值为50.100,150,200. 易知P(T<9.5)=0.9,P(T≥9.5)=0.1. 故P(Y:=50)=0.9×0.6=0.54, P(Y:=100)=0.9×0.4+0.1×0.6×0.6=0.396. 则A(0.1,0),B(0,-1,0),C(2,-1.0),D(4,1.0), P(Y:=150)=2×0.1×0.6×0.4=0.048. F(0,2w3),E(0,0w3), P(Y,=200)=0.1×0.4×0.4=0.016. 所以BF=(0,33),Ci=(2,2,0),A正=(0，-1， 所以E(Y:)=50×0.54+100×0.396+150×0.048 +200×0.016=77. (13分) 3), (8分) 因为E(Y)<E(Y), 由(1)知平面ADE的一个法向量为B示=(0,3N3). 所以从数学期望的角度看，小张选择方案一更有利· 因为CG=1CD=(2x,2x,0),得G(2x+2,21-1,0), (15分) 所以AG=(2a+2,2x-2.0), (10分) 18.解：(1)当点Q在y轴左侧时，连接OP,QF, 设平面AEG的一个法向量为m=(x1”,). 则1oP=1SF,=2, 则由 m·4花0得+1=0 m·AE=0 所以|SFg|=4, (A+1)x,十(-1)=0 因为F,P-PS,PQ为线段SF,的垂直平分线， 令=1，得m= (1-03.1） (12分) 所以1QF,|=|SQ=1QFI-1SF|=|QF,-4, A十1 所以|QF|-1QF:|=4<|F:F:|=8. 因为平面ADE与平面AEG夹角的余弦值 同理，当点Q在y轴右侧时，QF:一|QF2=4< 为1四 F1F2|=8. 19 故点Q的轨迹是双曲线， 所以|cos(B求，m)= BF ml 因为2a=4,2c=8, BF.m 所以a=2,c=4,b=√16-4=2√3， 3 数学（六） 参考答案及解析 所以C的方程为号-盖-1 (6分) 当0<xr<a或r>时，gx)<0: (2)由题意知A(4,6), 因为∠MAB=∠NAB. 当a<r<号时g(x>0. 所以飞A十kNa=0. (8分) 由题知直线【斜率存在， 所以g(x)在(0，a)和（分，十∞）上单调递减，在 设M(x1,y),N(x,为)，直线l:y=kx+m (a,?)上单调递增， 由1e得#-》r+r十m+12 因为g(2)=2n2-2a-2<0. =0, 当x一0时，g(x)→十∞：当x→十∞时，g(x)一 则e≠士3，△=4m2一4(k2一3)(m+12)>0, -00 十x4= 2301=m+12 -2km 此时函数g(x)在(0，a)上有唯一零点，即函数g(x) k2-3” (10分) 有1个零点 (9分) 所以如十u=名月+名月-0， 当a=时g(x)≤0， 所以(k+m-6)(一4)十(k.x4十m-6)(x1一4) 所以g(x)的单调递减区间是(0.十∞). =0. 当x→0时，g(x)→+o∞：当x→十∞时，g(x)一 即2kx1x+(m一4k-6)(x1+x)-8(m-6)=0, 00, (13分) 此时函数g(x)在(0，十∞)上有唯一零点，(11分) 所以2（皆）+m-4-6(2智 8(n 当a>时， 6)=0. 整理得4k+(m+2)k+2m-12=0, 当0<r<或r>a时，g()<0: 所以(4k十m一6)(k+2)=0, 当4k十m一6=0时，直线y=(x一4)十6经过点A 当号<r<a时gr>0 不符合题意， 所以=一2，即直线1的斜率为定值一2. (17分) 所以g(x)在(0，号)和(a,十∞)上单调递减，在 1解：当a=受时，x)=-2加r-兰 (侵a)上单调递增， 则f)=+=兰. r2 因为g(a)=-2lna+2a -2a+」=-2na-2a 1 d 令f(x)>0,得0<x<2,令f(x)<0,得x>2, 一2. 所以f(.x)在(0,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调 设h(a)=-2na-2a 递减， 所以f(x）m.=f（2)=-2-2n2. (4分) 所以'(a)=- 2a2 2由题得g)=-2hr十总-2a, 所以M(0)在（分，十o∞）上单调递减， 则g（x)=子-吕十 2a+1 所以Ma)<A(合）=2h2-3<0. -22+(2u+1)x-4==(2r-10(x-@2(x>0), 又因为当x→0时，g(x)→十∞：当x→十6o时，g(x) 当a=0时， -一00， 当0<x<号时g(x)>0:当>之时g()<0, 所以函数g(x)在区间(0，号)上有唯一零点。 综上所述，当a=0时，函数g(x)没有零点： 所以g(x)在(0,2)上单调递增，在（号，+∞）上 当4>0时，函数g(x)有且仅有1个零点.(17分) 单调递减， 此时g(r)=g(号）=2n2+2a-2(2a+1D 21n2-2<0,函数g(x)没有零点。 (6分) 当0<a<2时， 4