2024年新高考数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（C）02

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 6.段-cos2'-sin22”, 2tan14 数学(二) C.r A.h B D.b 本试卷共1页,10题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 7.将1.2.3.4.5放入到A.B.C三个空集中构成三个非空的新集合A..B.C..若要求 注意事项: 不放人集合C中,其余的元家任意放置,则A.B.C的不回种数为 A.28 B.72 C.100 D. 184 1.答题前,先将自已的姓名,考号等填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在 8.已知双曲线C: 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答;选出每小题答案段,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 (c)+y一4(0与:轴的右交点为P,与y轴正半轴交于点Q,线段QF。与 涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 C交于点R,QF的中点为S.若F.R/PS,则C的离心率为 3.填空题和解答题的作答:用答字笔直接写在答题卡上对应的答题区战内,写在 c.1 B.2/2 A.2 这题卷,草稿纸和答题考上的非答题区域均无效。 D.1+2{ 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一 二、选择题:本题共3小题,每小题5分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 项是符合题目要的. 9.已知向量a-(r.一1).b一(一2,1),若a与b的夹角为镜角,则x的值可以为 1.已知集合A-0.1.2,B-10.1.2].若A-B,则a- A.-1 B.2 C.3 D. A-12 B-1或1 C_一1 D1 10.中国的5G技术世界领先,5G技术的数学原题之一使是著名的香农公式:C一 2.设复数:满足:一2+i一3.:在复面内对度的点为(r,y).则 Wlng.(1+).它表示,在受音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道 A.(r-2+(-1-8 B(-2+(v-1}- C.r-2+(+1-3 D(-2+(y+1-9 3.已知数列ua一3十--22)” 带宽W.信道内信号的平均功率S.信道内部的高斯晚声功率N的大小,其中A一 1. A. _一1 D.一 称为信噪比,当a1000时,公式中真数里面的1可以忽略不计,即C一WlogA.若 C-Wlog&.C-W.log..则 4.函数f(z)一cos1的部分图象为 A.当W-W-W.时.C+C-Wlog.+) C当W-W-W.时,C.C. .W.log(&.) D.: . 11.在正四枉ABCD-AB.CD中.AB-2.AA-4.C-BA+AA B ti[0.1]),则 5.将函数/(z)-cos[-x-平]的图象向左平移-个单位长度后得到y-r(2)的图象, A.点P新在区域的面积为4 期ir)” B当--时.A.P-3 A.c08zr B.n mr C当-1时,存在&使得CPIAB C. sin+) D. co{) D.当a一1时,三梳键C一ACP的体积为定情 数学二]第1页(共4页) 水全卷·先享题·健息 数学(二)第:页(共4页) 2 三、填空题;本题共3小题,每小题5分,共15分。 17.(本小题满分15分) 12.在某幼儿回中,小班,中班,大班分别有学生100人、120人和140人,现用分层抽样 已知函数f(r)-lnar,z]-arar+]h(r-fr+gr) 的方法,从三个班中抽取36个小朋友去参加园外的文艺汇演,则应该抽取的中班学 (1)当a(-,0][.]时,讨论((r)极值点的个数: 生数为 13.与直线y一x和直线y二一7均相切且率径为1的因C的标准方程可以为 (2)当a1时,关于:的不等式A(x)(e-1)a-3e+3在(1,+oo)上有解,求 .(写出其中一个即可) 的取范围. 14.已知直线/与函数(r)-r)-一 标为 四、解答题;本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步题. 15.(本小题满分13分) 在等差数列.中+-4+-12 18.(本小题满分17分) (1)求数列.的通项公式 A.B两人进行一场友谊赛,赛前每人记入3分,一局比赛后,若决出胜负,则胜的 (2)若6.一n·2,求1的前项和T。 一方得1分,负的一方得一1分;若平局,则双方各得0分,若干局比赛后,当一方首先 累计得分为6时,比赛结束且该方最修获胜,由以往比赛结果可知,在一局中A姓的概 率为0.5.B胜的概率为0.3. (1)第一局比赛后,A的累计得分记为X,求X的分布列和期望 (2)若B表示“在A的累计得分为,时,最终A获胜的概率” ①写出i的取值集合与P。.P的值 ②写出数列P)中连续三项的递推关系式,并求出P的值.(结果保留指数寡 16.(本小题满分15分) 在四校锥P一ABCD中,面ABCD是边长为2的正方形,且平面PAD 平面 ABCD.PDAD (证期:PD1BD: (2)若PA一4.E为PC的中点,求直线PC与平面ABE所成角的正弦值 19.(本小题满分17分) 己知点M在O。+y-4上,作MN1-输交-输于点N.设MP-PN (1求点P的软迹C的方程 (2)已知Q](r0)在C内,B(0.1).B.(0.-1).直线BQ,B.Q分别与C相 植图. 数学二)第3页(共4页 水金卷·先享题·信息卷 数(二)第4页1共4页]信息卷C 数学(二) 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷C·数学(二 {命题要素一览表 注: 1.能力要求: I.抽象概括能力 II.推理论证能力 III.运算求解能力 IV.空间想象能力 V.数据处理能力 V.应用意识和创新意识 2.核心素养: ②逻辑推理 ①数学抽象 ③数学建模 ④直观想象 数学运算 数据分析 能力要求 核心素养 知识点 预估难度 题号 题型 (主题内容) ① 档次 V ② ④ ③ 系数 5 选择题 由集合相等求参 7 0.82 复数与点的轨迹的 2 5 易 选择题 / 。 0.78 综合 1 L 。 / 易 选择题 周期数列的应用 0.70 选择题 中 函数图象的识别 0.60 余弦型三角函数的 ) / 中 1 选择题 5 。 0.55 性质(不涉及零点) 。 中 6 选择题 半角公式的应用 _ / 0.40 计数原理的应用(涉 5 中 选择题 / / / 。/ 0.32 及分组分配问题) 难 8 选择题 双曲线与圆的综合 0.25 平面向量的坐标 0 6 易 选择题 / 0.70 运算 对数型函数的实际 10 。 选择题 应用(涉及社会热 中 0.65 点) 、 空间向量与立体几 1 。过 1 选择题 6 难 / 何的综合 0.25 0 12 易 填空题 分层抽样的应用 5 0.85 和直线与圆有关的 13 填空题 5 中 0.50 开放型填空题 14 利用导数研究两曲 中 5 填空题 。/ 0.35 线的公切线 等比数列与等差数 15 13 中 解答题 列的综合,错位相减 0.60 法求和 .1. 信息卷C 数学(二) 以锥体为载体,线线 16 15 解答题 中 垂直的证明,求线面 0.55 角的正弦值 讨论含参函数的极 _ 17 15 解答题 值,由不等式有解 中 0.45 求参 全概率公式,分布列 与数学期望、概率与 _ _ 18 17 难 解答题 0.26 数列的综合(情境 题) 与圆有关的轨迹 19 17 难 解答题 问题,求参数的取值 0.25 范围 .2. 信息卷C 数学(二) ## 参考答案及解析 数学(二) 一、选择题 令 RF|-1,则 RF |=1+2a,因为在△RFF 中, 1.D【解析】因为A-B,所以2a=2,解得a-1.故 RF$F-,则由余弦定理得|RF1-{RF$^十 选D. 2.D【解析】因为;在复平面内对应的点为(x,y),所 F$F$l-21RF ·1FF:lcos ,所以(1+2a)*- 以=x+yi(r,y-R),则l(x-2)+(+1)il=3 即(-2)+(y+1)-9.故选D. 2十C 3.C 【解析】因为a。十a,=2(n→2),所以a.:=2 一a=2-(2-a-)=a-1(n>2),因此当nEN 2a十C 时,a:一a.,即数列a.)是以2为周期的周期数列. 所以a=a-2-a=-1.故选C. 4.B 【解析】因为f(x)一xcosx为奇函数,所以排除 A.D;当ox<吾时,f(x)-cosxo,所以排除 2a十C 11次选 C.故选B. 5.A【解析】由题得g(x)=cos(x+一)--] 二、选择题 9. CD 【解析】由a与b的夹角为钝角,得 cosxz.故选A. a·b=-2r-1<0 6.D 【解析】由题意可得a=cos^{22^{}-sin^22^*= ###1# ,解得x>一 选CD. =c.6-2tan 14 10.BCD【解析】对于A,当W -W.=W。时,C+C 3 =Wlog(a),所以A错误;对于B,当W.-W -W。时.C.-C.=W。log: .,所以B正确;对于C. ,。 7.C 【解析】①5单独放入一个集合:共有C一2种方 当W.=W。=W时,因为 1000(i-1,2),所 以C.C.=Wolog:à:log-à:<W。 (log +log-à (log(à)-W。! 法,再放入另外2个集合共有A一2种方法,所以此 log{().所以C正确;对 W( 类情况共有2×7×2一28种方法;②5不单独放入一 个集合:共有C一2种方法,然后将其余4个数分成 A 以D正确.故选BCD. 同的集合共有A一6种方法,所以此类情况共有2× 11. BD 【解析】因为C-&BA+AA 6$6-72种方法.综上.A.B.C 的不同种数为28 ([o.1]),所以CP=C+CC +72-100.故选C. (.[0,1]).对于A,P点所在区域为侧面矩形 8.C 【解析】在圆(x-c)+y-4c中,令x=0,则y CDD.C,其面积为2×4一8,所以A错误;对于B. =士③c.所以Q(o.③c),则tanQF,F= 以A为坐标原点,AB,AD,AA.所在直线分别为 r.y,z轴建立空间直角坐标系,则A.(0,0,4), B(2,0.0).C(2,2.0),则BA-(-2.0.0),AA- -,所以△QFF:为正三角形,在圆(x-c)*+y= (0.0.4),则CP-(-1.0,2),则P(1,2.2),所以 $ *中,令y=0,则x=-c或x=3c,所以P(3r,0). A. P= 1+2+(-2)-3.所以B正确;对于 ·1. 数学(二) 参考答案及解析 C.当a-1时.CP-CD+CC.所以CP-CD. 一- 2. 所以此时P点为线段C.D 上的动点,又 所以 经过检验x-0,r。=-2 C(2.2.4).D(0.2.4),则CP-CC+aCD (0.0,4)十a(-2,0,0)=(-2,0,4),因为 e=- 1 2:. B.(2,0,4),所以AB=(2,0,4),若存在入使得 满足 由函数f(x)=e,g(x) CP AB,则-4+16-0,所以a-4 [0,1],所 以C错误;对于D.当a-1时.CP-CD+CC,所 ___ 以DP-CC-DD,即此时P为线段DD.上的 动点,三校锥C一ACP的体积即为三校锥P- e_- 线,即{ 2. ACC.的体积,因为DD /CC.CCC平面ACC 有唯一一组解,所以点B 所以DD./平面ACC,所以P到平面ACC:的距 离为定值,所以三校锥P一ACC。的体积为定值,所 的坐标为(一2,-1). 以D正确,故选BD 四、解答题 15.解:(1)设等差数列(a.)的首项为a,公差为d; 由a+a-4,a:+a-12. 得 (2a+-4 2a.+5-12 (2分) 解得a-1,d-2, (3分) 所以数列(a.)的通项公式为a.一2n-1. (4分) (2)由(1)得b.-n·2。-n·2*-1. (5分) 所以T.-1×2+2×2+3×2+.+(n-12*} 十n.2-1. 所以4T。=1×2+2×2 +3×2 +.+ (n-1)2-1+n.21. (8分) 三、填空题 相减得-3T.-2+2+2+.+2-1-n·2-. 12.12【解析】根据题意,应该抽取的中班学生数为 所以-3T。 2-2-1 21 120. 1-4 100+120+140×36-12. (1-3n).2+1-2 13.(-②)+y=1(还可以为(+②)+-1, (11分) 3 十(y-②)=1,+(+②)=1之一)【解析】 所以T.-(3n-1)2-1+2 (13分) 设C(a,b),因为圆C与y一x,y=一r均相切,所以 la--1 16.解:(1)因为平面PAD1平面ABCD,平面PADO 平面ABCD=AD.PDC平而PAD,PD AD. 2 l-0 {a-士v2 所以PDI平面ABCD. lab1 ,解得 ,取a一 或 (3分) b=士v2 1-0 ② 因为BDC平面ABCD. 所以PDBD (5分) ②.b-0,则圆C的方程为(x-2)+y-1. (2)因为底面ABCD是正方形,PD1平面ABCD. 所以DA,DC,DP两两垂直. 【解析】设A(x.,e).B(x。. (7分) 14.(-2,-1) 以点D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为:轴, -),过A且与/(c)图象相切的直线斜率为 y轴,z轴建立空间直角坐标系, 因为PA-4, e,所以切线/的方程为y一e=e(x一x),即y 所以PD-PA-AD-23. =e+e(1一x:),过B且与g(x)图象相切的 所以P(0,0.23),C(0,2,0),A(2,0,0). 直线斜率为一 E(o.1.③),B(2.2.0). P=(0.2,-23),AF=(-2.1v3).AB- (0,2,0), (11分) .2. 信息卷C 数学(二) 设平面ABE的一个法向量为n一(x,y,). 故/(x)极值点的个数为0 (6分) [nA--2r+y3-0 所以 综上所述,当a(一,0]时,/(x)极值点的个数 AB-2y-0 为1; 当ae[,+)时,f(c)极值点的个数为o. 令-3. 则n-(③,0.2). (13分) (7分) 设直线PC与平面ABE所成的角为8, (2)由题得h(x)=xnx-az+1. 所以sing- coPC.n)-.-43 由(x)-lnx+1-a-0,得x= , PC||n 4×7 当x(l,)时,h(r)<0; 当x(e,+)时,h'(x)>0. 所以h(x)在(l,e)上单调递减,在 2 (e,十)上单调递增. 故真线PC与平面ABE所成角的正弦值为 所以h(r)=h(e-l)-1-*-1. (10分) (15分) 因为当a1时,关于x的不等式h(x)<(e-1)a 一3e十3在(1,十)上有解; 所以只需1-<(e-1)a-3e+3成立, 即不等式1+(e-1)a+2-3e>0成立,(12分) 令(a)-1+(e-1)a+2-3e. 则'(a)=-十e-1. 显然(a)-el+e-1>0在a(1,+oo)上恒 成立, 故(a)在a(1,+o)上单调递增; 又(2)-0. 所以a2. 17.解:(1)由题得/(x)=lnx+1一2ax,xE 故a的取值范围为(2,十o). (15分) (o.十。o). (1分) 18.解:(1)平局的概率为1-0.5-0.3-0.2. (1分) 设u(x)=lnx+1-2ax. X的所有可能取值为2,3,4. 则()-1-2-1-2ar. P(X-2)-0.3. P(X-3)-0.2. ①当a(-o,0]时,'(x)o,即a(x)=/(x) P(X-4)-0.5. 单调递增, 则X的分布列为: 因为x→0时,f(x)→一;r→十co时,/(x)→ 2 34 士. p 所以/(x)有唯一的零点 0.30.20.5 所以f(x)有一个极小值点,无极大值点: (3分) f(x)极值点的个数为1; (2分) F$$)-2 03+3 02+4$05-3. (4分) ②当a[,+)时, (2)①由题得i的取值集合为(0,1,2,3,4,5,6), P-0,P-1. 令a(x)-0,得x-2 (6分) ②在A累计得分为i(i-1,2,3,4,5)分时, 当ve(o,)时,u(c)>o,即(2)-/(z)单 下局A胜且最终A获胜的概率为0.5P.1, 在A累计得分为i(1-1,2,3,4,5)分时, 调递增; 下局平局且最终A获胜的概率为0.2P 当#e(,+o)时,u'(x)<o,即(z)-f(x) 在A累计得分为1(i-1,2,3,4,5)分时, 下局A败且最终A获胜的概率为0.3P. 单调递减, 根据全概率公式得P-0.5P+0.2P+0.3P. 所以/(1)#()1<0. 即5P.+3P-8P-0. (10分) 即P-P- 所以/(x)在定义域上单调递减, .3. 数学(二) 参考答案及解析 所以P-P=()(P-P(i=01.2...5), 解得- #2[()(P-P)]. (13分) 则y= 9-f 所以5() ##” ##() 所以P-P-(P -P). #-} (9分) 所以Q |BQl =131. *+1 #-# __ QB 1 29 (11分) 所以P一 (17分) 19.解:(1)设P(x,y),M(z,y). 所以 因为MP-PN. 31QB:·QRl·sin B.QR (2。-1 (2分) 所以 -QB 03-1 y=2y' TQR QB 3-·9= +9 因为点M在圆O;+=4上, ### (13分) 所以+-4. 所以”+(2y):-4. #以。 (5分) (2)由B(0,1).Q(.)李0,可得直线B{Qy- 解得-1或1>1; (15分) 又因为Q(t)(t学0)在轨迹C内, 。 2+1. 所以+1<1. 解得-41” 解得一③<1<③ 4t 所以(-③,-1]U[1.③) 则般 所以7的取值范围为(-3,-1]U[1.3) 所以#() (17分) (8分) .4.