2024年新高考数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（B）05

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 8,已知物线E:y=8x的焦点为F,准线为1，过点F的直线交E于A,B两点·点A, B在/上的射影分别为A1,B,以线段AB为直径的图C与直线x=一6交于M,N 数学（五 两点，且AB=2MN,则直线AB的方程为 A,E十y一2一0或r-y一2=0 B.x-3v一2=0成x十3￥-2-0 本试卷共4页，10题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 C.瓦x-￥一2=0或3x+￥-2=BD2r+y-2=0成2r一y-2=0 注意事填： 二，选择题：本愿共3小题，每小覆6分，共18分。在每小丽给出的选项中，有多项符合 1,答题前，先将自己的拉名、考号等城写在器题于上，并将准考证号条形妈知此在 览目整求。全部远对的得后分，锦分选对的得部分分，有远错的得0分。 答题卡上的粉定位置。 .段(2r-3)(x十1)=ao十4x十x十十ax,则 2,这择题的作答：速出每小题答策后，用2B铅笔花答题卡上对良题目的答囊标号 B.a.=-108 涂黑，写在试斯表、苹稿妖答题于上的非答题区拔均无效。 C.4,十41十1十4十4：-一128 Da1+d十as十4，十a6--128 3,填空题和解答题的作答：用整宇笔是接写在答题卡上对应的答题区线内。写在 试题表，草装纸和签避零上的非琴题区城均无梵， I0.在等题梯形ABCD中，AB一BC-AD-2CD-2,P为等额梯形ABD内位含边 ,考认站来后，肃将表认卷和答题卡一并上交 界)一点，则 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 AD在A方上的投影向量为号A丽 项是荷合题目要求的。 1,已知集合A一工0<r十1<8：，B一xz一2H,mEN},期A∩B的真子果的个数为 k若P心=2币，期D币={ai+0 A.7 且8 C.15 D.16 2一有的虚部为 C若点P在边CD上，且A产=aAB十rAi,则A十r的取值范用为[门，3] D.PA·(PC+PD)的取值范围为「一2.12] - 13 B一0 n8 11,十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基陆，著名的“康托三分集”是数 学理性想维的构造多物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将用区间「0,1均 3.“m>1”是“雨数y=g(十树)的图象不过第四象限”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 分为三段.去掉中间的区间段行·引，记为第1衣操作：再将利下的两个区同 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 L.已知数z)一 0,号，[号1分别均分为三段，并各白去推中铜的区间段，记为第2欢操作：每 在区阿[一1，十阳》上单测递诚，期“的取值范围是 次操作都在上一次操作的基碑上遗行，将列下的各个区吗分别均分为三段，同样各 A.（=m,5) B《5.十) C.(e5 D[5,+a) 自去掉中间的区同段，操作过程不斯地进行下去，利下的区间集合即为“康托三分 5,如图1。一个圆柱形笔简的定面直径为乎m(笔筒要的荐度 集”，投第程次提作去掉的区间长度之和为。，记S.为数别：.的前”项和，周 忽略不计)，母线长为16m,该时柱形笔商的直观图如谢2 所示，AB,CD分别为该置挂形笔箭的上展面和下底面直 A4一27 径，且ABLCD,则三棱锥A一BCD的体积为 A.208 cm' 8--得) B.216 cm' C.221 cm C若么=0g4(214(2a其前#填和为T,则了，一n平 D.232m 图1 图2 D.若9m∈N,-25<(-1)*[21-6(7+2m)m.],则-22 元.某超市出售的一种毛巾来自甲，乙，丙生产商的比例分别为阳%，0%，4%，且甲 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 乙生产商生产这种毛巾的合格率均为P,内生产商生产这肿毛巾的合将率为98⅓， 从该超市任意购买一条这种毛巾，若这条毛巾为合格品的概率为98,2%，期· 12.已知双曲线C,号一长-1(e>0,b>0)的实轴长为2，直线y一3r与C有两个交点， A.93% 且94% C.95% D.96% 写出一个背足条件的C的方程 7,已知雨数f)=in(r+g)+(m>0,0<g<x.且f(爱一x)-f八5+x小 13在直三棱桂ABC-A品，C中，AB⊥BC.AB=BC=2,2,BB=L,P为棱A,C的 中点，沿棱柱的表面从B点经过棱AC到达P点的最短路径长度为 (赁-十受+=4.若x)在（停·受）上单两，期/-景} .已知函数)-d-号na(e>0且a≠1)在0，十e)上有两个极值点，期：的 A.-1 C.1 取值范围为 数学（五1第1页（共4页） 衡水金参·光章趋·信息雄 数学（五）第2页（共4页 国 四，解答题：本蜃共5小题，共7分。解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤。 17.(本小题斜分15分》 15.(本小圈牌分13分) 知图·多面体A品D一ABCD是三棱台A,BD一ABD和四棱维C-BDDB的 双十一购物狂欢节是指每年的1山月11日，以电子窗务平台为代表在全国范用内 组合华，底面四边形ABCD为菱形，∠AB(C=60,AB=2AB一4，E为CD的中点，平 兴起的大型网路购物：销狂欢节.已知某服装旗舰店近七年在效十一期同的销售额如 而AAB:B⊥平面AbCD,AA⊥AB 下表，并根据表中数据给制了散点图，如图所示。 (1)证明：DE∥平面ABD: 年倍 2017201820192020:2021-2022 2023 ,求AA 年份民码 1 2 3 4 7 (2》者平面A,D与平面B,C夹角的余弦值为 n售额y(2元)0.010.010.11 0.52 1.3 ￥.31 4.30 0十方456方家 《1》根据撤点图判断，y=十r与y=(其中a,b,r,d均为大于0的常数)哪一个 18,(本小题满分17分》 话合作为销售领y关于年骨代马「的回日方程便型？（给出判断即可，不公说明理由） 〈2》求出y关于工的经验回归方程，并预测该服装旗舰店在2024年双十一期问的 已知明C号+若=1。>b>0)的离化率为号其左，有要点分别为AA过 销售架：（精确到0.01） 点(1,0)的直线1与C交于M,N(异于点A,A:)两点，且当1Lx轴时，四边形AMAN (3)从表中7个销售额的数据中随机抽取3个，记销售额超过5千万元的个数为 的面积为4,2， X,求X的分布列和数学期型。 (1》求C的方程： 参考数据：令w-n,其中u,-n边，ecl9.49, (2》若直线AM直线x=9交于点P,证明：P,A:,N三点共找. 3a-r(-y) ∑4-w- 1.2-1.1 1i.2 10.1 1&63 这G2 参考公式：对干一组数据(1·的)，（仙：，西），"，(M,》,其经验日日直线=十： 19,(木小题满分17分》 的斜率和藏距的最小二乘估计公式分器为：3 一一甲一. 已知数表A-(u”4")中的项a,-1.2-1,2,…,m)互不相等，且 满足条件：①v∈1,2，…，2m:②（一1）(-一“<0（侧一1,2，，w,期称这样的 数表，A具有性质P, 《1》若数表Am具有性质P,且m一3.写出所有满星条件的数表An,并求出4n十 4a的值： 16,(本小题满分15分) (2》对于具有性P的数表A,当十口十…十1.取最大值时，求证：存在正整 已知函数f《》F+r一n 数1n1,使得au=2m( (1)求()的单到区间： 1 (3)对于具有性P的爱表A…当0=2021时，求22a十u十十a,)的最 (2》若y巴有两个零点求m的取值范围。 大值 数肇（五）第3项[共4页1 衡水金整·先享是+信是卷 数等（五》第4或I共4黄1 国信息卷B 数学(五) 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷B·数学(五) 题素一览 注: 1.能力要求: I.抽象概括能力 II.推理论证能力 III.运算求解能力 IV.空间想象能力 V.数据处理能力 VI.应用意识和创新意识 2.核心素养: ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直观想象 数学运算 数据分析 本= 能力要求 核心素养 知识点 预估难度 题号 题型 (主题内容) ① 。 档次 1 6 ll I 4 系数 集合的交运算,求子 5 选择题 易 1 。 _ 0.82 集的个数 复数的运算,确定复 2 选择题 5 易 , 数的虚部 0.75 对数函数的图象与 3 选择题 5 中 0.68 充要性的综合 由指数型复合函数 中 选择题 1 / / 0.65 的单调性求参 。 选择题 中 杜体的实际应用 / 5 / / 。/ 0.60 6 选择题 5 全概率公式的应用 。 。 0.50 由三角函数的图象 1 。 1 中 选择题 0.40 研究其性质 中 选择题 抛物线与圆的综合 8 5 0.35 9 6 二项式展开式的 选择题 。/ 0.60 系数 利用向量解决平面 10 / 选择题 中 几何问题(涉及坐 0.40 标) 等比数列,裂项相消 1 6 选择题 0.28 求和的应用 双曲线的方程(开放 ) 12 中 填空题 / / 。/ 5 _/ 0.70 题) 几何体表面上两点 / 13 5 中 填空题 0.60 间距离的最值问题 利用导数研究函数 填空题 / 。 0.28 的极值 , 非线性回归问题,超 15 13 中 解答题 几何分布的分布列 0.68 及期望 ·1. 信息卷B 数学(五) 求函数的单调区间: 15 16 解答题 ☆ 0.60 由函数零点求参 以组合体为载体,证 17 解答题 中 明线面平行,由二面 0.50 角求线段长 直线与圆的位置 _ _ 18 17 中 解答题 关系,第2问为证 0.40 明题 19 17 新定义题 解答题 0.20 .2. 信息卷B 数学(五) ## 参考答案及解析 数学(五) 一、选择题 96.2%,解得)一95%.故选C 1.C 【解析】由题得A=x|0 x+1<8 =x|-1 7.C【解析】因为/(一x)-/(+x),所以/(x) <<7),又B-xlr=2n,nEN ,所以AOB=0 2.4.6 ,其真子集的个数为2-1-15.故选C. 的图象关于直线x一对称,因为/(一x)+ -4 -4-01- 2.B 【解析】因为:一 /(吾十x)-4.所以f(c)的图象关于点(吾,2)对 称,所以b=2,因为/(t)在(,)上单调,所以周 3.A 【解析】若函数y一log。(x十n)的图象不过第四 期T-4x(-)-2-,则-2--3.所以/(x)$$ 象限,则n1,所以“n>1”是“函数y=log。(x+n) 的图象不过第四象限”的充分不必要条件,故选A. 4.D【解析】因为/(c)-() -Dr 在区间 对称,所以令3x+一吾+h-,^乙,得- [-1,+oo)上单调递减,又y-()” 在区间[-1, 十kr,kz.又0<<n,所以=,所以/(x)= +o)上单调递减,所以y-2x+(a-1)x+6在区间 sin(3x+)+2=cos3x+2.所以f(-)= [-1,+oo)上单调递增,则-“-1<-1,解得a→5. 4 cos(一n)+2-1.故选C. 故选D. 8.A 【解析】由题可得F(2,0),准线1:x=-2.设 5.B 【解析】由ABICD,易得BC=AC=BD=AD. A(xrt·y),B(x:,).由题可知直线AB的斜率不为 (r-y十2 取AB的中点O.连接OC,OD,则AB1OC.AB 0.设直线AB:r-ty+2,联立 1-8r “,得-8ty OD,又OCOOD=O.OC,ODC平面OCD,所以AB -16-,则-64+640+=8,=-16 所以AB|--= (y+y)-4yy= $9X16×9-216 cm.故选B. 8 ¥+1,1ABl-r+x+4=(y+y)+8-$ + C(-2,4),所以|MN|-216(+1)-16-81 . 由|AB -2|MN|,得8r*}+8-16*l,解得7-士1,所 以直线AB的方程为x+y-2=0或x-y-2=0.故 选A. 6.C 【解析】记事件A表示“买到的毛巾来自甲生产 商”,事件B表示“买到的毛中来自乙生产商”,事件C 表示“买到的毛中来自丙生产商”,事件D表示“买到 的毛巾是合格品”,则P(A)-P(B)-30%,P(C) 40 .P(D A)=P(D B)=.P(D C)=98%,所以 P(D)=P(D A)P(A) +P(D B)P(B)+ P(D C)P(C)-30%+30%+40%×98%= .1. 数学(五) 参考答案及解析 二、选择题 作去掉2个长度为的区间,..l,则第”次操作去 9.ACD【解析】(x十1)*的展开式的通项为T,= C*,-0,1,2,..,8,所以a=-3C--3,故A 掉2-个长度为一的区间,所以第n次操作去掉的 正确;因为T.=C$.T =C,所以a=2C-3C 2-1 --98,故B错误;对于(2x-3)(r+1)-a。+ar+ ar+..+ar,令x-1,得a。十a+a十..十a a=-256;令x=-1,得a-a+a:-a+.-a A正确:_ a-a。=0,所以a+a+a+a+a=-l28,a+a +a:+a+a。一-128,故C.D正确,故选ACD 3.公比为2的等比数列,所以S.- |[1一()# DAB-120{},所以DA在AB上的投影向量为 -1-(2)”,故B错误;由A可得 1-} -D+AB+BC-D+DC+BC.所以DC -2AD+2BC,又PC-2DP,所以D-DC -2AD+BC,故B错误:若点P在边CD上,且 C正确;令R.-21-6(7+2n)a.,则R-21 (14+4n)·(),所以R-R.-(4”+2) AP-aAB+AD,则-1,由平行四边形法则得 ·(2)*>o,所以(R。》单调增,所以3<R< 0 a<2,所以a+i的取值范围为[1,3],故C正确 以A为原点,AB所在直线为:轴建立如图所示的 21.当”为奇数时,由r*-25 R,得*-25<3.则$ 平面直角坐标系, -2/7<i<2v\7;当”为偶数时,由-25<-R。;$ 得¥-25 -21,则-2 2,所以-2 2.故D$$ 正确.故选ACD. 三、填空题 一I(答案不唯一)【解析】由题意知2a= 2.则a-1.因为直线y-3x与双曲线C有两个交 点,所以→3,则6>3,可取b-4.此时双曲线C的 则A(0,0).B(2.0),C(3.3).D(-1.3),设 P(x.y).-1<x<3.0<y<3,则$-(-x. -y).PC+PD-(2-2x,23-2y),所以PA.(P 13.6 【解析】当从B点经过校AC到达P点时,将平 +PD)--r(2-2r)-y(2v3-2y)-2r”-2+ 面ABC沿校AC展开,与平面ACCA. 共面,如图 所示,则BP即为最短路径长度,BP-4十2-6. 2\3y-2(-)+2()#-2,可知当 点P在点C处时,PA·(PC+PD)取最大值,最大 值为12:当点P在点()处时,pA·(P十 PD)取最小值,最小值为-2.所以PA·(PC+PD) 的取值范围为[一2.12],故D正确.故选ACD. 11.ACD【解析】第1次操作去掉1个长度为的区 14.(1.e) 【解析】由题得/(x)=alna一xlna 间,第2次操作去掉2个长度为的区间,第3次操 (a-x)lna,因为f(x)在(0,十o)上有两个极值 点,所以a一x=0在(0,十)上有两个变号零点, .2. 信息卷B 数学(五) 当0<a<1时,函数y-a和y-r的图象只有一个 4 0 2 交点,不符合题意;当a1时,由a一x-0,得lna 一1 1 -_n 0,令g(x)-lnrx>0.则(x)- P ## r r l-ln工,令g(r)>0,得0<x<e;令g'(x)<0,得 35 35 +2x _7 x>e.所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,十oo)上 12. (13分) 16.解:(1)因为f(x)=x”十mr-lnx,x>0. g(x)→-oo;当x→+oo时,g(x)→0.作出函数 所以/(r)=2x+m-12-r+mr-1. ) g(x)的图象如图所示,由图象可知o<lna<-,即 3 令2r”+mx-1-0,则△-n+8 0. l<a<e,所以a的取值范围为(1,). -二+n十8(---8 (3分) -1。 4 调递减; 4 四、解答题 所以f(x)的单调递减区间为(o.-m+m+8) 15.解:(1)由散点图可知,y一ce适合作为销售额y关 (2分) 于年份代码工的回归方程类型 单调递增区间为(-m+m+8 .十。). (6分) (2)对y=ce*两边同时取对数,得lny=dx+lnc. 4 (2)由题得f(2)_+m-1n丁. 令u-lny,则u-dx+lnc. 由题得-1+2+3+4+5+6+7-4. 令/(c)_o,得lnrr-m-o, 7 7 (4分) ##(x-)(u-) 2r 则(r)-1--ln. 28.62 2~1.022~ 所以a-二 r{ 28 令h(x)-1-x-lnx,a>0. 则'(r)--2-1<o, 1.02. 所以h(x)在(0,十)上单调递减, 则lnc=-dr=-1.1-1.022x4~-5.19 (9分) 所以lni-1.02x-5.19. 又(1)-0. 所以y-1.-.1”. (7分) 所以当x(0,1)时,h(x)0,则g'(x)>0; 当x-8时,-07~19.49. 当x(1.+oo)时,hi(x)<0,则g(x) 0. 所以预测该服装旗舰店在2024年双十一期间的销 所以g(c)在(0,1)上单调递增,在(1.+o)上单调 (9分) 售额约为19.49亿元. 递减, (12分) (3)表中销售额超过5千万元的数据有4个 所以g(x)<g(1)=-1-m,且当x趋近于0时, 所以X的可能取值为0,1,2,3. g(x)趋近于一oo;当x趋近于十co时,g(x)趋近于 则P(X-0)- 一. C 因为g(x)有两个零点x,r. P(X-2)- 所以-1-m>0,解得m<-1. 所以n的取值范围为(-x,-1). (15分) 所以X的分布列为: 17.解:(1)连接BE. 因为BD/B D.BD平面B D E.B.D C平 .3. 数学(五) 参考答案及解析 面BD E. 取x×=3,得n=(31,4). 所以BD/平面B.D E. (1分) 设平面BBC的法向量为m=(x,y,), 因为AB/AB,AB = (m·BC-。” [4y:-0 朝 AB. n.BB-o' ,即 1-3:++12:-0' 取x。=3,得m-(3,o.3). 所以A. B /DE,A. B =DE. (12分) 所以四边形A.B.ED为平行四边形, 设平面A.BD与平面BB.C的夹角为0. 所以A.D/BE. 又A DC平面B D E,BEC平面B D E (3分) 所以A.D/平面B. D.E. 3-+1 因为A DOBD=D.A.D.BDC平面A.BD -42 所以平面A.BD/平面BD.E 又D.EC平面BDE. (5分) 所以D.E/平面A.BD 解得/一2或一2(舍). 即AA.-2. (2)因为平面AAB.B 平面ABCD,平面AAB.B (15分) 0平面 ABCD=AB,AA |AB,AA C平 18.解:(1)由题意知-2v2 ,则-2v2 面AA.B.B. 3 所以AA.1平面ABCD. 取BC的中点F,连接AF,AC. 因为四边形ABCD为菱形,乙ABC-60^{*。 (2分) 所以△ABC为等边三角形, 所以AFBC. 又AD/BC,所以AF 1AD. 所以AF,AD.AA两两垂直, (6分) 则以A为原点,AF,AD,AA:所在直线分别为x,y. #2ab 1- c轴建立如图所示的空间直角坐标系. 解得a-9,b-1. (5分) (2)由题意知直线/的斜率不为0,A(一3,0); A。(3.0). 当直线/的斜率不存在时,直线/:x-1. 不妨取M(1.2),N(1.-2). 所以P(,2/②). 设AA-1.0. 则A(0.0.t),B(23.-2.0).C(23.2.0).B(3 -1.t).D(0,4.0). AN上. 所以P,A.N三点共线. 所以BA=(-23,2.),BD=(-2v3,6.0).BC (8分) (0.4.0).BB-(-3.1.). (8分) 当直线/的斜率存在时 设M(xr.y).N(x,y),直线l:y=b(x-1).k 设平面ABD的法向量为n=(x.,y,). :0. n.BA-0 [-23r+2y+x-0 则 ,即 (y=b(x-1) 联立 .BD-0 +9y2-9 1-23x.+6y-0 ,得(1+9):-18 x+9-9 .4. 信息卷B 数学(五) -0. 假设矛盾, 9$-9$ 18 所以存在1<i<n.使得a=2n; 1891-9 (6分) 则△0.xi十x= (10分) ②若对任意的a。(b为偶数,1<k<n),都有a <a. 令x-),得P(9.). 交换a。和a,的位置,得到的新数表也具有性质P. (12分) 此时转化为①的情况. 综上,存在正整数k(1<<n),使得a.一2n.(8分) (3)当n为偶数时,令n=2k(1<k<n), 12y(r:-3)-6(r+3) 一方面,(a-a)十(a-a)+...十(at-a) r十3 <(4-1)+(4-3)+.+(2+1). $2(r-1)(x-3)-6(r-1)(r+3) 因此a+a+..+a<(a:+a+..+a)十 x:十3 3;① (10分) -6 ×1:-5(r+x)+9 2.十3 另一方面,a-a1(i-1,3,5,..,n-1). 9-9 90{ 因此an+an+.+ai-<(a:+a+.十 $61+9般10 a-:)-b.② (12分) r:+3 记S =an+a+..+a,S=a:+a+.. 十, (1+9)(r+3) 由①+②,得S<S+3-k. (13分) 所以P,A。,N三点共线. (16分) 又S+$-8+2k,所以511+大. (17分) 综上.P.A.N三点共线. 2 (14分) 19.解:(1)由题可得au,a,an,a-(1.2,3,4),且 构造数表A二 aua.a>a. 又a-3. .. 3表 所以A。-(1)或A-(23). (2分) 可知数表A。具有性质P,此时S 最大,且S 11+11r+2n. (15分) 2 (3分) 所以a+a:-1+2-3. 8 (2)假设当a:+a:十..十a。取最大值时,存在1< 令n-2024,则S< -11×2024+4048 8 <n.使得a-2n. 11×2024+2 (4分) 由数表A。具有性质P,可知i为奇数; 。 8 /au a: 不妨设此时的数表为A。- 2783.25. (2n a: .. aso 所以2024(a+a1:+.+aio)的最大值为2783.25. 1 ①若存在a(b为偶数,1<n),使得aa, 交换a.和2n的位置,得到的新数表也具有性质P, (17分) 调整后数表第一行的和大于原数表第一行的和,与 .5.