2024年新高考数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（B）03

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 .扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底煎，是民 数学（三） 族文化的一个组成部分，历来我国有“铺扇王耳”之称.现有 某工艺厂生产的一款优美的肩环形扇子，如图所示，其扇环 面是山周有精美图案的油布构咸，事子对应的扇环外环的 本试卷共4页，10题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 氧长为48cm,内环的夏长为16m,油布径长（外环半径与 注意事项： 内环半径之差)为24m,则该角子的油布面积大钓为（油布 1,答题官，先得自怎的数名，考号等填写在答题卡上，并准考证号条形码给贴在 与扇子什架策折部分复席不计) 答超卡上的指定位置， A.1024m &768cm C.610c [D.512cm 2.选择期的作答：选出每小则答紫后，用2B每笔记答划卡上对应题日的答業标号 涂累，写在试题意，草稿领和答是卡上的非答赠区战均无处， 7已知双面线号一芳-1>8,6>0)的左，右焦点分州为R,,左，右顶点分别为 3,填空是和解答见的作答：用签宇笔直接写在答题于上对户的答题区战内。写在 AA:,点P在C的有支上运动，且PF⊥PF,以线段AA为直径的图与线登PF 纹随卷，草稀酰和答题卡上的非多题区城均无数， 有公共点，则C的离心率的取值范用为 4,考这站来后，请将本认题裹和答题卡一并上文， A.(1w3 1i.(3.+∞) 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小婚给出的四个选项中，只有一 C.(5.+o∞) D(1.5] 项是符合题目要课的。 &,记[x]表承不超过z的最大整数，例如〔2.9]-2,1]-1，[一1.1门-一2，期函数fx》 1,若（空一行一i十，期：的虚部为 A.一1 民1 C.-i Di -门-工一e+品的零点个数为 2,已知集合A=xx=1g(+1).B=(xa<x<a+1},若A门B≠必.则u的取值 A.1 B2 C,3 D.4 范周为 二、选择题：本共3小顾，每小丽6分，共18分。在每小题给出的进项中，有多项符合 A.[-1,十6e)&4-1,十∞)C.(-2,十o0)D.(-60,-2) 题目要求。全部远对的得5分，部分远对的得部分分，有远错的得0分。 3,“子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法，又称“中国剩余定理”，它凝结着中 线，已知向量a.b满足a-2到b-2,a·b一1，则 同古代数学家的智慧，在加密.秘密共享等方面有若重要的应用.已知某等差数列 4)的首项是既迷被2又能被3整除的品小正整数，公差为5，观利用{：，中的4。项 A口与b的光角为等 透行加密，其加斋数字记为a。,约定：当，为一位的整数时，其加帝数字记为0，背m h,a-6=2 为其他整数时，其加密数字为4中最大数字与最小数字之差，则4：4：4：为 C.(a-2b)⊥(a+b) A.a211 &0121 C.0051 D0115 D.6在：上的投影向量为一· 4.已知价圈户：3x∈R,十1一nk=0为限金题，则a的取的范国为 10,如图，某电子实验瑞线路图上有A,日两个时红绿指示灯，当遇到虹灯时，实验特 A.[-1,1] B.-9,0)U(2,+o∞1 C.[-2,0] 停止前行，核复绿灯后，推续行，A,B两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概 D.-e,-2U(0,+e) 5,已知直线r=一 一晋为弱数)-cua(m+p>0,0<号)图象的两条相 率分别为写，P0<p<1,同学甲从第一次实拾到第五次实於中，突验猫在A处遇 到红灯的次数为X,在A,B两处遇到红灯的次数之和为Y,则 邻对称轴，且得}=一受.则：)的单网递波区间为 APX=3)-0 A[晋x+引∈z &DX0-智 B [tr-2.z C一次实验中，A.B两处至少酒到一次红灯的概率为 c[x+意：+]，e +号 n[ks-是a+,ez D,当P-时，E(Y)-号 数学（三1第1页（共4页） 衡水金卷·光章趋·信息难 数学（三）第2页（共4页 国 11.下列物体中，能够整体放人半径为3m的球体存器（球体内部为空心，且球体壁厚 17.(本小题端分15分》 度氢毫不计》内的有 已知属数f（r)-cosx十r十E一2. A棱长为3m的正方体 (1)证明：〔x)在其定文域上不单调： B以上底面边长为2管dm,下底面边长为3豪dm,体积为32d的正四棱台 2》证明：x) C.底面半径为2dm,高为4dm的团柱体 D.所有棱长均为32m的正四面体 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12,某兴规小组的学生制作了一个围锥顺梨，利得孩模烟的底面周长约为88,4，测 面母线长为50m,则孩该模的表面织约为 m.(xe3.14) 18,(本小避满分17分》 I.已知箱国C,高+着=1的左焦点为F,P为C上一动点，点Q《,3测PF+ 某中学的是球从教练雷对报名参加足球队的30名季生在不同时间段进行A,非，C |PQ的取值花闹为 三个项目的体能测试，测试方法如下：柯名学生褐试A,B,C三个项目，三项调试中，有 两项及以上“不达标”的学生将被认定为需参加“一类体能脚练”，有且只有一项“不达 14.已知函数x》=r十nr,若x,清足f代n》=(nm),则由的最大值为 标”的学生将再次调试A,B两个项目，若这两项测试中有一项及以上“不达标”，也将被 四、解答题：本题共5小题，共77分。解苦应写出文字说明、证明过程成演算步廉。 认定为需参加“一类体能训练”，每名学生测试A,B,C三个澳日的结果相互独立，每个 15.(木小题满分13分) 项目“不达标”的慑率均为(0<p<1) 已知数列{w.)为正项等比数列，且0g0十og十常=3.d:十山=10. (1)记珂名学生被认定为需参加”一类体能训练的每率为(p),求八P 《1)求a。1的通项公式！ (2)每名学生不需要重新测试的费用为0元，需要重新测试A,B两个项目的总费 《2)记集合A一【n∈N°16<a.<512],从集合A中任取两个不同元素，其和记为 用为35元（含前一次测试的费用），所有学生除测试费用外，其色费用《人力费，材料费 ,求所有（值的和： 等》总计为1000元，若该教炼用于测试的经费顶算为2000元，且30名学生全部参加 测试，试估计上述测试方案是否会辐出预算，并说明理由， 15.(本小题牌分15分) 19,(本小感清分17分》 如图，在三棱锥P-ABC中，O为棱AB上一点，且P0,A心-0，Pi.B心-0. 已知抛物线E:y=2x(0)的焦点为F,准线与x推交于点S,T为E上一点， 《1)证明：POL平面AC: 且其横坐标为2，△STF的面积为4. 《1)求E的方程： 《2)若PA=PB=,Z.AB=2,AC⊥BC,∠BAC=30,点E满足B正=gEP,求二面 (2)过点P(-1,I)的两条不同的直线I,m分别与E交于点A,B和C,D, 角B一AC一E的余紫值. 从下面①②③中远取两个作为条作，判烁另一个是否也成立？并给出证明 DL的斜率的绝对值为号：@PA·PB=PC·PDl:③∠APC=吾 注：若达择不同的组合分期解容，用按第一个解答计分 数肇（三）第3项[共4页1 衡水金整·先享是+信愿卷 数等（三）第4黄共4黄1 画信息卷B 数学（三） 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷B·数学（三） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) 档次 系数 复数的运算，涉及 选择题 的周期性 易 0.82 由集合的运算求参， 选择题 易 0.75 涉及函数的定义域 与等差数列有关的 3 选择题 中 0.68 数学文化题 选择题 由含有一个量词的 5 中 0.65 命题的真假求参 研究余弦型函数的 5 选择题 5 中 0.60 单调性 6 选择题 5 弧度制的实际应用 中 0.50 求双曲线离心率的 选择题 中 0.40 取值范围 函数的零点问题（不 选择题 中 0.30 涉及导数) 9 向量的运算（不涉及 选择题 6 中 0.60 坐标) 二项分布的实际 10 选择题 6 中 0.45 应用 球与其他几何体的 11 选择题 6 难 0.28 相接问题 12 填空题 5 圆锥的表面积 中 0.65 13 填空题 椭圆定义的应用 中 0.50 14 利用导数研究双变 填空题 0.25 量问题 等比数列的通项，数 15 解答题 13 中 0.68 列与集合的综合 解答题 证明线面垂直，求二 16 15 中 0.50 面角的余弦值 信息卷B 数学（三） 利用导数研究不含 17 解答题 15 参函数的单调性，证 中 0.40 明不等式 18 解答题 17 概率与导数的综合 难 0.25 直线与抛物线的位 19 解答题 17 置关系，第2问为结 / 难 0.15 构不良题 ·2 信息卷B 数学（三） 参考答案及解析 数学（三） 一、选择题 以)的单调递诚区间为[kx一是kx+登]，k∈乙 1.A【解析】由(g-子4)i=泸+i,得(g一1)i=i-1, 所以=+1=一#+1+1=2+i,所以：=2-i 故选D, 6.B【解析】设扇子对应的扇形的圆心角为a(a>0), 所以：的虚部为一1.故选A 内环的半径为rcm,外环的半径为Rcm,则R一r一 2.C【解析】由题得A=《x|y=log:(x+1)} 24,因为扇环外环的弧长为48cm,内环的弧长为 {x|x+1>0}={xx>-1},因为A∩B≠0，所 1aR=4 16cm,所以 ,则a(R十r)=64,所以该扇子的 以a+1>-1,则a>一2，即a的取值范围为(-2， ar=16 十∞).故选C 3.C【解析】既能被2整除又能被3整除的最小正整 浦布面积为S-安R-P)）-乞a(R+pR-) 数为6，所以数列{a.}是以6为首项，5为公差的等 2×64×24-768cm.放选B 差数列，所以a.=6+5(n-1)=5n十1，所以a1=6, 7.D【解析】取线段PF,的中点B,连接OB,则OB⊥ a:=11,a=16,a4=21,所以a1agaa,为0051.故 PF,设OB|=m,则1PF21=2m,则|PF|=2a十 选C. 2m,所以在Rt△PF1F:中，(2a+2m)2+(2m)= 4.D【解析】由题可得p:Vx∈R,a十1一sinx≠0，a (2e)”,即2m+2am+a2-c=0,因为线段PF,与 +1一sinr≠0可转化为直线y=a与曲线y=sin 一1没有公共点，因为一2≤nx一1≤0，作出曲线y 以线段AA为直径的圆有公共点，所以2<m≤ =sinx一1的图象如图所示， a,令fm)=2m2+2am+a2-c2,,0<m≤a,则 2 f(号）=-号<0，则需使f@)=2a+2a2+。2 c2≥0，解得-5≤￡≤√5，又>1，所以1<≤5. 即双曲线C的离心率的取值范围为(1,5].故选D. 则数形结合可知a>0或a<一2.故选D. 5D【解折1由题可知号-管+音=受，所以T=, 所以w=纤=2，所以f(x)=cos(2x十p),所以 (告)=(+)=一号，所以等+g=警+ 2kx,k∈Z或等+9=若+2x,k∈.所以9=吾十 2kx,k∈Z或p=受十2kxk∈么，因为0<9<受，所 8B【解析】令f(x)=0,则[x]+1-=e- 以9=，所以f(x)=cos(2x+)小，令2k≤2x+ 记g(x)=e-h(x)=[门+1-，则gx)与 h(x)的交点个数即为f(x)的零点个数.当0≤x<1 吾≤2k红十k∈么.则x-登<<kx十晋k∈五.所 时，h(x)=[x]+1-x=1-x,则h(x)∈(0,1]. 数学（三） 参考答案及解析 又因为h(r+1)=[x+1]+1一(x+1)=[x]+111.ACD【解析】对于A,梭长为3dm的正方体的外 一x=h(x),所以h(x)是周期为1的周期函数.注 接球的直径为3v3dm<6dm,所以A正确：对于B, 意到g(x)为单调递减函数，且g(一1)>1，g(0)∈ 因为正四棱台的下底面是边长为3√反dm的正方 (0.1),g(2)>0,g(3)<0,作出g(x)与h(x)的 形，其对角线长为6dm,此时正四棱台下底面的外 图象如图， 接圆恰好为球的大圆，因为正四棱台的体积V=马 3 ×(8+18+V8x8)h=婴=32，解得4=智即 正四棱台的高为智dm,因为边长为2厄d加的正方 形的外接圆的直径为4dm,用平行于大圆的平面截 所以g(x)与h(x)有两个交点，故f(x)的零点个 球得到截面小圆，当该圆的半径为2dm时，其圆心 数为2.故选B. 到球心的距离为，后dm<智dm,所以B错误：对于 二、选择题 C,由对称性可知当球心到一平面的距离为2dm 9.AD【解析】因为|a|=2|b=2,所以|a|=2, 时，该平面截球所得圆的半径为√3一2=5>2， |b=1,所以a·b=|a·|b|cos(a,b)= 所以C正确：对于D,因为所有棱长均为3v互dm的 2cos(a,b)=1,所以cos(a,b)=z,又(a,b》∈ 正四面体可以补成棱长为3dm的正方体，由A可 知该正方体可以放入球体容器内，所以所有棱长均 [0,x],所以(a,b)=牙，所以A正确：a-b 为3√2dm的正四面体可以放人球体容器内，所以 √(a-b)=√Ta-2a·b+bF=√4-2X1+I D正确.故选ACD. 3,所以B错误：(a-2b)·(a+b)=a2-a·b-2b 三、填空题 =4一1一2=1≠0，所以C错误；b在a上的投影向量 12.7536【解析】设该圆锥模型的底面半径为，所以 为·日=宁4，所以D正确：放选AD 2πr≈2×3.14r=188.4,解得r=30cm,所以该模型 的表面积为S=r(r十1)≈3.14×30×(30十50)= 10.ACD【解析】由题意可知X~B(5,3),所以 7536cm2. 13.[15,25]【解析】设椭圆C的右焦点为F′.由椭圆 Px=3)=C×()'×(1-吉)广-0D0 的定义得|PF|+|PF|=20,则|PF|=20 =5×号×(1-子)=号故A正确，B错误：一次 IPF|,所以|PF|+IPQ=|PQ|-IPF|+ 20,又Q(4,3),F(8,0),所以1PQ1-PF11≤ 实验中，A,B两处至少遇到一次红灯的概率为1 |QF|=5,当且仅当P,Q,F三点共线时取等号， (1-吉)1-p)=号+号p,放C正确：当p=号 所以-5≤|PQ-|PF|≤5，则15≤|PF|+ PQ≤25，即PF|+|PQ的取值范围 时一次实验中没有遇到红灯的概率为(1一号)× 为[15,25]. (1-号）=号，遇到一次红灯的概率为言× 【解析】：f(x)=x十lnx,x>0.∴(x)=1 (1-号)+(1-号)×号-石·遇到两次红灯的概 +上>0，：(x)在(0，+∞)上单调递增，由 串为了×号-是放一次实验中渴到红灯次数的数 f(x)=f(ln),得x1=lnx,且x>0,x>1, 学期望为0X号+1×名+2×是-品所以E) 7 小7--2语令g-2z>1u) x x =ln工，则当x∈(1，e)时，g(x)>0:当x∈ =5X号-号，放D正确放选ACD 2x2 (e,十o∞)时，g(r)<0,·g(x)在(1，e)上单递 ·2 信息卷B 数学（三） 增，在(e,十o∞)上单调递减，.g(x)m=g(e) 六：即号的最大值为六 1 四、解答题 15.解：(1)设等比数列{am}的公比为g(g>0). 由logsa十log as十log:as=3, 得aaa=8,即a=8, 所以a2=2, (3分) 又au十a1=10, 因为PA=PB=√2，AB=2, 所以PA⊥PB. 所以a4=8, 所以OP=OA=OB=1, 所以09= 因为∠BAC=30°，AC⊥BC, a1g=8 解得/a1 所以an=2-1 (6分) 所以BC=1,AC=8,00=号 (6分) (2)由(1)可知a.=21, 所以A={n∈N|16<a.<512}={n∈N116< 所以A(-00）c(0.0）小P(0,21) 2-1<5121={u∈N|5<n<10}=(6,7,8,9}. B(停1.o (8分) 不妨设b,b∈A,b≠6， 因为成=2成.所以（停号，号）》 当6=6时，6，可取7,8,9， 则1值的和为3×6+(7+8+9)=18+24=42： 所正=(9，号，号)a0=(50.0).9分 当b=7时，b可取8,9， 设平面ACE的法向量为n=(x,y,x). 则1值的和为2×7+8+9=31： n·AE=0 当b=8时，b可取9， 则 ,即 9++号=0 n·Ac=0 则1值的和为8+9=17， (12分) 3x=0 所以所有1值的和为42+31十17=90. (13分) 取x=1,得n=(0,-1,1), (11分) (或所有1值的和为C×(6+7+8十9)=90.) 易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1). 16.解：(1)因为P0,AC=0.P0.BC=0, (12分) 所以PòLAC,POLBC. 设二面角B-AC-E的平面角为0，由图可知0为锐 即POLAC,PO⊥BC (2分) 角， 又AC∩BC=C,AC,BCC平面ABC, 1② 所以PO⊥平面ABC. (4分) 所以cos0=|osn,m|=Tn,1m2X1? n·m (2)由(1)可知PO⊥平面ABC, 所以二面角B-AC-E的余弦值为号， (15分) 因为ABC平面ABC, 17.解：(1)因为f(x)=co8x十x2+e-2,x∈R, 所以PO⊥AB, 所以f(x)=-sinx+2x十e'. 因为PA=PB,所以O为AB的中点， 令g(x)=-sinx十2r+e,r∈R, 取AC的中点O1,连接OO,则OO∥BC, 则g'(.x)=-cosx十2+e>0, 又AC⊥BC,所以AC⊥OO, 所以g(x)在R上单调递增， (3分) 所以AC,OO,PO两两垂直， (5分) 则以O为原点，OC,OO所在直线分别为x,y轴， 又g(0)=1>0,g(-1)=sim1-2+1<0. 以过点O且与OP平行的直线为：轴建立如图所 所以3x∈(-1,0)，使得g(x)=0, (5分) 示的空间直角坐标系， 所以当x∈(-∞，x)时，g(x)<0,即f(x)<0: 3 数学（三） 参考答案及解析 当x∈(xo,十oo)时，g(x)>0,即(x)>0, 即E00<智 (15分) 所以f(r)在（一o∞，x)上单调递减，在(x,十o∞）上 单调递增， 所以此方案的最高费用为1000+30×80=1800< 所以f(x)在其定义域R上不单调. (7分) 2000元， (2)f(x)≥x等价于f(x)-x≥0， 所以上述测试方案不会超出预算， (17分) 令p(x)=f（x)-x=cosx+x2+e-x-2.x∈R, 则9(x)=-sinx+2r十e-1, (9分) 19.解：1)由题意可得T(2p,±2p),F(号，0)小，准线 令t(x)=-sinr+2x+e-1,x∈R, 方程为x=一台 (1分) 则(.x)=-cosx+2十e>0. 因为△STF的面积为4，p>0, 所以t(x)即(x)在R上单调递增， (11分) 又9(0)=0， 所以号·p2p=4. 所以当x∈（一∞，0）时，g'(x)<0,g(x)单调递诚： 所以p=2, 当x∈(0，十o∞)时，'(x)>0,g(x)单调递增， 所以抛物线E的方程为y一4无 (3分) (13分) (2)由过点P的两条不同的直线，m分别与E交于 所以9(.x)≥e(0)=1+1一2=0， 点A,B和C,D,得直线l,m的斜率存在且不为0， 即f(x)-x≥0， 故设直线1，m的方程分别为x十1=，(y一1)，x十 所以f(x)≥x得证. (15分) 1=k(y一1)，k≠k,kk:≠0 (4分) 18.解：(1)由题意知，每名学生首轮测试被认定为需参 1 加“一类体能训练”的概率为C号p(1一p)十Cp, ①1的斜率的绝对值为。 3 ak|=3. 3 (2分) (5分) 每名学生再次测试被认定为需参加“一类体能训练” ②设点A,B,C,D的坐标分别为(y)(i=1,2,3, 的概率为Cp(1一p)[1一(1一p)2门， (4分】 4), 所以每名学生被认定为需参加“一类体能训练”的概 x十1=k,(y一1) 联立 ,得y2一41y+4(k1+1) 率为f(p)=C号p2(1-p)+(C月p2十C时p(1-p)2· y2=4x [1-(1-p)]=-3p+12p-17p3+9p.(6分) =0 (2)设每名学生测试的费用为X元， 则4=(-4k)2-16(k1+1)>0.即-k,-1> 则X的可能取值为20,35， 0.得>5或6<12 2 则P(X=20)=1-Cp(1-p), y十=4ky2=4(k1十1)， (7分) P(X=35)=Cp(1-p)2, (8分) 所以|PA·|PB=√+|y-1|· 所以E(X)=20×[1-Cp(1-p)2]+35×Cp(1 -p)2=20+45p(1-p)2. (10分) √1+|为-1| 令g(x)=20+45x(1-x),x∈(0,1) =(1+好)|”-(y+)+1|=5(1+), 同理可得|PC·|PD川=5(1十经)， (9分) 则g'(x)=45[(1-x)-2x(1-x)] 因为|PA|·PB=|PC|·PD, =45(3.x-10(x-1), 所以5(1+k好)=5(1十)， 所以当x∈(0，号)时，g(x)>0:当x∈（号1）时， 又k≠k:,所以k:=一2， g'(x)<0 即|PA·|PB|=|PC|·|PD|k+k=0. (11分) 所以g(x)在(o,号)上单调递增，在（号，1）上单 ③取u=(k1,1),=(k2,1)分别为直线l,m的方 调递诚 (13分) 向向量， 所以g≤s(合）=20+5×号×(1-吉)》广-婴 因为∠APC=晋， 4 信息卷B 数学（三） 所以eos∠APC=Tu·√E+T·V+百 u·v kk:+1 k=- k=√5 ③ 3 解得 (舍)或 或 (舍) k=一5 3 所以(k+1)(十1)=4(kk:+1)2, k=-3 所以好十k号一2k1k:=3k十6k1k+3, 或 k=3 即(k1-k2)2=3(k1k2十1)”， 所以①成立， 所以|k1一2|=V3|k:+1|, 即由②③可以推出①成立. (17分) 即∠APC=专台k-|=51k:+1.(14分) 选①③作为条件： 选①②作为条件： 由①③成立得，=3且k一：= 由①②成立得，k=v3且k1十2=0， 3|kk+1| 不妨取k1=√3，则：=一3， 解得，=5（合）或 k1=V5 或=（） 所以|k-k2|=235|k1k+1|=23, 6=0 k=-3k=0 所以|k一k|=V5|kk2+1|, k=一③ 或 即由①②可以推出③成立。 (17分) k2-√3 选②③作为条件： 所以②成立， 由②③成立得，k1十k=0且|k:一k2= 即由①③可以推出②成立， (17分) 3|k2十1|， ·5