2024年新高考数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（B）02

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 2tn15 6.设a-cosa'-in3 1-cox2 1-二 2 .则 数学(二) A.. C.r B D. 7.将1.2.3.4.5效入到A.B.C三个空集中构成三个非空的新集合A..B.C..若要求 本试卷共1页,10题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 A.28 不放入集合C中,其余的元素任意放置,则A.B,C的不同种数为 B72 注意事项: C. 100 D.18 1.答题前:先将自色的姓名,考号等填写在答题卡上:并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 (一c)十y一Ac(0)与:轴的右交点为P,与y正半辑交于点Q,线段QF。与 涂黑,写在试题卷,草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 C交于点R,QF.的中点为8.若F:R/PS,则C的离心率为 3.填空题和解答题的作答,用答字笔直接写在答题卡上对应的答题区成内,写在 C.141 A.2 B.2/短 D.2 &题卷,草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本达题卷和答题卡一并上交。 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一 题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 项是符合题目要求的。 9.已知向量a-(1,z),b-(r+1.-2).则 1.已知集合A-10.2.1.B-10.1.2ia.若A-B.则a- A.B.-b A.-1a B-1或1 D.-1 二] BrER.a/h 2.设复数-满足l.一2+i|一3.:在复平面内对度的点为(r,y),明 C. c-B.ab A-2+(-1-3 B(r-2+(-1-! C(r-2+(+1-③ D. 当r-2时,a在上的投影向量为(3) D(-2+(十1-0 3.已知数列a中a--1-2-4-1')则- 10.中国的56技术世界领先,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式;C 2 D.1 )) B.③ Wloe:(1t).它表示:在受音于抗的信道中,最大信息传递速度C取决于信道 4.函数/()一P0:的部分图象为 带宽W.信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯声功率N的大小,其中a-S 称为信噪比.当11000时,公式中真数里面的1可以忽略不计,即C一WlogA.若 A.当W-W-W.时,C+C.-Wlog.0.十-) C.-Wlg*.C-Wlog.则 B.当W-w.-W。时.C-C.一W.log-A) C.当W一W-W时.cc W.log(.) D. 5.已知函数fz)一cos(ar十e)(0.e(一,0))的部分图象如图所示,将f(r)的图 象向左平移-个单位长度后得到y一g(r)的图象,筹g(-)- 11.在正四杜ABCD-ABCD 中.AB-2.AA-4.C$-:BA+AA A. co8 0.[0.1).则 B.sin A.点P所在区域的面积为4 c.sn{) B.当&--时,AP-3 D.0o({-) C.当-1时,存在a使得CPIAB D.当a一1时,三梳雄C一ACP的体积为定值 数学二]第1页(共4页) 水全卷·先享题·健息 数学(二)第:页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 17.(本小题分15分) 12.如图所示为某公益团体成员的年龄的率分布直方图,若从左边的前3组中用分层 (1)当a(-,0][]时,讨论/(c)极值点的个数: 已知涵数fr)xlnr-ar,gtz)--ar+1.(rì=f(r)+g) 抽样的方法共抽取14名成员去参与某活动,则在左起第2组中抽取的人数 (2)当a1时,关于r的不等式()(e一1)a一3e+3在(1.十一)上有解,求 的值范. 0 _ 0~2033504年 13.若直线经过原点0且按因C:(一2)+(一3一16截得的落长为43;则/的 一般式方程可以为 .(写出其中一个即可) 18.(本小题满分17分 -'的图象分别切于点A,B.则点B的坐 A.B两人进行一场发谊赛,赛前每人记人3分.一局比赛后,若决出胜负,则胜的 14.已知直线(与函数f(r)一,(r)-- 一方得1分,负的一方得一1分;若平局,则双方各得0分,若干局比赛后,当一方首先 标为 累计得分为8时,比赛结束且该方最终获胜,由以往比赛结果可知,在一局中A胜的概 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 率为0.5.B胜的概为03 15.(本小翻分13分) (1)第一局比赛后,A的累计得分记为X,求X的分布列和期望 已知等差数列a.的前”:项和为S..且S-16.-7. (2)若P:表示”在A的累计得分为;时,最终A获胜的概率”. ()求到的语项公式 ①写出i的取植集合与P,P。的值 (2)若一·2,求的前:项和了。 ②写出数死P中连续三项的确推关系式:并求出P的简.(结果保招指数赛 16.(本小题满分15分 19.(本小题满分17分) 在四锥P一ABCD中,底面ABCD是边长为?的正方形:且/PAB/PCB 已知点M在O+y-4上,作MN1r特交-输干点N.设MP-PN (1)求点P的软迹C的方程 (2)已知Q(](≠0)在C内,B(0.1),B(0.,-1),直线BQ,BQ分别与C相 (1)证明:PDIBD: (2)若E为PC的中点,PA一4.求直线PB与平面ABE所成角的正弦值 直范图 数(二)第1页1共4页 数(二)第3页(共4页】 水金卷·先享题·信息卷 回信息卷B 数学（二） 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷B·数学（二） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M,应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ④ G 档次 系数 1 选择题 由集合相等求参 易 0.82 2 复数与点的轨迹的 选择题 易 0.78 综合 3 选择题 5 周期数列的应用 易 0.70 4 选择题 5 函数图象的识别 % 0.60 余弦型三角函数的 5 选择题 5 中 0.55 性质（不涉及零点） 选择 半角公式的应用 中 0.40 1 计数原理的应用（涉 选择题 5 中 0.32 及分组分配问题) 8 选择题 5 双曲线与圆的综合 难 0.25 9 平面向量的坐标 选择题 6 易 0.70 运算 对数型函数的实际 10 选择题 应用（涉及社会热 中 0.65 点) 11 空间向量与立体几 选择题 6 难 0.25 何的综合 12 填空题 分层抽样的应用 易 0.85 和直线与圆有关的 13 填空题 5 公 0.50 开放型填空题 利用导数研究两曲 14 填空题 中 线的公切线 0.35 等比数列与等差数 15 解答题 13 列的综合，错位相减 中 0.60 法求和 1 信息卷B 数学（二） 以雏体为载体，线线 16 解答题 15 垂直的证明，求线面 √ 中 0.55 角的正弦值 讨论含参函数的极 17 解答題 15 值，由不等式有解 b % 0.45 求参 全概率公式，分布列 与数学期望、概率与 18 解答题 17 难 0.26 数列的综合（情境 题) 与椭圆有关的轨迹 19 解答题 17 问题，求参数的取值 V √ 难 0.25 范围 ·2· 信息卷B 数学（二） 参考答案及解析 数学（二） 一、选择题 三组共有CCC=6种方法，再将三组分配到三个不 (a=1 A号 L.B【解析】因为A=B,所以 l21al=2∵解得a 同的集合共有A=6种方法，所以此类情况共有2× 士1.故选B. 6×6=72种方法.综上，A1,B,C的不同种数为28 2.D【解析】因为x在复平面内对应的点为(x,y),所 +72=100.故选C 以=x+yi(x,y∈R),则|(.x-2)+(y十1)i川=3， 8.C【解析】在圆(x-c)2+y2=42中，令x=0,则y 即(x一2)2十(y+1)2=9.故选D. =士3c,所以Q(0,W5c),则tan∠QF,F: 3.B【解析】因为aa.=1,所以a,=1= 1 tam∠QF,F=3c=3,故∠QF,F:=∠QF,F, an,因此当n∈N”时，aw+4=an,即数列{a.}是以8为 号，所以△QF,F,为正三角形，在圆(x一c)+y= 周期的周期数列，所以a:=a的+1=a1=3.故 42中，令y=0,则r=-c或x=3c,所以P(3c,0), 选B. 令RF,|=t,则RFI=1+2a,因为在△RF,F中， 4.B【解析】因为f(x)=rcos x为奇函数，所以排除 ∠RF,F=苓，则由余弦定理得RF,P=RF,F+ A.D,当0<r<受时，f(x)=cos>0,所以排除 C.故选B. 1F,FP-2RFl·FF:lcos受，所以(t+2a)2 5A【解析】由函数f(x)的部分图象得工= 51 44 +(2c)-24·2·合，所以1=2，即 2a+c =1,所以。=又0)=号所以cmg=竖，因为 F,R=2),因为F,R∥PS,F:为F,P的中 2a+c ∈(-x,0),所以9=一不，则f(r)=c0s(z 点，所以R为FS的中点，所以F,R=QF= 于），则由题意知g()=o[x(+）-平] FR,1=专，所以2分2=气，解得=台= 2a+c cos元2，故选A 1十区故选C 3 6.C【解析】由题得a=cos231°-sin31°=cos62°< 二、选择题 cos60°=号 1-tan15-tan30=3 2tan 15 ，所以< 9.ACD【解析】对于A,由|a=|b°，得1+x2 (x十1)十4，解得x=一2，所以A正确：对于B,由@ /1-cos92 /1+cos88 2 2 =cos 44> /6,得，克奇即2++2=0.因为∈R+ os5-号，所以a<K故选C x十2≥子，所以a/b不成立，所以B错误：对于C,由 7.C【解析】①5单独放入一个集合：共有C生=2种方 a⊥b,得1·(x十1)-2.x=0.解得x-1,所以C正 法，再将其余4个数分成两组共有9+心=1种方 确：对于D,当x=2时，a=(1,2),b=(3,一2)，所以 法，再放入另外2个集合共有A=2种方法，所以此 向量a在向量6上的投影向量为6治·6 类情况共有2×7×2=28种方法：②5不单独放入一 个集合：共有C一2种方法，然后将其余4个数分成 (一是，忌)，所以D正确，故选ACD 1 数学（二） 参考答案及解析 10.CD【解析】对于A.当W,=W:=W。时，C+C 三、填空题 =Wlog:(入A2),所以A错误：对于B,当W,=W 12.7【解析】因为左起的前3组频率之比为0.01： =W,时，G-C=,6g名，所以B错误：对于C 0.07:0.06=1:7:6,所以左起第二组抽取的人数为 当W,=W:=√Wa时，因为≥1000(i=1,2),所 +7+6X14=7. 以CG=W,log log::≤w,(ogA十ogd)' 13.5.r-12y=0(或x-0)【解析】由直线1经过原点 O,可设1的方程为y=kx,由已知得C到I的距离 w(logA2)=w,oa),所以C正确：对 2 为√不-(25)=2，所以26-3=2，解得= 于D当m时哈-所 √1+k ,即1的一般式方程为5r-12y=0,检验得y轴 5 以D正确.故选CD. 11.BD【解析】因为C市=AB才+：AA 被C截得的弦长也为4，所以1的一般式方程也 (a∈[01])，所以Cp=入C市+2CC 可为x=0. (入，a∈[0,1]).对于A,P点所在区域为侧面矩形 14.(-2,-1)【解析】设A(4),B(x, CDDC,其面积为2×4=8，所以A错误：对于B. 以A为坐标原点，AB,AD,AA,所在直线分别为 十），过A且与f()图象相切的直线斜率为 r,y,轴建立空间直角坐标系，则A:(0,0,4), B(2,0,0),C(2,2,0),则BA=(-2,0,0),AA ,所以切线l的方程为y一c=e(x一).即y =ex十e1(1一x),过B且与g(x)图象相切的 (0,0.4),则C户=(-1.0,2)，则P(1.2,2),所以 A,P=√+2十(-2)丁=3，所以B正确：对于 直线斜率为一之，所以切线1的方程又可以为y C,当4=1时，C市-Ci+CC,所以C户=ACD, 1 了， 所以此时P点为线段CD,上的动点，又 C(2,2,4),D,(0,2,4),则Cp=CC+aC4D 1 e1= 22, (0.0,4)+1(-2,0,0)=(-2x,0,4),因为 所以 经过检验1=0，x:=一2 1 B1(2,0,4),所以AB,=(2,0,4),若存在1使得 c(1-x1)= CP⊥AB,则-4以+16=0，所以A=4任[0,1]，所 1 以C错误：对于D,当A=1时，CP=C方+CC,所 2 满足 由函数f(x)=e,g(x) 以D市=：CC=:DD,即此时P为线段DD,上的 1 e1(1-x)= , 动点，三棱锥C,一ACP的体积即为三梭锥P一ACC 的体积，因为DD,∥CC,CC,二平面ACC1,所以 1的图象观察得，这两个图象有唯一的公切 DD∥平面ACC,所以P到平面ACC:的距离为 e= 定值，所以三棱锥P一ACC,的体积为定值，所以D 2, 线，即 有唯一一组解，所以点B 正确.故选BD. 1 e1-x)=才x 的坐标为(-2.-1). 四、解答题 15.解：(1)设等差数列(am}的首项为a1,公差为d, 由S,=16,a4=7, a+24=16 得 (2分) a1+3d=7 解得a1=1,d=2, (3分) 所以数列{a.}的通项公式为a.=2n一1.(4分) ·2 信息卷B 数学（二） (2)由(1)得6.=a。·2“,=(2n-1)·2-1,(5分) (0,2.0) (11分) 所以T.=1×2+3×2+5×2+…+ 设平面ABE的一个法向量为n=(T,yz), (2n3)2m-8+(2n-1)22-1, 所以 n…A市=-2x十y+3:=0 所以4T,=1×22+3×23+5X2+…+ n·AB=2y=0 (2n-3)22-1+(2n-1)2+1. (9分) 令x=, 相减得-3T.=1×2+2×2+2×2+…+2· 则n=(5,0,2) (13分) 22-1-(2n-1)22m+1, 设直线PB与平面ABE所成的角为0， 所以-37.=42·4-2-(2m-1)24,（12分 B.n -25 1一4 所以sin0=|cos(PB,n)| 1PB11n25×7 所以T=(6m-5)21+10 9 (13分) =y105 35 16.解：(1)因为底面ABCD是正方形， 所以AB⊥AD. 故直线PB与平面ABE所成角的正弦值为√ 35 因为∠PAB=受 (15分) 17.解：(1)由题得(x)=lnx+1-2ax,x∈ 所以AB⊥PA, (0,+∞)， (1分) 因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, 设4(x)=lnx十1-2ax, 所以AB⊥平面PAD, 因为PDC平面PAD, 则d(x)=1-2a=1-2au 所以AB⊥PD, ①当a∈(-o,0]时，H(r)>0,即u(x)=f(r) 同理BC⊥PD, (3分) 单调递增， 因为AB∩BC=B,AB,BCC平面ABCD, 因为x→0时，f(x)→-∞：r→十∞时，f(x)一 所以PD⊥平面ABCD, 十6∞， 又BDC平面ABCD, 所以了(x)有唯一的零点， 所以PD⊥BD. (6分) 所以f(x)有一个极小值点，无极大值点， (2)因为底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD, f(x)极值点的个数为1： (3分) 所以DA,DC,DP两两垂直. (8分) ②当a∈[子+o)时， 以点D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴， y轴，：轴建立空间直角坐标系， 令4(x)=0,得x一a 当xe(0,六)时，dx)>0,即a(x)=f(x)单 调递增： 当xe(合+e∞)时d(r)<0,即u(x)=f(x) 单调递减， 所以了(x)n=∫（品）=lna<0, 所以∫(x)在定义域上单调递减， 故f(x)极值点的个数为0. (6分) 因为PA=4, 综上所述，当a∈（一∞，0]时，f(x)极值点的个数 所以PD=√PA-AD=23, 为1： 所以P(0,0,23),B(2,2,0).Pi=(2,2,-23) 当ae[是，+o∞)时f(x)极值点的个数为0， A(2,0,0).E(0,1w3),A2=(-2,15).Ai (7分) 3 数学（二） 参考答案及解析 (2)由题得h(x)=xlnx一ar十1， 所以P1-P,=(g)广P,-P.)=0.1.2…5. 由'(.r)=lnx+1-a=0,得x=eI, 当x∈(1，e-)时，(x)<0: 所以∑(P-P)=】 [(g)-R)] 当x∈(e1,十o∞)时，'(x)>0, (14分) 所以h(x)在(1，e-l)上单调递减，在 (e1,+∞)上单调递增， 所以h(x)mmn=h(e-1)=1-e-1, (10分) 所以P-B=(P一P). 1- 因为当a>1时，关于x的不等式h(x)<(eI)a -3e+3在(1，十∞)上有解， 是-()】 所以1-P=P· 所以只需1一e-'<(e-1)a-3e+3成立， 3 1 即不等式e-1+(e-1)a十2-3e>0成立.(12分) 2×5 令k(a)=e1+(e-1)a+2-3e, 所以P一-3 (17分) 则'(a)=e-1十e-1, 19.解：(1)设P(x,y),M(xe), 显然k'(a)=e-1+e-1>0在a∈(1，+eo)上同 因为MP=P衣， 成立， 故k(a)在a∈(1，十o∞)上单调递增， 所以π %=2y (2分) 又k(2)=0, 因为点M在圆O:2+y2=4上， 所以a>2, 所以x6十听=4， 故a的取值范围为(2，十o). (15分) 所以x+(2y)=4, 18.解：(1)平局的概率为1-0.5-0.3=0.2， (1分) X的所有可能取值为2,3,4， 则点P的镜迹C的方程为号+y=1。 (4分) P(X=2)=0.3, (2由B(0,1).Q(,号）≠0，可得直线BQy P(X=3)=0.2, P(X=4)=0.5. 27x+1, 则X的分布列为： 代入号+y=1,整理得(+1)2-4r=0:6分) X 2 3 4 41 0.30.20.5 解得x一十行 2-1 (3分) 则一+T E(X)=2×0.3+3×0.2+4×0.5=3.2. (4分) (2)①由题得i的取值集合为(0,1,2,3,4,5,6， 所以（书》： (6分) Pa=0,P4=1. (6分) ②在A累计得分为i(i=1,2,3,4,5)分时， 同理直线B,Qy一-1 下局A胜且最终A获胜的概率为0.5P+1, 代入号+y=1,整理得(+9)2-12r=0, 在A累计得分为i(=1,2,3,4,5)分时， 12t 下局平局且最终A获胜的概率为0.2P, 解得x一十9 在A累计得分为i(i=1,2,3,4,5)分时， 则y⅓= 9-2 下局A败且最终A获胜的概率为0.3P-1, 2+9 根据全概率公式得P=0.5P+1+0.2P+0.3P-1· 所以s(): (8分) 则5P+1+3P-1-8P,=0. (10分) B Q 所以QRT +1 即P1-P=是(P-P-)i=123,45) 3-T 4 信息卷B 数学（二） 121 解得1≤一1或≥1， (14分) SQ 12+9 |3-2 QB. r+9 (9分) 又因为Q(,号)(1≠0)在轨迹C内， San 1QB,l·Qs·sm∠BQs 所以S, 所以导+<1， 71QB:·1QR|·sin∠AQR 解得-√<1<√5， =1QB.JQsL=P+1.13-2=2+1 TQRTQBTT3-T·+9+9 所以∈(-√3，-1]U[1w3) (12分) 所以t的取值范围为（一√5，-1]U[门5）. 因为二之分 (17分) 所生书 ·5