2024年新高考数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（A）04

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 5.为响应国家号召，某单位积服开展全民健身运动.为了解本单位男、女职工全民健身 数学（四】 运动的情况，采用分层随机抽样的方法从男，女职工中分别抽取了0人0人，并统 计了他们每周的健身时长（单位，h).经统计，男职工每周健身时长的平均数为8，方 差为2，女职工每周健身时长的平均数为7，方差为1.2，则在这个样本中，该单位职 本试卷共4页，10题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 每风健身时长的方差为 注意事项： A.1.82 B.1.98 1,答题官，先得自怎的数名，考号等填写在答题卡上，并准考证号条形码给贴在 C.2.12 D.2.3 答超卡上的指定位置， 2.湛择是的作答：选出每小想答紫后，用B畅笔记答则卡上对应题日的答标号 6.已ma,e(0,2eos(2a—2)-5 s后期ina+》 涂累，写在试题意，草稿领和答是卡上的非答赠区战均无处。 3,填空是和解答见的作答：用签宇笔直接写在答题于上对户的答题区战内。写在 A君 B等 c 02 以题卷，草鸡酰和客题卡上的非答疑区城均无数。 7.轮船在询平面上航行时一般是通过发送电磁被信号来实现定位的，发透电道被信号 4,考这站来后，请将本认题裹和答题卡一开上文， 后，根据两个基站接收信号的时间差，便可定位轮船在海平面上的大瓶位置，已知日 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小篮给出的四个选项中，只有一 基站在A基站的正东方向30km处，一卷口M位于A,B基站之间，且与B基站的距 项是符合题目要滚的。 离为3k,现有一望轮船从港口M出发沿看东北方向航行一段时间后到达P处，并 1已知一2-i.则产三 在P处发出电盘波信号，B基站接收到该信号后，经过8×10。A基站才接收到该 信号.已知电酸液在空气中的传精速度为3×10km/4,则点P与港口M间的距肉为 c+ n名 A.l0g km B.216 km 7 C.2 km 7 D.302 km 2.已知集合U-《一1,0,1,2,3，A=z∈Ny-2-F,B=(xEZz1,则图 中阴能部分表示的集合为 6已知4-n1.26-名一e-1.则 A.1-1} A.ace Bc Crc<tEo D.(<w<6 B.{-1.0 二，选择题：本题共3小题，每小露6分，共18分。在每小题始出的选项中，有多项符合 C.0,1,2 题目要求。全部远对的得后分，锦分远对的得部分分，有远错的得0分。 D.4-1,0,1 9,已知向量a一(0风s,1).b=(2.-in,则 3,函数()的幕分图象如周所示，则《士的解析式可能为 A.a十b=4 B.a+6[-3.w3] A.fx1-=。 C.不存在，使得a∥b D).当a⊥b时，0为锐角 4r-3 )- 10.记S,为等差数列{u,的前n项和，若a>0.且4w“4一4，则 ca=品 D.R)=Trl-1 A,4g=0 B.Su-0 C,8=S D)瞥S,取最大值时，对=8或7 山.已知精国C,号+管=目的左，右然点分别为F.F,过点B的直线1与C交干A,B 两点，期 A,△AFB的长为12 且当AF-球，时AB-号 第1题 第4想 C等1的斜率为1时弦AB中点的坐标为（信一） 4,如图，周柱的轴截面为矩形ACD,点O为CD的中点，点E在下底面莉周上，且E D.当1的斜率为2,2时，△AFB的国积为1 一2AE.AB-2.AD一，，异面直线(OA与CE所成角的余弦值为 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 A号 c DH 12.(+2一的聚开式中子的系数为 (用题字作答》 数学四引第1页（共4页） 衡水金参·光章趋·信息难 数学（图】第2页（共4页 国 13.已点P在图C,:2十y=4上运动，点Q在混C::(x一)2+《y一3》=1上坛动， n(ad-be) 则线段Q长度的取值范用为 ,用区问表示) 附父=a++dae6时其中=+件十d 14.加图，将一个闭形花增分阁成10个地块，觅往每个地块中播种花卉的 0.10.060.010.0050.001 种子，播种规期如下：先从地3,10中任选1个地块插种，之后得齿 不.27003.州416.657.87910.828 随机达一个未插种且与上次所播种的地块不相邻（即没有公共边）的 感境进行插种，当地块6桶种后停止播种，记此时已桶种的地换数为 X,期华件“X=3”的慢率为 四，解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步豫。 17,(木小题满分15分》 15,(本小题满分13分) 如图，在多而体ABCDEF中，AD⊥平面ABEF,BCAD,BE∥AF,AF=AD= 在①(2b一c)0nA=ge0xC③y3(0-#0wC)=(HA,os2C+auw2B-0s2A1 AB=2C=2BE=2,DE=3,G为陵DE的中点. =1一2 sin Bsin C,这三个条件中任选一个，补充在下面的间题中并鲜答. 《1)证明，平面BDE1平面ACDE 记△ABC的内角A,B,C的对边分期为a,b,r,已知 (2),求点F到平而ACE的距离： 《1)求证：B十C-2A: (3)求FG与平面ACE所成角的正弦值 (2)若#=4，△ABC的面积为2，写.求十c的值 注：如果选轻多个条件分别解容，则按第一个解答计分 18,【本小舞分17分) 16.(本小愿牌分15分) 已知抛物线C:y=4r的霜点为F,过点P(3,0)的直线1与C交干A,B两点，且 2023年9月23日至10月8甘，第19届亚洲运动会在我国杭州举行，这是我国维 AP-P万. 北京，广州亚运会后第三次举办亚运会，新江某市一调研机构为了解本市市民对“亚运 (1)当1=2时，求1的斜率： 会”相关知识的认知程度，举办了一次“重运会”网洛知识竞赛，满分10分，无从参加了 (2)设直线AF,BF分划与C交于点G,H,1与直线GH的顿斜角分别为品.求 竟赛的男、女市民中各随提抽取了10名市民的意赛成绩作为样本进行数据分析，戏这 证：lwn=3ana. 100名男市见的竞赛成续选行统计后，得到如图所示的辄苹分布直方图. 02 19.(本小题满分17分》 设P是平面直角坐标系Oy内的一点，曲线厂是函数y=x)的图象，若过点P 0004:=■ 05060700010间或质（分1 价能作曲线T的条切线（∈N),则你P是函数y=f(x)的“度点， 《1)现规定成简不低于80分的市民获优秀奖，若女市民样本中获得优秀奖的人数 (1)判撕您点)与点A(2,1)是否为雨数(r一c的1度点”，并说明理由： 占比为5%，薄依据小慢率值：=0.001的独立性校验，德否认为该市市民在这次知识竞 (2)者ga1=2(-哥<r<)证明：点0，受是函数k)的0度点” 赛中疾得优秀奖与性别有关？ 《2)为群动工作人员的积极性，该裤研机构针对机构内的甲，乙，丙三位工作人员也 (3》求函数A(r)=x一2x的所有2度点”构成的果合。 设置了一道集度较大的与亚运会有关的同题，答正确划奖威平板电越一台，已知甲， 乙，网三人中，甲，乙答对的复率分别为号，，甲丙两人都答对的数率为号，且每个人 答题是否正确互不影利.若规定甲，乙，丙三人举手抢答这道题，其中甲，乙，丙抢到答题 机会的概率分别为}·是，是·求这三人中有人获得平板电脑的餐常 数肇（四】第3页[共4页1 衡水金型·先享是·信息卷 数等（四》第4或I共4黄1 风信息卷A 数学(四) 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷A·数学(四 {命题要素一览表 注: 1.能力要求: I.抽象概括能力 II.推理论证能力 III.运算求解能力 IV.空间想象能力 V.数据处理能力 V.应用意识和创新意识 2.核心素养: ②逻辑推理 ①数学抽象 ③数学建模 ④直观想象 数学运算 数据分析 能力要求 核心素养 知识点 预估难度 题号 题型 (主题内容) 档次 ② ④ ③ 系数 复数的混合运算,涉 5 选择题 易 1 及共复数 0.82 数集间的混合运算. 1 易 选择题 , __ 心 0.75 涉及Venn图 由函数的图象选择 5 中 选择题 / 。 3 / 。 0.68 解析式 求异面直线所成角 5 中 选择题 / 。/ / / 0.65 的余弦值 分层随机抽样的均 5 ) 中 选择题 , / 。/ / 0.60 值与方差 / 选择题 中 倍角公式的应用 6 5 0.50 x 7 选择题 双曲线的实际应用 / 5 0.40 中 8 5 选择题 利用导数比较大小 0.35 6 向量的坐标运算,涉 中 选择题 0.70 及三角函数 等差数列的性质,涉 过 _ 10 6 / 中 选择题 。 及前n项和 0.58 直线与概圆的位置 选择题 6 中 / 。_ 关系 0.35 。 由二项式定理求特 12 易 填空题 0.72 定项的系数 圆与圆的位置关系 , 13 中 填空题 5 # 0.65 的应用 14 填空题 相互独立事件的概 中 5 / 0.40 率的实际应用 利用正、余弦定理解 15 13 解答题 易 三角形(结构不良 。 0.72 题) .1. 信息卷A 数学(四) 以频率分布直方图 为载体,独立性检 _ __ 16 15 中 解答题 0.60 验,全概率公式的 计算 以组合体为载体:证 明面面垂直,求点到 __ 17 15 & 解答题 0.40 面的距离及线面角 的正弦值 抛物线与向量的综 18 解答题 17 合,第2问为角度 难 0. 25 问题 19 17 解答题 新定义题 难 0.15 .2. 信息卷A 数学(四) ## 参考答案及解析 数学(四) 一、选择题 5.B【解析】在这个样本中,该单位职工每周健身时长 60 00×8+00 40×7-7.6.故方差为* 的平均数为:- -(2-)(1-)_-2-31i+i 60 60[2+(8-7.6)]+100 40 x[1.2+(7一 (1+i)(1-) 2 选B. 7.6)]-1.92.故选B. 6.D【解析】:cos(2a-2$)=2cos°(a-g)-1-25 2.A【解析】由题可知图中阴影部分表示的集合为 (A)nB,且A-(0,1,2),所以CoA--1,3). .g(0).e- 又B=(-1.0.1),所以(lA)OB=-1).故 .cos}(a-)= 选A. ().. cos(a-)= 3.A【解析】由图象可知该函数为奇函数,对于C. /(一x)=f(x),为偶函数,排除C:对于B,当→ 5 十时,f(x)<0,排除B;对于D,当x0时,f(x) #2。 #----.#(0)c# D.故选A. 4.C 【解析】取AB的中点F,连接CF,EF,AE,BE 则OC/AF,OC=AF,所以四边形OAFC为平行四 边形,所以OA//CF,所以ECF(或其补角)即为异 选D. 面直线OA与CE所成的角,易知AE1BE,因为EB 7.C【解析】以线段AB的中点O为原点,AB所在直 线为z轴建立如图所示的平面直角坐标系: -$ AE,所以乙BAE-,_ EBA-吾,又AB=2,$ *P 则$CE=BE+BC=3.CF=BF+BC=$7$$ 所以在△CEF中,由余弦定理得cosECF CE*+CF-FF*9+7-15V7 2CE.CF 2×3X7-,即异面直线0A 则A(-15,0),B(15,0),M(12,0).由题可知直线 7.故选C. PM的方程为y=x-12,设P(x,y),则|PA- PB=8$10$3$10-24<AB-30,所以$$ P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,其中a=12,( (##一# ,解得,一 300 .0 或12(舍),即 y-r-12 数学(四) 参考答案及解析 P$(30021é),听以 PM×30012|-_选 (r-1).A (x,y).B (x·).联立 {#}##一## 2162km.故选C. ,得(8+9)--18k^x+9-72-$ -(x-1) 18* 8.B 【解析】构造函数f(x)=ln(x十1)一x,x>-1. 9-72 0.则x十二 8+9{},: 8---: 则/()1 ,当-10时. (18{ (x+r:)-4rx:= 4(9-72) (8+9) #(x)>0,f(x)单调递增;当x>0时,/(x)<0. 8十9{ -48.对于C.设弦AB中点的坐标为 f(x)单调递减,所以f(x)<f(0)=0,即ln(x+1) 8+9 <r.所以x+1<e,所以ln(x+1)<x<e-1(当 且仅当x=0时取等号),所以ln1.2-ln(1+0.2) (ro,),则当=1时,x。-+9{9 2 8+9{-17 0.2<e*?-1,即a<c.构造函数g(x)=ln(x+1)- 所以x-x。-1-- (0.十o)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,故 的面积s-1FFl·1-)|-1y-y|- g(0.2)-ln(0.2+1)- 2\2 ×-x:1-182.D错误,故选ABC. 1,即b<a,所以b<a<c.故选B. 5 二、选择题 三、填空题 9.ABC 【解析】a}+b=cos^{θ十sinθ十3-4,A正确; 12.10【解析】(+2)(一一)的展开式中,含 a·b-2cosθ-sin6-3cos(θ+)E[-3.3],B 的项为C()(-o)”+2c》()(-) 正确;若a/b,则2--sin0cosθ,即sin20--22 <一1,所以不存在0,使得a/b.C正确;若ab,则a 10r*,其系数为10. ·b-/2cosθ-sin-0,则tanθ-2,此时e是第一 13.[2,8]【解析】由题可知圆C的圆心为C(0,0). 半径r=2,圆C的圆心为C(4,3),半径r=1, 或第三象限角,D错误.故选ABC. 则CC1- (4-0)+(3-0)-52+1-3,两 10.BCD【解析】设数列a。的公差为d,d子0,由a --a,得a+9d-3d,所以a:+6d-0,即a= 固相离,所以|PQ=|CC1+r+r=8. [PQlm=CC1-r-r.=2,所以线段PQ长度的 0.则a=a:+d-d去o,故A错误:S= 13(a+an)-13ay=0,故B正确;S-S.-a:=0. 取值范围为[2,8]. 14.10 【解析】由题意知“X一3”等价于“第三次在地 故S.-S,故C正确;由a0,a:-0,可知a:,a. 块6播种”,若第一次选地块3,则第二次可以在除 ...a.均大于0,d<0,则a<0,所以当S.取最大值 地块2,3,7外的7个中选择一个播种,要想第三次 时,n-6或7,故D正确.故选BCD 在地块6播种,则第二次插种需从地块1.4.8:10中 11.ABC【解析】由题得F(一1.0),F(1,0).对于 A,由概圆的定义可知,△AF,B的周长为AB |+ |AF |+|BF |=|AF |+AF |+BF|+ |BF -4a-12,A正确;对于B.当]AF ]=BF 时,AB 工轴,此时A,B两点的横坐标均为1,将 选地块10播种,则概率为0.综上,事件“X-3”的 1 10 。2. 信息卷A 数学(四) 四、解答题 16.解:(1)由频率分布直方图可知,男市民样本中获得 15.解:(1)若选①:由(2b一c)cosA=acosC 优秀奖的题率为(0.020+0.005)×10-0.25. 得2beos A-acos C+ccos A. 故男市民样本中获得优秀奖的有25人,未获得优秀 则由正弦定理得2sin Bcos A=sin AcosC+ 奖的有75人. (3分) sin Ccos A-sin(A+C)=sin B. 因为女市民样本中获得优秀奖的人数占比为5%. 又0B<x,所以sinB子0. 所以女市民样本中获得优秀奖的有5人,未获得优 秀奖的有95人, (3分) 得到如下列联表: 又0<A<x,所以A- (5分) 获奖情况 性别 (6分) 所以B+C-2A. 合计 获得优秀奖 未获得优秀奖 若选②:因为3(b-acosC)-csinA. 男 25 75 100 所以由正弦定理得③sin B-3sin AcosC , 5 95 100 -sinCsinA. 30 170 合计 200 所以3sin(A+C)-3 sin Acos C-3cos AsinC (3分) -sin CsinA. 提出零假设H:市民获得优秀奖与性别无关 200X(25×95-75×5)* 800 又0Cx.所以sinC0. 经计算得x*= 51 ~ 30X170×100×100 所以tanA-/③. 15.68610.828-to.001. (6分) (5分) 所以依据小概率值a一0.001的独立性检验,我们推 (6分) 所以B+C-2A. 断H。不成立,即认为该市市民在这次知识竞赛中 获得优秀奖与性别有关 (7分) 若选③:因为 cos 2C+cos 2B-cos 2A-1- (2)设丙答对的概率为(0 <1). 2 sin Bsin C. 所以1-2sinC+1-2sinB-1+2sinA=1- 2 sin BsinC. (3分) (9分) 即 sin*B+sinC-sin’A=sin Bsin C. 则由正弦定理得十c一a-b, 记事件A,为“甲抢到这道题”,事件A:为“乙抢到 所以由余弦定理得cos A-+--1 这道题”,事件A:为“丙抢到这道题”,事件B为“这 2b 道题被答对”,事件C为“这三人中有人获得平板电 又<A<n,所以A-. (5分) 脑”, 则P(A)-.P(A)-.P(A)-, 所以B+C-2A. (6分) P(BlA)-.P(BlA)#-P(BlA)#-3. 所以△ABC的面积Sac= (12分) 由全概率公式可得 2/3, (9分) 所以be-8. P(C)= ###-# 由余弦定理得a*-b+(*-2bccosA-(十c) 61 -3hc. 所以这三人中有人获得平板电脑的概率为20 61 即16-(b+)-24. 所以b十-210. (13分) (15分) .3. 数学(四) 参考答案及解析 17.解:(1)因为AD1平面ABEF,AE,BEC平面 所以FG-(-,1.1). ABEF. 所以AD] AE,AD| BE: 由(2)可知平面ACE的法向量为n-(2,-1,2). (13分) 所以在 Rt△DAE 中,AE=DE-AD= 设FG与平面ACE所成的角为0. 3-2-. 则sino co(F.n)- 所以在△ABE中,AB+BE*}-5-AE, FG]|n 所以AB1BE. (3分) -3-1+21 417 又ADOAB-A.AD.ABC平面ABCD. 所以BE 平面ABCD 又BEC平面BDE. 51 所以平面BDE1平面ABCD. (5分) (15分) (2)由(1)可知AB1BE, 18.解:(1)由题知直线/斜率不为0.设直线/的方程为 又AF/BE,所以AF AB r=ty+3.A(xi.y).B(x.y). 又AD1平面ABEF: 1-ty+3 b 所以AF,AB,AD两两垂直; 2-4 ,得-4y-12-0. 所以以A为原点,AF,AB,AD所在直线分别为x 则△-16+480,+y=4,y=-12.(3分) y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 当-2时,AP-2PB. 即(3-r..-y)-2(x:-3,y). D 所以一y-2y.即y--2y. (5分) 所以y+=--41,y=-2--12, (7分) (2)由题意可知直线/.GH的斜率均存在且不为0. 设G(r.y),H(x..y). #叫四二二 #_ 则A(0.0,0),E(1.2,0),C(0.2,1),D(0.0,2) 一第 F(2,0,0). 一3 所以EC-(-1,0.1),AC-(0,2,1),AF-(2,0.0). (7分) (11分) 设平面ACE的法向量为n一(x,y,). 设真线AF的方程为x三ny士1,代入v三4x nE--十:-0. 则 得*-4ny-4-0. n.AC-2+-0. 则△-16n+16 0,yy--4. 取:-2,得n-(2,-1,2). (9分) 同理可得yy=-4. 设点F到平面ACE的距离为d. 4-4 所以+--4 tan y+y+y (15分) |n 41+4 由(1)可知y=-12. (11分) (17分) (3)因为G为校DE的中点,所以G(,1,1). .4. 信息卷A 数学(四) 19.解:(1)由题得/(r)二e 所以点B(o,吾)是g(t)的一个“0度点”。(7分) 设曲线y=f(x)在点(1.f(1))处的切线方程为 y-e-e(x-). (3)由题得(x)-3r-2. 若该切线过原点O,则e-re,解得/-1. 则曲线y三h(x)在点(n,h(n))处的切线方程为 所以原点O是函数f(x)一e’的“1度点”; (2分) y-(r-2n)-(3r-2)(r-n). 若该切线过点A(2,1),则1一=e(2-). 设点(a,b)为h(x)的一个“2度点” 即re-3+1-0. 则关于n的方程b-(n-2n)=(3n}-2)(a-n)恰 有两个不同的实数解 (8分) 令w()-te-3e+1,则w'(1)-(t-2)e 令()>0.得2:令w(1) 0,得<2 设 (n)-2n-3ar+2a+b 所以w(7)在(一,2)上单调递减,在(2,+o)上 当a=0时,(n)-2r+b在R上单调递增,$ 此时“(”)只有一个零点,不符合题意 单调递增: (9分) 所以w(t)m-w(2)-1-e<0. 当a0时,'(n)-6n}-6an. 则当n 0或na时,(n)0,e(n)单调递增 又w(-3)-1- 当0<na时.'(n){0,(n)单调递减, 所以由零点存在定理可知,w(7)一0在(一3,2) 所以(n)的极大值为(0)=2a+b,极小值为 (a)-2a+b-a. (2,3)内各有一个实根 (10分) 即方程te-3e十1-0有两个不等实根. 当(0)>0>g(a)时. 故点A(2,1)不是函数f(x)=e的“1度点” 因为(- 2a)-3 (2a)<o,g(3a (4分) (2)由题得g'(x)-2cos2x. + )-(3a+可)(3a+2 1)+2a+b 0. 所以由零点存在定理可知e(n)在(一o,0); (0.a),(a,十)上各有一个零点,不符合题意; 则曲线y=g(x)在点(n,sin2m)处的切线方程为 (11分) y-sin 2m-2cos 2m(x-m). 当(a)<(0)<0时,(n)仅有一个零点,不符 合题意: 若该切线过点B(o.吾). (12分) 当 (0)(a)0时,(n)仅有一个零点,不符 合题意: (5分) 则吾-sin 2m=-2mcos 2m. (13分) 当(0)=0>(a)时.(n)有两个不同的零点,此 令G(m)-sin 2m-2mcos 2m--,-<m<. 时--2; (14分) 则G(m)-4msin2m>0. 当 (0)>(a)-0时,(n)有两个不同的零点. 此时-a-2a; (15分) 所以G(m)在(一哥,")上单调递增, 当a<0时,同理可得,当e(0)-0或(a)-0时, 所以G(m)<G()-1-<0. e(n)有两个不同的零点. (16分) 综上,h(r)的所有“2度点”构成的集合为((x,y)ly 所以-sin 2m=-2mcos 2m恒不成立, --2:或y--2r,r0. (17分) .5.