2024年新高考数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（A）02

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 i.设a=cos22"-sir22”,b= 2tnn13” 数学（二） -mn1a3c“ 1-四12☒，期 2 A.rIa B.b<ra C.acbce D.ia 本试卷共4页，10题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 7.将1,2,3,4,5放人到A,B,C三个空集中构成三个非空的新集合A,B,C,若要求5 注意事项： 1,答题首，先将自己的丝名，考号等填写在答题宁上，并将准考证号条形码粘贴在 不放人集合C中，其余的元素任意救置，则A,B,C,的不同种数为 答题零上的招定位置 A.28 ,72 2,选择题的作答：这出每小题答常后，用2B每笔把答恩卡上对应题日的答常林号 C.10W D18 涂黑。写在试随寒，草稿然和答避十上的非答赠区城均无处， 3,填空周和解答题的作答：用鉴字笔走接写在答题十上对应的器题区线内。写在 k已知双曲线C号-苦-1o>0,6>0的左，有焦点分别为F,A,半瓶距为，属 就超卷，草其城和答随令上的非答思区城均无效， (x一+Y一4>0)与于铂的右交点为P,与y轴正半轴交于点Q.线段QF,与 4,考试站来后，请得本以题卷和答题卡一并上交。 C交于点R,QF的中点为S.若F:R∥PS,则C的离心率为 一，选择题：本愿共8小题，每小题5分，共0分。在每小丽给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 A.2 B.2,2 1.已知集合A=10u22一31，B=0.3,2:},若A=B,则a C,1+E D.1+2/ A.-1 线3 C,1成3 D1或一1 3 3 2.设复数满足一2十=3,2在复平面内对应的点为(x,y》,则 二，选择题：本丽共3小题，每小愿后分，共18分。在每小题始出的选项中，有多项符合 A.r-22+3y-1=3 从(x-22+(y-12=9 题目要求。全部远对的得6分，部分远对的得部分分，有远错的得0分。 C.{r-21+(y+1)=3 D.(a2)+(y+12=9 条，已知数列11中4，一3一2则m一 9,已知向量a=(1,0).h=(in,3),想 A.0∈R,1a≠|b A.-2 0.2 B.当0=时.0∥b 4.函数/（文）=xx的部分图象为 C当-要时，a D当=专时向量a在向量B上鸽投影向量为（得，一引 202442 10.中国的G技术世界衡先，5G技术的数学原理之一便是著名的乔农公式：C g(1+)它表示：在受燥音干找的信道中，最大信息传递速度C取决于信道 带宽W,何道内信号的平均功率8，信道内部的高斯聚声功率N的大小，其中一是 5,已知函数fx)一四s(ur十)(m0ge(一2，受)》的E分图象如图所示，将陌数 称为信噪比.当131000时，公式中真数里面的1可以忽略不计，即C=WkgA.若 C=W log:A.C:=W:logA:+ fr)的图象向右平移个单位长度后得到y=:)的图象，则《x)的解析式为 A.当W,-W:-Wa时，C十C-W如gA十A) A.gi.r)-sin nr 且当W,-W,-W。时，C1-C-W,ag(a1-a:) B.g(r)=cos nr C当W-W-vw时，CC≤Valogi( Cr)-n(引 D.g(r)-cos() n当mw时：名-器的 数学二1第1页（共4页） 衡水金卷·光章趋·信息难 数学（二）第2页（共4页 国 11.在正四棱柱ABCD-AB,CD,中，AB=2,A4=4,P=ABA+AA 17.(本小题清分15分) (ar∈[0,1门》，期 已知属数fx)=xnr-a.r,g(x)=a.-r十1，h(r=fx》十gx》. A.点P所在区城的面积为4 )当a∈《一，0]U2十时，讨论f极值点的个数： B当=g=专时A,P=3 (2)当a>1时，关于x的不等式h(x)<(e-1》e一3e+3在(1，+e)上有解，求w C.当=1时，存在A使得CP⊥AB 的歌值范服。 D,当A一1时，三棱锥C一ACP的体积为定们 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图所示为某公拉团体成员年酸的频率分布直方图。 非分为5组·左起第一组的年龄为[2025)，由于图形8网 受到污染，丢失了该组的统计数据.若从左起的前3组。叫 18.(本小题得分1？分》 中用分层拍样的方法共拍垠14名成员去参与某活动：a@ A,B两人进行一场友谊连，赛简每人记人3分.一母比赛后，若丧出雕负，则胜的 期在左起第2组中推取的人数为 一方得1分，负的一→方得一1分：若平局，切双方各得0分，若干局比库后，当一方首先 02025303363年M 18写出与直线y=停：和y轴均相切且半径为2的一个阔的标雅方程为 累计得分为6时，比赛结束且该方最终获胜.由以住比赛结果可知，在一局中A胜的概 *为0.5，B胜的概为0.3. 4,已知直线1与函数f一，g-一{r的图象分别切于点A,B,则点B的坐 (1)第一局比赛后，A的累计得分记为X,求X的分布刿和期望 (2)若P表示“在A的累计得分为时，最终A获鞋的概率 标为 ①写出的取值果合与P,P的值： 四，解答题：本骊共5小题，共7？分。解答应写出文字说阴、证明过程或演算步豫。 ©写出数列{P)中连续三项的速推关系式，并求出P的值，（给果保留指数琴） 15.〔本小题满分13分) 已如等差数列{a.的前u项和为5.，S-9,十4,4，d一2成等比数列. (1)求数列{a,的通项公式： (2)若1<2,6=a,·2,求{6,1的前n项和T。: 19.(本个恩清分17分) 已如点M在圆Ux2十y-4上，作MN⊥r轴交x轴于点N,设M币-P衣 16.(本小题请分15分》 (I)求点P的轨连C的方程： 在四棱策P-ABCD中，面ABCD是边长为2的菱形，且AB⊥平面PAD,BC PC. (2已知Q,》≠01在C肉，A0,1),B,-.直线BQ,及Q分别与C相 《1)证明：C⊥PD: 2)者E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角的象弦值为5是，PA≥，求直 交于点R.S,起Sw.Sm分别为△QR.△BQS的面颗，若氵C>·求1的鼠 值菴， 线PB与平面ABE所成角的正弦值， 数肇（二）第3项[共4页1 衡水金整·先享是+信是卷 数等（二》第4或共4黄1 风信息卷A 数学（二） 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷A·数学（二） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M,应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① G 档次 系数 1 选择题 由集合相等求参 易 0.82 2 复数与点的轨迹的 选择题 易 0.78 综合 3 选择题 5 周期数列的应用 易 0.70 4 选择题 5 函数图象的识别 % 0.60 余弦型三角函数的 5 选择题 5 中 0.55 性质（不涉及零点） 选择 半角公式的应用 中 0.40 1 计数原理的应用（涉 选择题 5 中 0.32 及分组分配问题) 8 选择题 5 双曲线与圆的综合 难 0.25 9 平面向量的坐标 选择题 6 易 0.70 运算 对数型函数的实际 10 选择题 应用（涉及社会热 中 0.60 点) 11 空间向量与立体几 选择题 6 难 0.25 何的综合 12 填空题 分层抽样的应用 易 0.85 和直线与圆有关的 13 填空题 5 公 0.50 开放型填空题 利用导数研究两曲 14 填空题 中 线的公切线 0.35 等比数列与等差数 15 解答题 13 列的综合，错位相减 中 0.60 法求和 1 信息卷A 数学（二） 以雏体为载体，线线 16 解答题 15 垂直的证明，求线面 √ 中 0.55 角的正弦值 讨论含参函数的极 17 解答題 15 值，由不等式有解 b % 0.45 求参 全概率公式，分布列 与数学期望、概率与 18 解答题 17 数列的综合（情境 小 难 0.26 题) 与椭圆有关的轨迹 19 解答题 17 问题，求参数的取值 V √ 难 0.25 范围 ·2· 信息卷A 数学（二） 参考答案及解析 数学（二） 一、选择题 1a=3 2,6 1,B【解析】因为A=B,所以 a2-3=2a 或 2tan13° 2an14° 1-tan14° 2"a=am28”<am30=9< (a=2a .解得a=3.故选B. 1a2-3=3 cos12年in61>sin60°=号，所以6 2.c 2 2.D【解析】因为g在复平面内对应的点为(x,y),所 <a<c,故选D. 以=x+yi(xy∈R),则|(x-2)十(y十1)i=3, 7.C【解析】①5单独放入一个集合：共有C=2种方 即(x-2)十(y+1)=9.故选D. 3.C【解析】在数列{a,}中，因为a1=3,a。-1 法，再将其余4个数分成两组共有C A +C=7种方 。所以=己。所以=号，因为a 法，再放人另外2个集合共有A号=2种方法，所以此 类情况共有2×7×2=28种方法：②5不单独放入一 己2（≥2.所以4.-1-（≥2a1-1 个集合：共有C=2种方法，然后将其余4个数分成 1=1-1 三组共有CCC=6种方法，再将三组分配到三个不 a片a=1 A 同的集合共有A3=6种方法，所以此类情况共有2× 1=1一 6×6=72种方法.综上，A,B,C的不同种数为28 dwtl 1二=a-1,因此当n∈N时，a-d +72=100.故选C a-1-7 8.C【解析】在圆(x一c)+y2=42中，令x=0,则y =a。,即数列{am}是以3为周期的周期数列，所以 =士e,所以Q(0,3c),则tan∠QF,F= 4=a=子故选C an∠QF,E-c-3,故∠QF,F=∠QF,F,= 4.B【解析】因为f(x)=r'cos r为奇函数，所以排除 A,D,当0<r<受时，f(r)=xcos>0,所以排除 受，所以△QFR为正三角形，在圆(r一c)+y= 42中，令y=0,则x=一c或x=3c,所以P(3c,0), C,故选B. 令|RF,|=t,则|RFz|=1+2a,因为在△RF,F,中， 5,A【解析】由函数(x)的部分图象得工=三-」 ∠RF,F=号，则由余弦定理得RF:P=RF,+ 所以。=，又了0)=号，所以cos9=竖.因为g F,FP-2RF,l·1FF:cos哥，所以(1+2a)- (-受，受)，且八x)在包含x=0的小区间内单测递 f+(2)-2·2c·,所以1=2(2，即 2a+c 增，所以g=-开，所以f(x)=cos(r-于)人，由题 F,R1=2C二），因为，R/PS,F:为FP的中 2a+c 意可知，g(x)=eo[(r-)-] 点，所以R为F,S的中点，所以1F,R=QF, cos(xr-受）=sin,故选A. FR=专：所以22=专·解得e=后 2a十c 6.D【解析1由题得a-cos2-m22-6os4,号 1十区，故选C 3 1 数学（二） 参考答案及解析 二、选择题 (0,0.4)+A(-2.0,0)=(一2x.0,4),因为 9.AD【解析】对于A,由|a=|b,得1十cos0 B(2,0,4),所以AB=(2,0,4),若存在A使得 sin0十3，即cos20=2,因为cos20≤1，所以|a|≠ CP⊥AB,则-4+16=0，所以A=4∈[0,1]，所 b,所以A正确：对于B,当0=否时，a=(1,号），b 以C错误：对于D,当=1时，C市-Ci+:CC,所 以DP-:CC=:DD,即此时P为线段DD,上的 -(停v5),因为号≠所以a/6不成立：所以B 动点，三棱锥C一ACP的体积即为三棱锥P一ACC 的体积，因为DD∥CC,CCC平面ACC,所以 2 DD,∥平面ACC,所以P到平面ACC:的距离为 错误：对于C,当0=晋时，a=(1,-）,6 定值，所以三棱锥P一ACC,的体积为定值，所以D 正确.故选BD. (分w8)因为1×2+(-)×8≠0，所以a1b 不成立，所以C错误；对于D,当0=时，a B (1.-)b=（一vB)小所以向量a在向量b上 的投影向量为治·6=（号。一音）所以D正确。 故选AD, 10.CD【解析】对于A.当W=W:=W。时，C+C =W,log:(a2),所以A错误：对于B.当W,=W: =W,时，G-C=W,og六所以B错误：对于C 三、填空题 12.7【解析】设左起第一组[20,25)的纵坐标为m,则 当W1=W2=√W时，因为x≥1000(i=1,2),所 5(m十0.07+0.06+0.04+0.02)=1.解得m= 以C,C=W,log A log≤w,(logA+log入) 0.01,所以左起的3组频率之比为0.010.070.06 2 7 w.(os)=w,1oa,所以C正确：对 =1:7:6,所以左起第2组抽取的人数为十7十6× 2 14=7. 手当m:时8贤所 13.(x-2)2+(y-23)2=4(还可以为(r+2)*+ 以D正确.故选CD. 11.BD【解析】因为C市=入B+:AA (+25)=4,(x-2)+(+2)=4, (a∈[0,1])，所以Cp=ACi+4CC (x+2)+(y-2y)=4之-）】 【解析】设圆心 3 (a:∈[0,1门).对于A,P点所在区域为侧面矩形 CDD1C,其面积为2×4=8，所以A错误：对于B, |m|=2 以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为 坐标为(m,),由题得 x,y,≈轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,4), 一2·解 B(2,0,0),C(2,2,0),则BA=（-2,0,0),AA (0,0,4),则C户=(-1,0,2)，则P(1,2,2),所以 m=2 m=一2 A,P=√+2+（一2）下=3，所以B正确：对于 得 23或28 或 3或2v3则圆的 C,当4=1时.C市=xCi+CC,所以CP-CD, 一个方程为(x-2)+(y-2√3)=4. 所以此时P点为线段CD上的动点，又 C(2,2,4).D(0,2,4),则C市-CC+CD= 14.(-2,-1)【解析】设A(x),B(x, ·2· 信息卷A 数学（二） )过A且与f()图象相切的直线斜率为 16.解：(1)因为AB⊥平面PAD,AD,PDC平面PAD, 所以AB⊥AD,AB⊥PD, (1分) e,所以切线I的方程为y一e1=e1(x一x1),即y 因为底面ABCD是菱形， =ex十1(1一1)，过B且与g(x)图象相切的 所以四边形ABCD为正方形， 直线斜率为一豆，所以切线I的方程又可以为y 所以BC⊥CD, (2分) 因为BC⊥PC.CD∩PC=C,CD,PCC平面PCD, +十=-(-，即y= 1 所以BC⊥平面PCD, 又PDC平面PCD, e1= 2xg 所以 经过检验x=0,=一2 所以BC⊥PD. (3分) c1(1-)= 1 , (2)由(1)得底面ABCD是边长为2的正方形， 又因为AB⊥PD,BC⊥PD,AB∩BC=B,AB,BCC e1= 平面ABCD, 满足 由函数f(x)=e,g(x) 所以PDL平面ABCD, e(1-x1)= 4, 所以DA,DC,DP两两垂直 (4分) x的图象观察得，这两个图象有唯一的公切 连接AC交BD于点O,连接OE, 设PA=2a(a>0). e1 2 因为AD=CD, 线，即 有唯一一组解，所以点B 1 所以PC=PA=2a, e1(1-x1)= 因为E为PC的中点， 的坐标为（一2，一1）. 四、解答题 所以OE/PA.OE=PA=a 15.解：(1)设等差数列(a。)的公差为d 所以∠OEB(或其补角)为异面直线BE与PA所成 因为S=9,a1十4，aa,a:一2成等比数列， 的角， (6分) 3a1+3d=9 因为AB=2, 所以 (a,+2d)2=(a1+4)(a1+3d-2) 所以OB=√2，EB=√/4十a, 解得a=1,d=2或a,= 31 8 3 (4分) 所以52-g+(4+。)-2 8 2a v4+a 所以数列(an)的通项公式为a。=2n-1或an= 十7 解得4=2y或2， 3 (5分) 7 因为PA>4, (2)因为41<2， 所以a≥2， 所以an=2n-1. 故a=2. (8分) 则b.=a。·2,=(2n-1)·2m-1. (6分) 以点D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴， 所以T.=1×2+3×2+5×2+…+ y轴，轴建立空间直角坐标系， (2n-3)22m-3十(2n-1)21, 所以4T,=1×2+3×2+5×2+…+ 则P(0,0,23),B(2,2,0),A(2,0,0),E(0,1W3), (2n-3)28-1+(2m-1)2+1. (8分) Pi=(2,2,-25).AE=(-21w3),AB= 相减得一3T.=1×21+2×2+2×2十…+2· (0,2,0) (10分) 22"-1-(21-1)22+1. (10分) 设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,2), 所以-3T.=4-2·4-2-（2m-1)2+1, n·AE=-2x+y+V3:=0 1-4 所以 n·AB-2y=0 所以T,=(6n-5)21+10 9 (13分) 令x=√3，则n=(3,0,2): (12分) 3 数学（二） 参考答案及解析 设直线PB与平面ABE所成的角为0， 为1： 所以sin0=|cos(P店，m1= B. -25 PBn 25X/7 当a∈[克+∞)时，f(x)极值点的个数为0 (7分) =V105 35· (2)由题得h(x)=xnx-a.x十1， 故直线PB与平面ABE所成角的正弦值为 由h'(x)=lnx+1-a=0,得x=e1, 35 当x∈(1，e1)时，h(x)<0: (15分) 当r∈(e=,+∞)时.h'(x)>0 所以h(x)在(1，e-1)上单调递减.在(e-1,十∞) 上单调递增， (9分) 所以h(x)n=h(e-1)=1一e-l, (10分) 因为当a>1时，关于x的不等式h(x)<(e-1)a -3e+3在(1，+o)上有解， 所以只需1-e1<(e-1)a-3e+3成立， 即不等式e-1+(e-1)a十2-3e>0成立.(11分) 令k(a)=e-1+(e-1)a+2-3e, 则k'(a)=e-1十e-1, 17.解：(1)由题得(x)=lnx+1一2ax,x∈ 显然k'(a)=1十e-1>0在a∈(1，十o∞)上恒 (0,十0©)， (1分) 成立， 设u(x)=lnx+1-2ax, 故k(a)在a∈(l,十∞)上单调递增， (13分) 则0=-2a=12 又k(2)=0. ①当a∈(-o∞，0]时，4'(x)>0.即u(x)= 所以a>2, f(x) 单调递增， 故a的取值范围为(2，十o∞)。 (15分) 因为x0时，了(x)→一∞：x→十o时，了(x)→ 18.解：(1)平局的概率为1-0.5一0.3=0.2，(1分) X的所有可能取值为2,3,4， 十00， 所以了(x)有唯一的零点， P(X=2)=0.3, 所以∫(x)有一个极小值点，无极大值点， P(X=3)=0.2, P(X=4)=0.5, f(x)极值点的个数为1： (3分) 则X的分布列为： @当a∈[2+o)时， X 3 4 令W(x)=0.得x=2a 0.30.20.3 当x∈(0.2)时a(x)>0.即u(x)=了(x)单 (3分)》 E(X)=2×0.3+3×0.2+4×0.5=3.2. (4分) 调递增： (2)①由题得i的取值集合为{0,1,2,3,4,5,6)， 当xe(a+)时，d(x)<0,即u()=了) P。=0,P=1. (6分) 单调递减， ②在A累计得分为i(i=1,2,3,4,5)分时 所以fx)=f()=n六<0， 下局A胜且最终A获胜的概率为0.5P+1, 在A累计得分为i(i=1,2,3,4,5)分时. 所以f(x)在定义域上单调递减， 下局平局且最终A获胜的概率为0.2P, 故∫(x)极值点的个数为0 (6分) 在A累计得分为i(i=1,2,3,4,5)分时， 综上所述，当a∈（一o∞，0]时，f(x)极值点的个数 下局A败且最终A获胜的概率为0.3P-1, ·4 信息卷A 数学（二） 根据全概率公式得P,=0.5P41十0.2P,+0.3P-1, 所以R(书》 (6分) 即5P+1十3P-1-8P,=0. (10分) 即P1-B=号P-P-=12.345) 同理直线B:Q:y= 3 272-1. 所以P41-P,=（号）(D,-P)(i=0,1,2,…5, 代入千+y-1,整理得(+9)r-12r=0, 12t 所以∑P4-P)-2[(g)(P-P)] 解得x一牛9 (14分) 则-9 2+9 所以P,一P=(P一P。)· -() 所以s()】 (8分) t 2+1 3-T 所以1一P=P,· 是-() 所以8殷 1-号 SQ 13-21 2×5 QB: 1+9 (10分) 所以P=— (17分) 19解：(1)设P(x,y),M(,), S65 所以S山， 2Q·Qs1·sn∠BQs 闲为M市=P衣， |QBl·lQR|·sin∠BQR 所以/产 (2分) 1QB.QSL=+1.3=rL-+1 y%=2y QR·TQB=T3-T·r+9+9 因为点M在圆O:x2十y2=4上， (13分) 所以6十y=4, 所以x2+(2y)2=4, 则点P的轨迹C的方程为+了=1。 (4分) 所以书行 解得≤一1或≥1， (15分) (2)由：(01).Q(.号)小≠0，可得直线BQ:y 又因为Q(,号)（≠0）在轨迹C内。 +1, 1 所以号+<1 代入号+y=1,整理得(+1)r-4r=0,(6分) 解得一√5<t<V3. 解得一干 41 所以∈(-3，-1]U[1√5) 所以t的取值范围为(-√5，一1]U[1w3): 期品 (17分) ·5