2024年新高考数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（A）01

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 8.已知四面体ACS的各顶点均在球O的球面上，CA=CB=SA=SB=2SC=2,AB 数学（一） =2,3,则球)的表面积为 A.12a 民16元 C.52x 0.20m 本试卷共4页，11题。全卷满分150分。考试用时121分钟。 二、选择题：本题共3小题，每小题名分，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合 注意事填， 题日要求。全部进对的得6分，部分选对的得部分分，有进错的得0分。 1.答题背，光将自己的丝意，考号等填写在答题户上，裤准考证号条形码船卧在 9.2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创解煌.为警及航天 答覆卡上的精定位置。 知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成黄情况·从中 2,速择题的作答：遗出每小题答策后，用2B每笔花答斑下上对应通目的答策称号 随机抽取了50名参靠市见的成簧作为样本进行锭计（满分：0分）.得到如下的频 涂黑。写在认题寒、草稿从和馨题卡上的非答题区域胡无就。 率分布直方图，期 3,填空题和解答题的指答：用整学笔直最写在答题卡上对应的答题区线内。写在 注：同一组中的数据用该组区例中点值代表。 玖意表，草编纸，答道卡上的非答题区城均无效。 山.考这站来后，满将本沈题寥和答题卡一并上文 0040 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小籍给出的四个选项中，只有一 0.032 项是符合题目要求的。 0016 1.E知集合M-0N-一101,2.则MnN- A.1 &1,2 C.10,1,2 0.1-1,0.1.2 000700010成缕) 2.已知复数满足(1-i+(1+2i)g-3i,则= A.图中￥的值为0.004 B.估计群本中竟赛成领的众数为70 A.1 ③ C.3 D.13 C,钻计样木中竟赛的平均成黄不耀过80分 3,已知向量a=(1,-1),b-(0,t,若a1(a-2b用sa.b D,估计样本中竟靠成棱的第75石分位数为76,75 c要 B竖 10某杂交水相种植研究所测查某地所件植的超领款交水稻的株高X(单位：cm)的情 况，得出X一V(100,),且X大于120的概率为0.1.现从中随机选取20棵超级杂 4.团C:x+y-4r+2y十20与C:x+y-2y一2-0的位置美系是 交水稻，记其中株高在区间[80,100]的水稻棵数为商机变量Y,则 A.相交 B外切 C.内切 B相离 A.P(80场X≤120)一0.6 B.EY)=8 5,已知4=10g3,=0g3r=0.41.则 C,DY=4,8 DPY-2)=0,4X0.6 A.asbce 且4<<b C.a D.cucb 11.已知雨数f八x的牙函数为f(x),Hx∈R.f(8一r)-f(x)=0,且f(x十3)为奇函 6,我国古代数学家曾，行配用”九聚易影算法”在《太衍历》中建立了晷影长/与太阳天 数，若〔一11=一2，期 颜距8(080)的对应数表，这是世界数学史上较早的正划函数表.根据三角学 A.f(3)=0 知识可知，解影长/等于表高与太阳天顶距9正切值的乘积，即=t加.对同一 且f(x)的一个周期为2 “表高“测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，3，第二次的“每影长”是“表 C.f(4)=D 弃"的3信，且cos2a十n2a=一7则ame一的值为 D.(2023)十/(20241-了(2025)=一4 三，填空题：本题共3小题，每小骊5分，共15分。 C.4 D.13 12.某智能手机的开机密码是火位数字，现甲准备将六位数202403中的6个数字打乱 7.已知嫩物线C:y=4x的焦点为F,动点在C上，点B与点A(1,一2)美于直线1： 顺序设为开机密列，若终求两个2不相高，两个0相邻，期不同的开杭密码总个数为 ,(答案用数字表不】 B y一1对称，划MB干MF的般大值为 13已知函数fr)=一i加(r-}(>0在民间（经x上单测递减，且x)在区间 我2-四 C,2- (0,)上恰有1个零点，则细的取值花围是 数（一1第1页（共4页） 衡水金卷·光章趋·信息难 数学（一]第2页（共4页 国 1.已知间C若+芳=1a>6>0)销左，右钻点分别为FF,点M.N在C上 18.(本小题端分17分) 131MF-3引FN1,2MF--FV,则C的离心率为 已知双找C:号若-1a>0,6>0)的鱼距为2，点D4,百在C上 四，解答题：本题共5小题，共7？分。解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤。 《1)求C的方程： 15.(本小题满分13分) (2)直线1：r一my+1与C的右支交于A,B两点，C上的点E与点A关于x轴 已知函数fr)-2(m.r-lnx)+ 付称， (1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线1,2.x十y+1-垂直，求刚 (「)求m的取值范再 的值： ()直线E是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标：若不过定点，试说明 (2)时论()的单到性与极值. 理由。 16.(本小圈博分15分) 如图，在正三棱柱A-A,B,C中，AB=2,AA,=3,点D为AC的中点， 《1)求证：B,C∥平面ABD: 《2)求平面A,BD与平面C℃B夹角的余蕊值. 19.〔本小题湾分17分》 已知数列A南wN3)的各项均为正整数.设集合T=rr=0,一 17,(本小题铺分15分) 1≤<运V?,记T的元素个数为P(T), 中华茶文化源远流长，博大韩深，不阻包含丰富的物质文化，还包舍深厚的精神文 (1①若数列A:1,3,5,7,求集合T,并写出P(T)的值： 化，其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青揉捻，干燥这三道工序，理在某 ②若数列A2,,z,,且4<x<y,PT)-3,求数列A和集合T: 绿茶厂将采插后的茶叶进行加工，其中杀青、揉拉、干燥这三道工序合格的复率分别为 (2)若A是递减数列，求迁：“P(T=N一1“的充要条件是”A为等差数到” 青力，疗每道工序的加工都相互鞋立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的 2 (3已知数别A:2,2.求证：P(T)=N-山 慨率为器。三道工序加工都合桥的绿茶为特级绿茶，拾有两道工序加工合格的染茶为一 领绿茶，恰有一道工序工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶， 《门)在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青m工合格的 概率： 《2)每金绿茶（净重1D则g)原材料及制作减本为30元，其中特线绿茶、一线绿茶，二 级绿茶的出厂价分别为0元，0元，D元，面不合格绿茶则不进人市场.记经过三道工 序制成的一盒绿茶的利润为X元，求随机变量X的分布列及数学期望。 数肇（一】第3项[共4页1 侧水金整·先享是·信是卷 数等（一》第4或共4黄1 风信息卷A 数学（一） 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷A·数学（一） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 川.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③ ④ 分 ① 档次 系数 交集运算，其中一个 选择题 集合涉及不等式 易 0.80 分式 2 选择题 复数的混合运算，求 5 易 0.75 复数的模 由向量的坐标运算 3 选择题 5 易 0.72 求夹角的余弦 4 选择题 圆与圆的位置关系 中 0.65 比较大小，涉及换底 5 选择题 5 中 0.55 公式 与三角变换有关的 6 选择题 为 0.40 数学文化题 与抛物线有关的最 选择题 5 中 0.35 值问题 球与几何体的相接 选择题 难 0.20 问题（不涉及情境） 频率分布直方图中 9 选择题 6 的数据的数字特征 易 0.72 (包括百分位数) 正态分布的实际 10 选择题 6 中 0.60 应用 抽象函数的性质，涉 选择题 6 0.22 及导数 12 与相邻、不相邻有关 填空题 易 0.71 的计数问题 由正弦型函数的单 13 填空题 中 0.45 调性求参 椭圆与向量的综合， 14 填空题 0.25 求椭圆的离心率 1 信息卷A 数学（一） 以对数型函数为载 15 体，利用导数研究含 解答题 13 中 0.65 参函数的单调性， 极值 以柱体为载体，证明 16 解答題 15 线面平行，求平面与 % 0.55 平面的夹角 相互独立事件的概 17 解答题 15 率，条件概率，分布 中 0.40 列与数学期望 直线与双曲线的位 18 解答题 17 难 0.28 置关系，定点问题 19 解答题 17 新定义题型 难 0.20 2 信息卷A 数学（一） 参考答案及解析 数学（一） 一、选择题 1.C【解析】由题得M=〈x(2-x)(x+1)≥0且r≠ 1MF.放E MM' MB =cos0,当直线MB与C -1}={x-1<x≤2)，则M∩N=(0,1,2.故 MF 相切时，co80最小， MB 取得最小值，则 选C 2.D【解析】设=a+i(a,b∈R),因为(1一i)g+ TMB干MF取得最大值，设切线MB的方程为： MB (1+2i)z=3i,所以(1-i)(a+bi)+(1+2i)(a一i) =3i,所以(2a十3b)十ai=3i,所以4=3.b=-2,所 =my-1,联立 |x=y- 1y2=4x ,整理可得y2一4my十4= 以z|=√3.故选D. 0,则△=16m2-16=0,可得m=士1，所以直线MB 3.C【解析】因为a⊥(a一2b),所以a·(a一2b)=a -2a·b=2+21=0,得1=一1，所以b=(0,-1),所 的斜率为士1，倾斜角为子或子元又0为锐角，故？ 1=区 以cos(ab》=Tab反x1=乞·放选C. -吾，所以(o0-号，即(MBME） MB 4.A【解析】由已知得圆C的圆心为C(2,一1)，半 IMB 径为n=3,圆C的圆心为C(0,1),半径为2= 所以(） 2 =2-V2. 5,故0=r1-r1|<|CC1=2V2<n十=25， 故选B. 所以圆C与圆C相交.故选A 8.C 【解析】如图，在△ABC中，由余弦定理得 1 5.D【解析】由题得a=1og3=1og5h=lag3 es∠ACB=AC AGC RA-合，故∠ACB= 2AC·BC og4而log5>log4>1,所以a<<1,a=log3> 1 120°.同理∠ASB=120°.取AB的中点F,SC的中点 E,连接SF,CF,因为SA=SB=AC=BC=2,所以 log5=7面c=0.4<0.51<0.5=故c<a SF⊥AB,CF⊥AB,所以SF=CF=SAsin30°=1，又 <b.放选D SC=1,所以△SCF为等边三角形.设△ABC的外心 6.B【解析】由已知得tan3=3,易得cos2a= 为O,外接圆半径为r,则OA=O,B,又F为AB的 cos'a-sin'a=1-tan'e,sin 2a 2sin acos a 中点，所以OF⊥AB,又CF⊥AB,所以O,C,F三 cos a+sin'a 1十tan2a cos'a+sin'a 点共线，因为OO,⊥平面ABC,O,CC平面ABC,所 21an。,所以cos2a十sin2a=1+21ana二tane 以OO⊥OC,连接OS,因为S,C均为球O上的点， 1十tana 1十tana 所以OS=OC,又E为SC的中点.所以OE⊥SC,又 7解得am8=4或ama=一号（会去）.放na 因为在等边△SCF中，EF⊥SC,所以O,E,F三点共 一0-Pman是方故选 tan a-tan B 1 线，在△MBC中，由27一nCB解得7=2.因为 AB 7,B【解析】由已知得F(1,0),设B(mn),则 OC∩OE=F,所以O,C,O,E四点共面.在四边形 -1 n+2 1 解得/m一1 n-2_m十1-1 n=0 ,故B(-1,0),故 O0,BC中，设∠0CE=a,球O的半径为R,则 cos a 2 2 点B为C的准线与r轴的交点，MB+MF=1 3 cos(a60·解得cosa=√品，所以R= 2 MBI 设∠MBF-.0e(o,受)，作MM垂直于C V52 /13 的准线于点M',由抛物线的定义可得|Mf|= ·则球O的表面积为4R=号故选C 数学（一） 参考答案及解析 混排，有A种不同的排法，再将两个2插入，有C 种排法，故不同的开机密码总个数为V=AC号 =36. 13.(] 【解析】当x(号x)时弩-牙< 至<m一千，又y=一simx的单调递减区间为 [2kx-受2kx+受]∈D所以 等-平>≥2m受 二、选择题 m-<2十受 9.ACD【解析】由题得y=1一0.16-Q32-0.40-Q.0S 10 (∈D,解得6k-子<w<2k+(k∈)，且2k+ =0.004,故A正确：由顿率分布直方图可知，最高矩 >6-子(k∈刀，解得k长是又>0，所以k 3 形对应区间的中点为75，则估计众数为75，故B错 误：样本中竞赛成绩超过80分的频率只有0.12，故 平均成绩不可能超过80分，故C正确：设样本中竞赛 0,所以0<≤子.当xE(0,x)时，-子<ax-子 成绩的第75百分位数为x,前2组频率之和为0.16 <wπ +0.32=0.48<0.75,前3组频率之和为0.48+0.40 子所以0<m一产<，解得子<w<号故 =0.88>0.75.故x位于第3组.于是得(x-70)× 。的取值范围为（仔，子] 0.040=0.75-0.48,解得x=76.75,故D正确.故 选ACD. 14.①7 5 【解析】延长MF,与C相交于点A,连接 10.BC【解析】因为X~N(100,a),且X大于120 MF,AF2,设F:N=2m,由2M=-3FN,得 的概率为0.1，所以由对称性可得P(80≤X≤120) |FM=3m,由椭圆的对称性可得|F,A=|FN =1-2P(X>120)=0.8,A错误：P(80≤X≤100 =2m,|F,N|=|AF21,所以|AM|=5m,又 =2P(80≤X≤120)=0.4，由题意可知Y- 13MF1=3FN1,所以|AF=|F,N|=13m, 由椭圆的定义知MF,I十|MF:|=|AF,|+IAF,I B(20,0.4),故E(Y)=20×0.4=8,D(Y)=20× =2m+13m=15m=2a,所以|MF:|=12m,于是得 0.4×(1一0.4)=4.8，B,C正确：P(Y=2)= |AF:|=|AM2+|MF:|,所以∠FMF:=90°，所 C0.4×0.6,D错误.故选BC. 以(3m)+(12m)”=(2),得4c2=153m,故e 11.ACD【解析】因为f(x+3)为奇函数，所以f(一x +3)=-(x+3),对于A,令x=0,可得f(3)= 4c2_153m217 4a225m2 5，所以e=7 5 一f(3),则f(3)=0,故A正确：对于B,由(-x+ 四、解答题 3)=一f(x十3)，得f(x)=-f(6-x),又已知 15.解：(1)由题得，f(x)的定义域为(0，+o∞). f(8-x)-f(x)=0,则f(6-x)=-f(8-x),即 f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)= f(x)=2m-2=2(mx-1) (2分) f(x),即f(x)的一个周期为4，故B错误：对于C,由 :f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线1：2x f(8-x)=f(x),两边求导得一f子(8一x)=f(x), 十y十1=0垂直， 令x=4,得一了(4)=f(4),则(4)=0，故C正 确：对于D,由f(x十2)=一∫(x),两边求导得 “f/)=2m-)=号， (4分) f(x+2)=一子(x),令x=-1.得f(1) 解得m=气 (5分) 一f(一1)，由f(x十4)=f(x),两边求导得f(x十 4)=f(x),故f(x)的一个周期为4，则了(2023)= (2)由(1)知广(x)=2mx-山 f(-1)=-2.f(2024)=(4)=0.广(2025)= ①当m≤0时，f(x)<0恒成立， f(1)=-f(-1)=2,故(2023)+f(2024) .f(x)在(0，十∞)上为减函数， (7分) 了(2025)=一2+0-2=-4，故D正确.故选ACD. f(x)无极值： (8分) 三、填空题 12.36【解析】将两个0捆绑，视为1个元素，再与3,4 ②当m>0时，由广(x)>0,得x>】 ·2· 信息卷A 数学（一） 由f(x)<0,得0<r<L (10分) 则d-(停是o (13分) “x)在(0，)上单调递减，在(+©)上单 设平面A1BD与平面BCC,B,的夹角为0， 调递增。 0×号+3x号+1×0 故f八x)的极小值为（偏）=2nm+2+e,（12分） 则c0s0= AG·n AGIm 0+9×√+号+0 综上可得，当m≤0时，f(x)在(0，十∞)上为减函 数，f(x)无极值： =330 20 当m>0时，f(x)在(0)上单调递减，在 故平面ABD与平面BCC:B,夹角的余弦值为 (分十)上单调递增。 3v30 201 (15分) f(x)的极小值为2lnm+2+e,无极大值.(13分) 17.解：(1)因为茶叶加工中三道工序至少有一道工序 16,解：(1)连接AB,与AB交于点E,连接DE, 合格的概率为需。 在正三棱柱ABC一ABC,中，四边形ABB,A是 矩形， 所以1-(-号)1-p(1-专)-器 所以点E是AB,的中点， 又点D是AC的中点，所以DE∥B,C. (3分) 解得力=是 (3分) 又DEC平面ABD,BC过平面ABD, 记杀青、揉捻、干燥这三道工序加工合格分别为事件 所以B,C∥平面A:BD. (5分) A,B,C,这三道工序加工中恰有两道工序合格记为 (2)取AC1的中点F,连接DF。 事件D, 因为△ABC为等边三角形，点D为AC的中点， P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P (ABC) 所以BD⊥AC (7分) 如图，以点D为原点，分别以DB,DC,DF所在直线 -导×是×号+号××告+日××告-品 530 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxy P(AD)=P(ABC)+P(ABC) 号××号+号××号-品 (6分) 7 所以P(A|D)=PAD)_307 P(D)=13=13 30 即在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前 提下，杀青加工合格的概率为 (8分) (2)由题意可知随机变量X的所有可能取值为 -30,10,30,60, (9分) 1 P(X=-30)=3×4×5-而 则D(0,0,0),B(√3,0,0)，A(0,-1,3),DB=(3. P(X=10)=3 ××+号 1 1 4 4 0,0),DA=(0,-1.3), 设平面ABD的一个法向量为n一(x,y,), 则nD成-r=0, 令=1，得n=(0,3,1) PX=30)=品 n·DA=-y+3:=0. (11分) PX=0)=号××-号 2 (13分) 取BC的中点为G,连接AG, 则随机变量X的分布列为： 则在正△ABC中，AGLBC,则AG⊥平面BCCB,, 又A0,-1.0.G(号，20小 3 数学（一） 参考答案及解析 X -30 10 30 60 (2)充分性：若A为等差数列，且A是递减数列， 3 13 P 则A的公差为d(d<0), 60 20 30 5 当1≤i×j≤N时，a,-a:=(j-i)d, 故X的数学期望为E(X)=(一30)× +10× 3 60 20 所以T={d,2d,3d,…,(N-1)d}, 则P(T)=N一1，故充分性成立. (6分) +30×品+60×号 =38. (15分) 必要性：若A是递减数列，P(T)=N一1，则A为等 1a2+6=5, 差数列， 1收解：油已知科普-是= 解得a2=4,?=1, 因为A是递减数列， 所以a2-a1>da一a:>a,一a>>av一a1· 所以C的方程为号-y=1 (5分) 所以a2-a1aa一a1,a1一a1,…,a、-a1∈T,且互不 相等， (2)(1)设A(x1,y),B(x为)，则E(x,一y)· 联立/下一my+1 所以T={ag-a,a-a,a:一a1,av一a} 又因为a:一a:>a1一ag>…>av一a:>ay一a1: x2-4y2=41 所以a一a,a一a2,…,av-a2,av-a1∈T且互不 消去x得(m-4)y+2my-3=0, 相等， 则m2-4≠0,4=4m2+12(m2-4)=16(m2-3)> 所以d-a:=a-a1,a4-ag=a一a1,,ay一a 0,解得m>√3，且m≠2 =aN-上一ai, 又直线1与C的右支交于A,B两点，C的渐近线方 所以a2一a1=aa一a2=…=aN一av-1, 程为y=士2“ 1 所以A为等差数列，必要性成立。 所以若A是递减数列.“P(T)=N一1”的充要条件 则品>号即0<m<2. 是“A为等差数列” (10分) (3)由题意集合T={xx=a,-a:,1≤i<j≤N)中 所以m的取值范围为（√3,2）. (10分) 2m -3 的元素个数最多为Y(一山个， ()由(1)得y+= m一44= 2 m一4 则k证=必十边三 y+y y十y为 即P(T)≤N(N-1) 2 (11分) x一x1m十1一my一1m(为-y) 对于数列A:2,2…,2,此时a,一4，=2-2， 则直线BE的方程为y十当 (12分) m(w-y)(x-). 十必 若存在a,一=a:一， 则21-2=2-2，其中j>i1,j>i4, 化简得y= m(-y)[+为)x-2my-(y 1 故21(214-1)=2(2g-1), (14分) +)]. (14分) 若i,≠2，不妨设>i, 代入十y= 2m -3 m一4y为= 则24(24一1)=2：-1. m-4 而j>i1j>经， 2 得y(m-4)(-)一4) 故2(24-1)为偶数，2一1为奇数， 矛盾· 则直线BE恒过定点(4,0) (17分) 故=，故j=j, (16分) 19.解：(1)①因为3-1=2,5一1=4,7一1=6,5-3= 故由A:2,2·,2v得到的a,一a,彼此相异， 2,7-3=4.7-5=2, 所以集合T={2,4,6,P(T)=3. (2分) 故P(T)=N(V-1) 2 (17分) ②因为A:2,4,x,y,且4<x<y, 所以4一2=2，x一2，y一2均不相等， 所以2，x一2，y一2都是集合T中的元素， 因为P(T)=3, 所以x-4=y一x=2,可得r=6,y=8, 所以数列A:2,4,6,8,T={2,4,6. (4分) 4