2024年高考理科数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（JJ·B）06

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 6.在行四边形ABCD中,M为DC的中点,若MB-rAD+yAC,题2r+y A.2 B C.一2 理数(六) D.~5 本试卷共4页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项。 1.答题前,先将自己的姓名,考号等填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在 1-1” 答题卡上的抛定位置。 C_ 2.选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂果,写在达题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 8.四巧板又称T字之迷,是一种类似七巧板的传统智力玩具.四巧板由4块不规则形状 3.填空题和解答题的作答:用答字笔直接写在答题卡上对应的答题区或内,写在 组成,其中有大小不阿的直角梯形两块,等腰直角三角形一块,回五边形一块,四巧板 &题卷,草构纸和答题卡上的彩答题区域均无效。 可以拼成很多种图案,如图中的“一“字,“T“字和箭头“”,现从如图的“T”字图案中 4.选考题的作答;先把断选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑,答 A 任取一点,则该点取自大直角形的数率为 案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷,草稿纸和答题卡上的非答题区域均 无益. 5.考试结来后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 超 第1卷 一、选择题;本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A-l0 r+1二8,B-rl-2n,nN,A0B的真子集的个数为 “ A.7 B.B 25 D.16 2.若复数:在复平面内对应的点的坐标与直线1+2y十1一0与y轴的交点坐标相同. D.-} B.1. C B A.4 D.或 3.2023年塞冬,各独普路大雪,某地潜雪场迎来大量游客. 道程,副达客量趋势图 如图为2023年12月13日到12月24日(是期日)该地 10.在正方体ABCD-A.B.CD 中.M.N.E.F.G分别为CD.AB.BC.BB.DD 的 来往游客数量趋势图,则关于这12天的来往游客数量,113日 A.MN/平面EFG 中点,则 下列说法错误的是 121 B.FNI平面AF 过红 C.AC 平面FG 171 A.星期日为该地返程游客高峰 11.已知双曲线C.2一1的左,有焦点分别为F:P,过点F.的直线交C的右支 D. 平面EPG1平面AEF B.星期六为该地到达游客高峰 C.星期一该地到达激客人数最少 二= D.在这12天中,从上周末到下周末该地返程游客人数 于A,B两点,若乙AFB-90,则△FAB内切圈的率径为 1 B/2 C2 呈先减后增的趋势 D./ 12.在正三校杜ABC一A.BC中.AB一BB -4.M为AB的中点,过CM且与平面 ACCA:垂直的平面裁该校杜所得藏面图形的面积为 B.350 A.f(z)为奇涵数,且在(2.十一o)上单调递减 A.6/5 C.45 D.15 B.77r)为奇函数,且在(2.+一-)上单调递增 C. )为偶函数,且在(2.+一)上单调递减 第II卷 D.(f)为偶函数,目在(2.十一)上单调遥增 答。第22-23题为选考题,考生根据要求作答。 本卷包括必考题和选考题两部分,第13一21题为必考题,每个试题考生提必须作 5.已知函数/(z)-tun(2r十g)图象的一个对称中心是(0),则的值不可能是 C2} D B一 二、填空题:本题共4小题,每小题5分。 13.若命题:B.一+a+30为报命题,则正整数a的一个值可以是 理数六1第1页共4页 衡 金卷·先享题·信息卷 理数(六]第2页(共4页 B ②十-1. (1)现从这100个大楼排中随机抽取10个,若质量指标值在(二5.u士2)以外的 14.已知实数1.v满足约束条性2x+40,则(z+4)+v的最小为 1-2-20. 大楼桃的个数为2个及2个以上,则原定价格要变动,这10个大楼桃的质量指标简分 % 117.23.126.44.128.49.131.77.130.87.141.77.143.87145.30.150.70. 15.在等比数列中,0.公比0,若5215.则v的取值范围为 15.97,判断原定价格是否要变动. 16.已知函数f(r)-xn(x十1)一acox(a )在(0.+o)上调递增,则a的是大值 附;若X-N(.).则P(-X n+)0.686.P-2aX+2) 。 .(参考数据:ln31.1.ln41.4.ln51.6.3.14) 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 .9544.P-3>+3)074.140-1183 17.(本小题满分12分) 记△ABC的内角A.B.C的对达分期为a.b.c,已知b(2sinAcsC+sinC 2sin B)-(2sinC-inB-2sin Aoos B). 20.(本小题满分12分 (求A: 已知真线(.x三A.点F(1.0),动点M到(的距离为d:且d一2MFl (2)若角A的平分线交BC边于点D.且一2一2.求AD的长 (1)求动点M的轨曲线E的方程: N.使得乙ANB被:轴平分?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. (2)过点F且斜率不为D的直线与E交于A,B两点,试同:轴上是否存在定点 18.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 图1.在四形ABCD中.DAB-DBC-90.ADAB-2.BC-22,将 已知数()-sin:后(0,2x). △ABD沿BD折起,得到知图2所示的三校雄A一BCD,且平面ABD 平面BCD (1)证明:fr)在(0.n)上单调减。 (2)证明:f(c)在(0.2x)上存在唯一的极值点x.且(r)一 _ 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,到按所做的第一题计分。 (1证明:AD1平面ABC 22.(本小题满分10分)选修4一4;坐标系与参数方程 (2)若B0-ABC(a(0.1)).二面角B-AD-Q的大小为45.求1的值 在平面直角坐标系x0-中,因C的参数方程为 c08a十8(。为参数).以直角 _sinn 坐标系的原点O为极点,.轴的正半轴为极轴建立极坐标系,因C.的极坐标方程为 m-8eos8. (1求C:的参数方程; 19.(本小题满分12分) (2)若C与C外切,求n的值 在国家产业扶贫政策的大力支持下,我国西部地区禁个乡村为全面进乡村振兴, 利用当地自然条件,在南,北两山上发展大楼桃种植,大樱樊成熟时,在南,北两山上随 机摘取1000个大楼桃并测量共某项质量指标值,现将质量指标值分为[115,125) 23.(本小题分10分)选修4一5:不等式选讲 [125.1a5),[135,145).145,155),[155,165]5组,经续计得到如图所示的题率分直 已知涵数(r)-+】十-1. 圈 (1)在给定的坐标系中画出f(r)的图象; (1)求这1000个大楼梳质量指标值的平均值:和 (2)若一了有解,次的反值范用 方差5:(网一组的数据用该组区间的中点值作代表) (2)根据率分布直方图,可认为大楼桃的质量指an2 80 标值乙近服从正态分布N(.).其中.分别近似 为(1)中的二,,现有收物商来收购大楼桃,在交货前. 收购高随机抽取了100个大醒樊. 15510151B510m (1)记这100个大楼梳的质量指标值在(128.17.151.83)之网的个数为X,求tX; 理数(六)第4页[共(页 理数六]第3页(共4页) 衡水全卷·先享题·信息卷信息卷B 理数(六) 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷B·理数(六 {命题要素一览表 注: 1.能力要求: I.抽象概括能力 II.推理论证能力 IV.空间想象能力 III.运算求解能力 V.数据处理能力 V.应用意识和创新意识 2.核心素养: ②逻辑推理 ③数学建模 ④直观想象 数学运算 ①数学抽象 数据分析 知识点 核心素养 能力要求 题号 题型 预估难度 值 (主题内容) I IIIIIVV ③④ ① 7 () 档次 系数 5 1 选择题 易 集合的交运算,求子集的个数 0.80 与复数运算及性质有关的组 2 5 易 选择题 0.75 合题 选择题 3 统计图的应用 5 / 0.72 函数的单调性与奇偶性的 5 / 4 选择题 中 判断 0.68 , 中 选择题 正切型函数的性质 5 0.65 平面向量基本定理的应用(不 6 117 中 选择题 0.62 涉及坐标运算) 1 等差数列与裂项相消求和的 7 选择题 中 0.58 综合 面积型儿何概型(数学文 5 8 中 选择题 0.50 化题) 选择题 抛物线中的最值问题 中 5 9 0.45 选择题 几何体中的平行与垂直关系 1 0.40 11 选择题 双曲线方程与性质的应用 0.30 12 选择题 立体几何中的截面问题 难 1 0.28 13 由含有一个量词命题的真假 填空题 易 5 0.72 求参(结论开放题) 14 求线性约束条件下平方型目 中 填空题 / 5 0.65 标函数的最值 15 填空题 中 等比数列与不等式的综合 5 0.50 16 填空题 导数与三角函数的综合 难 0.25 .1. 1·B 信息卷B 理数(六) 三角恒等变换,利用正、余弦 17 12 中 解答题 0.65 定理解三角形 折叠问题,证明线面垂直,由 12 中 18 解答题 0.55 二面角求参 以频率分布直方图为载体,求 12 __ 19 解答题 中 平均值与方差,涉及正态分布 0.40 20 解答题 12 轨迹问题,直线与圆的位置 难 0.22 关系,存在性问题 以三角函数为载体,利用导数 21 12 解答题 难 0.15 研究函数的单调性与极值点 圆的极坐标方程与参数方程 22 选考题 10 中 的互化,由两圆的位置关系 0.60 求参 23 双绝对值函数的图象,由不等 选考题 10 中 0.60 式有解求参 .2. 1·B 信息卷B 理数(六) ## 参考答案及解析 理数(六) 一、选择题 (x+--1 1.C 【解析】由题得A-xl0<x+1<8 =x|-1 y)AD+yAB,所以 #-# ,所 x7},又B-rl =2n,nN ,所以AOB= 2,4.6),其真子集的个数为2-1-15.故选C. 以2x十-一 #.故选D. 2.A 【解析】因为直线x十2y+1-0与y轴的交点为 (o#)#-1## }# 7.A 【解析】设数列a。)的公差为d,则 a.+4d-9 (a-1 ,解得 l-2 [4a.+6d-16 ,故a。-2n-1,S.=n. -(1+i) +1-1-1.故选A. 以(),则 1 3.C【解析】由图可知,12月17日、24日为星期日,返 1。 程游客人数最多,12月16日、23日为星期六,到达激 客人数最多,故AB正确;12月18日为星期一,到达 -1.))1_选A. 游客人数多于12月19日,故C错误;从12月17日 到12月24日该地返程游客人数呈先减后增的趋势 8.D【解析】如图,设AJ-1-1,则A1-v2,由“一” 故D正确.故选C. 字图案可知AB=BC=AI-2,HG=AJ=1.由箭 4.B 【解析】当x<-2时,x-2<0,则×一2- 图案可知HI-AB十BC-22,由“一”字和“T”字图 一(x-2),所以f(x)=一 案可知EF-CD-1.则GF-2②-1.所以“T”字图 一-4;当x>2时,x-2>0,则f(x)- 案的面积为22+22-42.直角梯形FGHI的面 积为×(2/-1+2v2)x1--1.故所求概率 [--4<-2 2,故VxE -4,所以/(r)一 2 1-4,2 4/2一1 (-,-2)U(2,+oo).f(x)=-f(-x),所以 4/2 f(x)为奇函数,当x>2时,任取2<x.<x,则4< <,所以r-4<ri-4,所以v-4<v-4 即f(x。)<f(x。),故f(x)在(2,十oo)上单调递增 故选B. 5.D【解析】令2x+ 2得. -,故B正确:当-一2时,-2-,故C正确:当 9.B【解析】设Q(x,),x0,则|QM-(x-a) [a-4<0 (a-40 6.D【解析】因为MB-MC+CB--AD+-AB.又 MB-AD+yAC-AD+(AB+AD)-(r 解得a-8.故选B. 10.C【解析】如图,取AD的中点P,连接NP. .1. 1·B 理数(六) 参考答案及解析 PG.AC.A. C,BD.B.D..则平面EFG即为平面 EFNPGM,所以MNC平面EFG,故A错误;在正 方形A B BA中,由NB =BF,得 BFN=45 $ 由AB-2BF,得 AFB45$,故 AFN≠90{,所以 FN与平面AEF不可能垂直,故B错误;因为BD1 AC.BDIAA.ACOAA. =A.AC.AA C平面 ACC.A.所以BD平面ACCA.因为PN/B.D /BD.所以PN I平面ACC.A.所以AC 1PN.同 理AC IPG,又PGOPN=P,PG,PNC平面 二、填空题 EFNPGM,所以AC 1平面EFNPGM,即AC 工平 13.1(1,2.3.4.5.写出一个即可)【解析】由题意得VxE 面EFG,故C正确:由AC.1平面EFG,AC.与平面 B,-ar+a+3>0为真命题,则A=a-4(a+3 AEF不平行,得平面EFG与平面AEF不垂直,故 <0.解得-2<a<6,又aN,所以a可取1,2,3 4.5中的任意一个. D错误,故选C 14. 【解析】画出不等式组表示的可行域如图中阴 影部分所示: /2r-y+4-0 r-2y-2-0 11.C 【解析】设△FAB的内切圆分别切F,A.F。B 于点P,Q,内切圆的圆心为E,因为 AFB-90{ 2r+y-4-0 则 PEQ=90*,又EP 一EQ,所以四边形 (x+4)}十可以看作可行域中的点(x,y)与定点 EPF.Q为正方形,因为 FP 十FQl |FA|+|FB|-AB|=(|FA|-|FA+ (一4,0)之间的距离的平方,当过点(一4.0)的直 线与直线2x-y十4-0垂直时,距离最小,此时最小 ( FB -FB=4.所以FP=FQ -2 所以△F.AB内切圆的半径为2.故选C. 4T 5 12.B【解析】取AC的中点N,AN的中点Q,连接 MQ.BN.则MQ/BN,因为AB=BC,所以BN AC.又AA IBN.AA OAC=A.AA.ACC平面 15.(2,+o)【解析】当-1时,S<21S,不符合 ACC.A.,所以BN 1平面ACC.A,延长QM.CB交 题意;当1时,由S >215。,得(1-)>21· CB -1- -2.所以BS-2.连接CS交 BB.于点T,连接C.Q.则四边形MTCQ即为所得 1- 截面图形,因为QS/BN,所以QS1平面ACC;A. 即+q+121,解得>4,又q0,所以q>v2 所以QS1AC.QS1C.Q.因为QS=33.C.Q=5. 所以g的取值范围为(②,十o) sT_ 2 因为/(x)在(0,十o)上单调递增,所以(x)0 在(0,+oo)上恒成立,由/(3)1ln({+1)十 6 ln(3+1)>ln5~1.6.n(3+1)<2.0.8-4< .2. 1·B 信息卷B 理数(六) 所以AO1平面BCD. 所以BD,BC.AO两两垂直 (5分) 以当a3时,/()<0,不符合题意;当a-2时, 则以O为原点,以OB,OA所在直线分别为x,:轴; 以过点O且平行于BC的直线为y轴建立如图所示 当x(0.n]时,f(x)0;当xE(x,+o)时 的空间直角坐标系 n1 -2ln4+3 -2~0.150,符合题意.综上,a的 最大值为2. 三、解答题 17.解:(1)对于b(2sin Acos C+sinC-2sin B)= c(2sin C-sin B-2sin Acos B). 因为2sin Acos C-2sin B-2sin Acos C-2sin(A+ C)=-2cos AsinC. 则A(0.0.②),B(②.0.0),D(-②,0.0),C 2sin C-2sin Acos B=2sin(A+B)-2sin AcosB- 22.0).Q2.2②.0. 2cos Asin B. 所以AD=(-.o.-2).D=(2v,2v2,0). 所以 b(sin C-2cos Asin C)=c(2cos Asin B-sin B). -(o.2②.o). (7分) 即bsinC(1-2cos A)-csin B(2eos A-1),(3分) 由(1)可知BC1平面ABD. 则由正弦定理得bc(1-2cosA)=be(2cosA-1). 所以平面ABD的一个法向量为BC-(o.2v2,0), 所以1-2cosA-2cosA-1. 设平面ADQ的法向量为in三(x,y,z). [n·AD--②x-②--。 则 ..D-22x+2v2-0' 又AE(0.x),所以A-吾 (6分) 取y-1,得n-(-x,1,). (10分) 因为二面角B-AD一Q的大小为45^{, 所以cos 45)-lcosBCn- n|BC 因为S△ao+S△Aco-SAc. 2/2 所以·ADsin+·ADin-brsin哥, (9分) 又6-2-2. 所以AD_、3. (12分) 19.解·(1)根据题率分布直方图得; 所以AD-2③ (12分) -(120×0.012+130×0.022+140×0.032+150 $×0.022+160×0.012)×10-140. (2分) 18.解:(1)因为平面ABD1平面BCD,平面ABD0平 则$-(120-140)×0.12+(130-140)$0.22+ 面BCD=BD,BC1 BD. (140-140)×0.32+(150-140)×0.22+(160- 所以BC1平面ABD. 140)×0.12-140. (5分) 又ADC平面ABD. (2)由(1)可得n-140.-140~11.83 (6分) 所以BC|AD. (3分) (1)因为P$128.17<Z<151.83)=P-。< 又AB AD.ABOBC=B.AB,BCC平面ABC, +o)~0.6826. 所以AD1平面ABC. (4分) 所以X-B(100.0.6826). (2)取BD的中点O,连接AO,则AO1BD. 所以E(X)-100×0.6826-68.26. (9分) 因为平面ABD1平面BCD,平面ABDO平面BCD (II)因为(-g.+2a)-(128.17,163.66). 一BD.AOC平面ABD. .3. ·B 理数(六) 参考答案及解析 所以抽取的10个大樱桃中有2个的质量指标值在 所以/(Cr)<0. (128.17,163.66)以外,分别为117.23,126.44. 所以f(x)在(0,x)上单调递减. (5分) 所以原定价格要变动. (12分) (2)由(1)可知当x(0,x)时,/(x)<0./(x)无 零点; 20.解:(1)设M(r,y). (6分) 因为d-2MF: 当x(x,2n)时,g’(x)--(r”+2)sinx0,g(x) 所以1-4|-2(Gr-1)+y, (2分) 单调递增. 整理得1, 又g(n)--<0,g(2)-40. 所以习x。(x,2x),g(x。)-0,则f(xo)-0. 所以当x(x,x。)时,g(x)<0./(x)<0; 当xE(x,2x)时,g(x)>0.f(r)>0. (4分) 所以f(x)在(n,x。)上单调递减,在(x。,2a)上单 (2)当直线AB的斜率存在时, 调递增. 设直线AB:y=b(x-1),b→0,A(x,y). 所以/(x)存在唯一的极值点x。. (8分) B(r:,y). 又8()-4-×(3-2-)<0.#()-3-→o. (y-k(r-1) 联立 ###1_ ,得(3+4^{})-8^}x+4^}-12 所以xo(3) 3 =0. 2sinx. 由g(x)-xcos x.-2x sinx.=0,得x= 则△-64-4(3+4^)(4-12)-144(k+$$ co5% sinx二 sinx >0. cos.o 所以/(x。)= 4sin{o 4sin x% -3_12 # (6分) 所以x+:-8 cosr。 寸(_in ). 设N(n,0). (10分) 若 ANB被x轴平分,则+=0. 令(-sinxo,则1e(-1.-). 所以+(-1)(x-1) r-n:-n r一 r-7 ##)-(),则()-(--1)<0 b(x.-1)(x-n)+k(x-1)(x.-n) (r.-n)(xr-n) [2r-(n+1)(n+r:)+2n]-0, 所以)(1)在(-1.-)上单调减诚, (8分) (x-n)(r-n) 所以()>#()一## 所以2xx.-(n+1)(x.+x)+2n-0. 8 3+4 3-4+2=0 (12分) 化简得-24+6n-0,则n-4: (10分) 所以N(4.0). 22.解:(1)由n-8cos0. 当直线AB的斜率不存在时,直线AB;x-1 得-8ncos6. 点A,B关于x轴对称 即”十-8r: 即(x-4)+-16. (11分) 此时N(4,0)满足 ANB被x轴平分。 (2分) 综上,t轴上存在点N(4.0),使得乙ANB被-轴平 (r-4cosa+4 故C。的参数方程为 (为参数). 分。 (12分) ly-4sina 21.解:(1)由题得/(x)-2cosr-2rsinx. (5分) (2)由(1)知,C的圆心为(8,m),半径为1, 令g(r)-rcosx-2rsinr,xE(0.r). C.的圆心为(4,0),半径为4; (7分) 则g(x)=2reos x-r* sinx-2sin x-2xeos = 由题意得 (8-4)+(m-0)-4+1. 一(r+2)sinr0. 解得n-士3. (10分) 所以g(x)在(0,n)上单调递减. (3分) 所以g(r)<g(0)-0. .4. 1·B 信息卷B 理数(六) 23.解:(1)由题得f(x)=|x+1|+|x-1|= (2)因为f(x)=|+1|+|x-1|→|(+1) (-2x,x<-1 (-1)1-2. {2.-1<1<1. (3分) 当且仅当(x十1)(x-1)<0,即-1<x 1时等号 2r.r>1 成立, 作出/(x)的图象如图所示. 所以/(x)<a-7有解即2<a-7. (7分) 1 解得a3或a<-3. 所以a的取值范围为(一co,一3]U[3,十). (10分) (5分) .5. 1·B