2024年高考理科数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（JJ·B）02

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 7.已知正三棱台AC-AbC的上我面积为，下底面积为4,3，高为2，则废三棱台 理数（二） 的侧面积为 A.3、39 &639 C.18 D.18w3 本试卷共4页，23题（含进考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： &.〔九章算术)中（方田）一章给出了计算复田面积的公式：道田面积=号（弦×矢+ 1.答慧曾，先将自己的拉名，考号等填写在答道卡上，并将准考证号条形码括贴在 矢).氧田（如图）由属氟和其所对兹所围成，公式中“弦”指氧所对的弦长，“矢”等 答周上的推定位置 2,速择通的作签：这出每小题茶策后，用2B铅笔花答题卡上对应题日的答策标号 于率径长与阳心到弦的距离之差.现有侧心角为0∈(0，)》且ms一石，半径等 牵黑。写在试用卷，单稿领和芳是十上的非答道区战动无效。 于0m的孤田，拉照上述给出的面积公式计算氢田面积是 3,填空题和解答题的作答：用签宇笔直接写在答题中上对应的答题区城内。写在 A,14m 款题卷，草稿最答题香上的非答题区城均无数 B.18 ,感考题的作若：先把前选慧月的题号在答题卡上帽定的位置用2B相笔涂累，答 C,40m 案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试逝卷，草码纸和答题于上的非答题区战均 1)6i0m 无就 9,已知属橡S)的铂载面为等边三角形，网锥内部有一球与：南及熊面都相切，若球体 5,考认结来后，就得本认题卷和答题卡一开上变 的体积为36π，期额锥的体积为 第I卷 A.54x 以81= C.108 [.162x 一、迹择盟：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的网个选项中，只有一项是将合 题目要求的： a已知精圆C话+号-1o>6>0)的左：有点分别为形，5，C上的写点A.B位于 1,复数一语的虚部为 x轴上方，且bw,-w,一1，{AF,一2BF:,则C的离心率为 A- c D. 11,已知函数f)=s(2r十(>0)在(4g5E)上单测递增，则零的取值花围是 2,已知集合M-{xI<3,N-e2a3>31,用C.(MUN)- A.(-0a,1） 线(-oe,3] C.1,+a) D.(3,10) A[5剖 音周 .某地区中午11时到度里23时的气盟分布如知阁所 示，关于这5个时划的温度，以下说法错德的是 1 c[ [晋u[ A.5个时刻程度的极差为7℃ B,5个时刻围度的中位数为9℃ 12已知4一品6=o7=则 C.平均置度为5 A.e 且6>4> C.>a>h D.C D.下午17时温度最高 第Ⅱ卷 4,已知数到.满足：4.一a2(uEN1,S为a,的前0项和，期3一 本卷包活必考置和选考题两部分。第13一21题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第22一23题为远考愿，考生根据要求作答。 A.30 B18 C.15 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。 立，函数f(2)一xx的部分图象为 13,寒很期间，小明和爷答奶好爸爸妈妈五人自驾一炳七座（含司机毕位）商务车出去游 玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不馆坐南驾，期不同的坐法种数为 。用数字 作答) 14.菱影ABCD的边长为2，∠DAB=0°，以D为圆心作周且与AB相切于E,Q是 2 ⊙D与CD的交点，测AQ:A正 AEI 5若权曲线于-少=1与圆红一)+y=广>0)仅有两个公共点，期r的一个聚值 A 可以为 6,已雨数f八r=一ar一（其中1<a<}在(0，十∞）上有零点，到的取值 15.如图，平面四边形ABCD中，AB=3.AC=2BC,AD=D,∠AC 范图是 一0，划四边形ABCD面积的最大值为 A.(.) 我0) c(合 D(0,1) 理数1二1第【页共4贾) 街洛金卷·先享置·信息卷 理数（二1第2页（共4页 山因 三，解答题：解答应写出文字说明，证阴过程或演算步骤。 20.(本小题清分12分》 17.〔本小题满分12分) 已知抛物线C:一2y(p>0),斜率为1的直线1过C的焦点，且交C所得弦 记S,为数列a.的前w项和，已知5，=m. 长为8. 《1)求{4.1的通疾公式： (1》求： 《2)若在，=（一1）。十2，求数列6}的前2项和T… (2》过点M作C的切线MA,MB,A.B为切点，且∠AMB=90.求点M的轨逢 方程. 18,(本小题夷分12分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAD平面ABCD,∠APD=0,PA=PD, AB=4,BC-CD=2,AB∥CD,∠AC-90 21.(本小题满分12分》 (1)证明：PA⊥3D: 2)求AC与平面CP所成角的正弦值 已知函数《r) 专十一血的最小值为是 (1)求4的值： (2)若4满足7≠且J》-f（±)，证明：十2， 19.(本小题牌分12分》 请考生在第22,23题中任选一盟作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 某亚玩球训练机购以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把匠度球打到 22.(本小题得分10分》选修4一4：坐标系与参数方程 对方球台的带定位置〔称为“准点球”)，每周记录母个接受训练的学具在可练时打的因 有球中"雀点球“的百分此(y%),A学员已经调练了1年，下表记录了A学员最近七吗 在不面直角生标系心中.圆C的态数方积为一站2：为参数.以坐标 “准点球”的百分比： 原点)为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直找？的做坐标方程为 周次x) 6 7 pin(0-是)-m(m<0. (%》 52s285品，54,554,95,3 (1)求圆C的鲁通方程和直线/的直角坐标方程： (2》若直线与闭C相切，求切点的段坐标. (1)根据上表数据，计算y与？的相关系数r,并说明y与。的线性相关性的强弱： 《若0.75r,则认为y与：线性相关性很强：若0,3≤<0,75，则认为y与÷ 线性相关性一般，若「0.3，则认为y与x线性相关性较弱)（精确到0.01） 2)求y关于工的线社间归方程，并衡测第9周准点球的百分比（精确列0.01）： 《3)若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%：并以此为概率，现让A学员打3 个球，以X表示“准点球的个数，求X的分布列及数学期望. 象考公式和数据：对于一组数据《m,〔4+)，，〔丛，马)，「= 23.(本小题清分10分》选修4一5：不等式达讲 ∑一 已知函数f)一2F+a十-3 —=7-,>2-72,0, (1)求(x)≤-x十9的解集： (2)求曲线y一（工）与直线y一12所用成的阁形的面积 ∑w,=729.981.926y=5886y=103,73∑(-)∑（x- .13. 理数（二1第3页（共4页 街水全装·先享置·德皇卷 理数（二）第4更「共4页引 刀·国信息卷B 理数(二) 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷B·理数(二) {命题要素一览表 注: 1.能力要求: I.抽象概括能力 II.推理论证能力 III.运算求解能力 IV,空间想象能力 V.数据处理能力 V.应用意识和创新意识 2.核心素养: ②逻辑推理 ③数学建模 ④直观想象 数学运算 ①数学抽象 数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 题号 题型 预估难度 值 (主题内容) I II IIIv V ③④ ① () 档次 系数 5 选择题 易 复数的除法,涉及复数的虚部 0.78 选择题 易 集合的混合运算(涉及补集) , 5 0.76 利用散点图研究数据的数字 选择题 5 易 3 0.74 特征 选择题 周期数列问题 4 0.72 选择题 由函数解析式确定图象 5 0.68 中 选择题 利用导数求函数的零点 6 1, 0.62 选择题 7 台体侧面积的计算 0.58 选择题 与面积有关的数学文化题 0.50 选择题 0 5 几何体的内切球问题 0.48 10 选择题 求囤的离心率 中 7 0.40 11 5 利用余弦型函数的单调性 难 选择题 0.26 求参 12 ,。 选择题 利用导数比较大小 0.22 13 。 填空题 计数问题 0.78 与数量积有关的向量求值 14 5 填空题 0.50 问题 15 填空题 中 双曲线与圆的综合 5 0.40 16 填空题 解多个三角形 难 5 0.20 等差数列,求数列的通项公 17 解答题 12 中 0.60 式,数列奇偶项的求和 以锥体为载体,证明线线垂 18 中 解答题 12 0.55 直,求线面角的正弦值 .1. 1·B 信息卷B 理数(二) 三问,可化为线性回归的非线 # 19 12 解答题 性回归问题,分布列及数学 0.45 期望 直线与抛物线的综合,轨迹 _ 20 12 解答题 难 0.20 问题 导数与函数的综合,由函数最 21 12 善 解答题 值求参,极值点偏移问题的 0.15 证明 22 10 圆的参数方程与直线的极坐 选考题 中 / / 0.60 标方程 求双绝对值和的不等式的解 23 选考题 10 中 0.60 集,求平面区域的面积 .2. 1·B 信息卷B 理数(二) ## 参考答案及解析 理数(二) 一、选择题 8.A 【解析】由cos- 虚部为故选C. 2.A 【解析】由题得M-[1,10),N=(3,+o),故 #2-2,所以所求孤田面积为 -12,矢长为10-10cos 0 MUN-[1,+),所以C(MUN)-(-co.1).故 选A. 3.B 【解析】由图可知,5个时刻温度的极差为9一 2-7,故A正确;中位数为4.B错误;平均温度为 9.B【解析】设球半径为r.由一“=36x,得=3.又 该几何体的轴截面为等边三角形及其内切圆,则等边 知D正确.故选B. 三角形的边长为2v③^,高为3r,即圆锥底面半径为 4.C 【解析】对VN,a:+a:+a=(3k+1) x()+(3+2)x(-)+(3+3)×1- 2 81.故选B. 故Ss=(a:+a+a)十(a+as+a)十..十(as十 a/a)-10×-15.故选C. 10.B【解析】延长AF。交园C于B',由对称性可知 IB'F =BF ,设A(x·y).B'(x·).易得 5.B 【解析】因为f(x)一xcosx为奇函数,所以排除 A.D;当o r<吾时,f(r)-rcosx0,所以排除 1,得(+a*)y-2cy-6-0,故y+y= C.故选B. 2C ##2年,) - 6.D 【解析】由f(x。)-e-a(x。+1)-0,得a = -,将y=-2y:代人,得一y= e%。 2 #①,--#^} 叶>0,则()-re ##o·令(x)- (1)> 一6 #} ②,①-②,得 0.(r)单调递增,而h(0)-1,h(1)= 2,故由 4 2-(6+)) (x。)=a(1.号),可得x。(0.1).故选D. 7.A【解析】易求得正三校台上、下底面边长分别为 2、4.设C 在底面ABC内的射影为H,作HQ BC 于Q,则BC 1平面C.HQ,所以BC1C.Q.由BC=4 B$C=2,BB=CC ,则CQ=1.又HCQ-,所以 HQ3 3,则CQ-VCH+HQ-39. ,故三校台 3 F 的侧面积为2430 2 X3-339.故选A 2x4十>2kπ-*,hz.解得 11.D【解析】由题得 2x5+2k B ) #或故选D. .1. 1·B 理数(二) 参考答案及解析 12.B 【解析】令/(x)=cosx-(1-). (xE(o.吾)),则f(x)=r-sinx,令(r)=- r-205 ,所以四边形ABCD面积的最大值为10 sinx,xe(o.吾),则(c)=1-cosx0.e(x)即 三、解答题 17.解:(1)因为S一r. #(x)单调递增,所以(x)/(0)-0,故/(x)为 ### 所以当n2时,S-(n-1). 增函数,所以/(一)>(0)-0,可得cos- 所以$-S,-a。-n-(n-1)-2n-1, (3分) 故a<b.令g(x)=e-(x十1),(x>0),则g(x) 又当n=1时,a.一S=1满足上式. 所以a.)的通项公式为a.=2n-1. (5分) e-1>0,故g(x)为增函数,所以g()>g(0)- (2)由(1)可知当”为奇数时,b=一a.十2=1- 2n+2; (7分) 97,故c<a,所以c<。 当n为偶数时,b.=a.+2”=2n-1+2. (9分) <b.故选B. 所以T-b +b+b+b+.+b. 二、填空题 =(b+b+b+.+b-1)+(b+b+b+..十 13.600【解析】先选司机有C种,再选副驾,若副驾 b.)-2n+2+2+2+2+.+2* 坐人,则有CA 种;若副驾不坐人,则有A种,故 (12分) 不同的坐法种数为C(CA+A)-600. 【解析】由题可知D|=DE|=3. 14.1+3 18.解:(1)因为BC-CD-2. BCD=90*. [AEl-1,故A·A-AD·AE+D·AE-1+ 所以BD-2②,且 DBA-45^* #.故4# -1十3. 又AB-4,由余弦定理可求得AD-22. 则 ADB-90*,即BD1AD. AE (3分) 15.3(答案不唯一)【解析】①数形结合可知,2<r 又平面PAD1平面ABCD.平面PADO平面ABCD <6; -AD. 所以BD平面PAD. 又PAC平面PAD. 所以PABD. (5分) (2)取AD的中点为O,则PO1平面ABCD. 以O为原点,CB、AB、OP所在方向分别为x、y、;轴 的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxy. ②由对称性可知;双曲线与刚的两个公共点关于 r轴对称,将y--1代入圆的方程,得一 、D. 8$r+15--0,A-0时,解64-5$(15-)-0. 得,-55 ,经检验符合题意,综上,r的一个取值可 5 以为3. 16.10 【解析】设BC=x(1r3).ACB-8.则 AC-2r.S-2.S△ac=r”sin 0.而cos 8= 则A(1.-1.0).C(-1.3,0).B(1.3.0).P(0.0 2). BC-(-2.0.o).PC-(-1.3.-2).CA-(2,-4. 4r 4 0). (7分) -310r--0 9..Saoco-S+S-= 4r{} 设平面BCP的法向量为n=(x,y,z). #&+310r--9-+316-(-5), (n.BC-。 则{ m.PC-o' 令 *-5-4cos ((0.).则Sa=5+ 即{ 1-2r-0 1-+3y-v2:-o' 取:-3,则m-(0.v2,3). (9分) .2. 1·B 信息卷B 理数(二) 设AC与平面BCP所成的角为0, 代人抛物线方程了{一2y. 则sin0- cos(CAm·CA 得$-2$--0,>$$$$ Im·ICAT 所以x+r=2,=-${,$$ (3分) -2110 4v2 所以|PQl-l-|=8 $=8 $ 55 解得)-2. 1x20 (5分) (2)由(1)知,抛物线C:一4y,设M(x。,y),切线 5 斜率为. (12分) 设切线方程为y一一(x一x。),代入抛物线方程. #2~-7) 得-4hr+4kr。-4y-0. 则△-16^-4(4kr。-4y)-0. 19.解:(1)r一 即为-r。+y=0. 。 此关于:的方程有两解,即分别为直线MA,MB的 729.98-7×103.73 斜率: ~0.940.75. 4.13 又乙AMB-90{,所以k$=y=-1.$$$ (3分) 故y与:线性相关性很强 所以y=-1, 即点M的轨迹方程为y=-1. -7 (12分) (2)6二) 21.解:(1)因为f(1)一 ##_7}# 2 故文一1时,/(x)取得最小值 729.98-7×103.73~1.888. 又/(n)=+1-, 2.05 --1.888-53.86-1.888t1.926 ~50.22 所以/(1)-0,即a-2. 代入检验知符合题意,故a一2. 所以y关于:的线性回归方程为y=1.89x+50.22 (4分) 将:=v代人i-1.89z+50.22. (2)因为/(x)=x+1-2(r+2)(r-1) r ./(r) ,1 得 -1.89+50.22. (6分) 的极值点为1. 当x-9时.-1.89x$ 9+50.22-55.89.$ 故可设0 x 1<x,且/(x)在(0,1)上单调递减 故预测第9周“准点球”的百分比为55.89%.(7分) 在(1,十oo)上单调递增, (3)现在A学员任打一球是“准点球”的概率为: 要证x十x>2,只须证x2-×; 5511 10020 又>1,2-x>1. 故只须证f(x)f(2一x). 由题意,X~B(3.). (8分) 即证f(x)f(2一x). (7分) 则P(x-0)_C一·(1-) 令g(x)=f(r)-f(2-r),0<x 1. 则g'(x)-/(x)+/(2-x) P($x-1)_-0·(1-)-8 -+1-2(2-+1-) #(2)_()(1-)- -0 #(x-3)_CG.()- 因为0<x<1,所以0<x(2-x)<1. 分布列为 所以g'(x)<0. X 0 所以g(x)为减函数,g(x)>g(1)-0. (10分) 70 320 03 13 而<x<1,故g(x)=fx)-f(2-x)>0. P 故原不等式得证. -2+2cosa(a为参 (12分) 22.解:(1)由圆C的参数方程 (10分) -2sin 11_ 数)消去参数a. (12分) 可得(r-2)*十y-4. 20.解:(1)设直线/的方程为y=x十.(与C的交点 故圆C的普通方程为(x-2)十y*-4. (2分) 由 psin(o-)-psin eo-cos osin吾-m, 为P,Q.设P(x..y).Q(x.y) .3. ·B 理数(二) 参考答案及解析 可得x-3y+2n-0. (-3<<3 故直线/的直角坐标方程为x-3y+2n=0(m (5分) 0). (r3 或 (3r+3<-x+9’ (2)由直线1:r-3y+2n-0以及m<0,可知切点 解得一6<x<0. 位于第四象限: 即/(x)<-x+9的解集为[-6,0]. (5分) 如图,设切点为M,直线/与x轴的交点为A,圆心 C(2.0).CMI7. (2)作出曲线y一/(x)与直线y=12的图象,如图. 1 )-f) -12 可得 COM-=lM-2*2cos=2V3,$ 可求得A(-3.6),B(3,12),C(-5.12). 则切点M的极坐标为(2v3.,11*). (10分) 曲线y=f(x)与直线y=12所围成的图形 23.解:(1)因为/(x)-2x+3|+x-3 为△ABC, (-3r-3.x<-3 则|BC -3-(-5)|=8,BC/轴,则BC边上 3x+9.-3x3. 的高为12-6-6. 3x+3,r>3 (10分) .4. 1·B