2024年高考文科数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（JJ·B）04

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 8,就黎下列等式： 文数（四 -×1x3: 本试卷共4页，23题（含进考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。 +2+1=×2×, 注意事填： 中+22++2+1=19： 1,答题前，先将自己的拉名、考号等城写在器题于上，并将准考证号条形妈知此在 F+22+3+42+32+20+1P=4×113 答题卡上的粉定位置。 2,这择题的作答：这出每小题答囊后，用2B铅笔花答题卡上对良题目的答策称号 顾此线律，1十2十3十+152十14十…十32十2十1Ψ- 涂黑，写在试斯表，苹稿妖和答题下上的非答题区拔均无效。 A.2235 B2243 C.2255 D.2265 3,填空题和解答题的作答：用整宇笔是接写在答题卡上对应的答题区线内。写在 9,如图1所示的茗阳阁位于河南省信财市，是一栋由多种中国古建筑元索汇繁而成的 试题表，草装纸和签对卡上的非答题区城均无效， 塔式阁楼.加图2，线段AB表示署用解的高，C,D,E为三个可供选择的测量点·用 L,选考题的作答：无把所选题日的题号在答题卡上推定的位置用2B婚笔涂黑，答 ,E两点与茗阳阁底都的中心B位于同一水平面上，CD与点B,C,E所确定的水平 全写在答具卡上对应的答期区城内，写在试期卷，草稿族和答期卡上的華答勇区城无效， 面垂直，记在C,D,E处观察点A的伴角分别为a,?为估算出署阳阁的高度，设计 5.考认站来后，瑞将本认观《和容通卡一并上交， 了三种测量方案，测可以计算出茗阳阁高 第I卷 度的万案有 一，选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 ①CD,a,ACE,w∠ACE,∠AEC: 题目要求的。 ③(E,e…Y,∠CBE. L.已知集合A-江lg(6-x)<1,B-z一3<x<7},划A∩B A.①00 A.1r-4a71 B,a-x6》 B.①网 C,x1-7x<4 ,{x-6之3 C,3 阳2 之复数一买在复平面上对位的点位 D.TD西② A.第一象限：第二象限 C,第三象限 D第四象限 10,卫知骑国C:号+若=1(o>6>0的短轴的两个猫点分别为AA,点P是C在y 3.已知命题：3x∈最，十2=D,命题：u∈N',3>w,则下列命题为真奋题的是 拍右侧上的任章一点.且∠A,PA,60,期C的离心率的取值范混是 A.pAq 《n)Vg C.pV(g) (n》A(7g) 4.函数y=,5in三x一2cos三x的最小正周期是 A,] [, co,29 D.[) A啊 号 11,已知半径为1的球O中有一内接正四棱雏（四棱维的5个厦点均在球O的表面）， C.5x D.10x 则当正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高为 5,函数y一2的最小值为 A.I B c D.2 A.1 且2 C.3 D.4 6,已知向量a,b的夹角为，且a一2，a·(a一2b)一10，雕b在。方到上的授影为 12,已知函数八x一 号+nn引者一2是x)在0，十四)上唯一的极值 e 点，则m的取值范服是 R一昌 C.-2 D-号 A.[0.十∞》 7.中国劈纸是一种用前刀或刻刀在纸上劈刻花坟，用于装点生活或配个其孢民管括动 的民同艺术，植丽了侵致的数学美和丰直的传流文化信息现有一幅剪纸的设计图， 从阔中收一个正三角形，在每个边以中间的三分之一部分为一边，向外凸出作一个正 c.[-.o] n[】 三角形，再把原来边上中同的三分之一部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如 第Ⅱ卷 图所示.若句核额中随机投一点，期该点落在日色部分的概率为 本卷包括必考题和选考题两部分。第13一21题为必考题，每个试通考生都必须作 4③ 答。第22一23题为遗考题，考生根据要求作答。 二，填空题：本题共4小题，每小题5分。 C☒ D. a卫知ine+引-3则n(e+紧) 文数四引第1页（共4页） 衡水金参·光章趋·信息难 文数（图】第2页（共4页 切·国 1已知双偏线G后产=1a>2的左，有然点分别为F.R:且B= 19.(本小题斜分12分》 如图1所示，在四边形ACD中，AB∥CD,AB⊥BC,AB-8,DC-6,点F为AB 若双商线C:去千一m>0)与双曲线仁共新近线，则 的中点·点E在CD上·且EFLAB,将四边形CEF沿EF断起.使得AB=(,BE」 DF,得到如图2所示的多面体. 15,如图所示，翻柱的轴截面ABD是边长为2的正方形，E,F分别在上，下底面图国 (1)求BC的长。 上，搏足AE=BE,CF=DF,期异面直线AF与CE所成角的余弦值为 (2)求点D到平面ABE的距真 20,(本小题满分12分) 已知函数f)-一2c+罗-r-m+1. (1)当m=0时，求(x)的单调区间： 16,记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为，b,若C一景·则广的取值查围 (2)当x∈[一-1，十e)时，)2号一2c,求m的取值范围. 为 三，解答圆：解答应写出文字说明、证阴过程或演算步骤。 17,(本小您满分12分》 21.(本小题裤分12分》 不负青山，力换“金山”，民销旅游逐帝成为一种热渴，山野乡村的民容深受广大旅 已知抛物线C:一2py(p>0)的准线方程为y一多，直线1过点0,2)且与C交 游爱好者的喜爱，某市旅游部门为了促进生态特色城镇和新农村建设，将甲，乙两家民 宿的相关货料放到某国络平台上透行推广宜传，该平台道请部分鲁在这两家民富体验 于A,B两点，直线A0,以（其中O为坐标颜点）分别与圆+y2十2y=0交于M,N 过的游客参与调夜.得到了这两家民宿的“绿合清意度”评分（满分10分），评分德高，表 两点. 明辞客体验链好.现从这两家民宿的“综合满意度"的平分中各随机抽取10个伴分数据 (1)证明，AB: 如下： (2)求四边影ABMN面阴的最小值 甲2,210.10,8..816生 乙，270从.77.1.3？9.7 记甲，乙两家花宿“综合满意度”评分的样本平均数分划为，样本方是分州为 请考生在第22、3丽中任选一晒作答，如果多，则控所做的第一题计分。 ,风. 22,(本小满分10分》选修4一4：坐标系与参数方程 《1)分别求这两家民宿“蜂合满意度”评分的授袭和中位数： 《2)求z1对： 在平面直角笔标系0中，直线1的参数方程为：为参数，以坐标原点 《3)若：=0.5，=化104，根据”综合消意度"的讯分情况，判断小李远择哪一家民 宿更合适？ O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P三 +308 (1)求1的香通方程和C的直角坐标方程： (2)若P是C上一曲点，且点P到距离的最大值为2而，求， 18.(本小题满分12分) 已知数列(4.1的前？项和为S,2S,十4，=2一2m (1)证明：数列4。十11为等比数列： 23,(本小题满分10分》这修4一5：不等式法讲 《2)求数列1(2划一1)4，的前n项和T一 已知正实数a,b,c端是ax=8. (1)证明：wa(6+r》十，石(w十)+F(u十6)≥22： (2》证明：(u+)十(6+r2十(4+r》“48. 文数（四】第3页[共4页1 衡水金型”先享是·信息卷 文数（四》第4或共4黄1 刀·国信息卷B 文数（四） 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷B·文数（四） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 1,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力N,空间想象能力V,数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①文数抽象 ②逻辑推理③文数建模 ④直观想象 ⑤文数运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ 档次 系数 1 选择题 5 交集运算 易 0.80 复数的混合运算（涉 选择题 及1的周期性)，确定 易 0.78 点所在象限 3 选择题 含有量词的命题，判 5 易 0.75 断复合命题的真假 选择题 辅助角公式，求三角 5 函数的最小正周期 中 0.68 复合型函数的最值 5 选择题 5 中 0.65 问题（不涉及导数） 求一个向量在另一 6 选择题 5 个向量方向上的投 中 0.62 影（不涉及坐标） 面积型儿何概型（数 7 选择题 中 0.60 学文化题) 8 选择题 5 归纳推理 中 0.50 利用三角函数知识 9 选择题 5 中 0.48 测量高度 求椭圆的离心率的 10 选择题 5 中 0.40 取值范围 11 选择题 四棱锥外接球的有 0.26 关计算 12 利用导数研究函数 选择题 0.20 的极值问题 13 填空题 5 诱导公式的应用 易 0.75 14 填空题 双曲线的简单性质 5 中 0.65 (不涉及离心率) 1 J·E 信息卷B 文数（四） 求异面直线所成 15 填空题 5 L 中 0.40 的角 三角变换与解三角 16 填空题 5 形（不涉及基本不等 难 0.20 式) 计算样本平均数与 17 解答题 12 方差，利用平均数或 中 0.55 方差进行方案决策 由递推关系证明数 18 解答题 12 列为等比数列，利用 中 0.50 错位相减法求和 19 折叠问题，等积法求 解答题 12 中 0.40 点到面的距离 以指数型函数为载 解答题 体，讨论函数的单调 20 12 难 0.22 性，由不等式恒成立 求参 21 解答题 12 抛物线与圆的综合， 0.10 最值问题 难 直线的参数方程与 22 选考题 10 椭圆的极坐标方程， 中 0.50 参数方程的应用 利用基本不等式证 23 选考题 10 中 0.50 明不等式 ·2· J·E 信息卷B 文数（四） 参考答案及解析 文数（四） 一、选择题 等式为12+22+3+…+15+14+…+32+2+1日 1.B【解析】由g(6-x)<1,得0<6-x<10,即一4 =2255.故选C. <x<6,所以A∩B={x-3<x<6).故选B. 2.B【解析】因为=4-5-4+5i-4+51十21) 9.D【解析】对于①，在△ACD中，∠ACD= 2 一a 1-2i1-2(1-2i)(1+2iD =一6十131，所以复数g在复平面上对应的点 ∠ADC=交+R,∠CAD=a-A,所以AC 5 sim(受+) (-号，号)位于第二象限，故选B smaD所以AC=smC·CD.所以AB=AC CD sin(a-B) 3.C【解析】由x3+32=0,得x=一2，所以3x∈R. ·sina=cos sin a·CD,④可以计算出苕阳阁的高 x十32=0，故p为真命题，当n=3时，3”=n2,敌q sin(a-B) 为假命题，所以pV(一g)为真命题，pAq,(一)Vq 度：对于②，已知∠ACE和∠AEC,则∠CAE=π (一p)A(g)均为假命题.故选C ∠AcE-∠A比，由n2%x-n正 CE 4.C【解折】因为y=6n子x-2co号r CE n(ZACE+∠ABO·所以AC= sin∠AEC sin(∠ACE+∠AEC) 2(停m-号om号)=2（号 E所以AB=AC。思巴品 晋），所以其最小正周期是经=5元，故选C CE,②可以计算出茗阳阁的高度：对于③，BC= AB 5 ,BE=部又∠CBE,CE已知，由余弦定理可 tan a 5.B【解析】因为x2+2x+2=(x+1)2+1>≥1，所以 得AB,③可以计算出茗阳阁的高度.故选D. 22++≥2=2，即y=22++的最小值为2.故 10.A【解析】当P在C长轴的右端点Q时，∠APA 选B. 取最小值，要使点P是椭圆C右侧上任意一点，满足 6.B【解析】因为a·(a一2b)=|a2-2a·b=4-2X ∠APA≥60°，则∠A,QO≥30°，所以tan∠A,QO 2b×(-号）=10，所以b=3,所以b在a方向上 的投影为bc0s号=一，故选B C的离心率的取值范擱是(0，写]故选入 7.D【解析】设原正三角形的边长为3a,圆的半径为 11,B【解析】如图，记球O的内接正四棱锥为 3a R,则由正弦定理得sn60=2R,即R=V3a,所以圆 P一ABCD,底面正方形ABCD所在的圆面为圆O, 的面积S,=πR=3πa2.由题意，凸出来的小正三角 设顶点P到底面ABCD的距离为h,正四棱锥的体 形的边长为a,则六角昆的面积S,=×(3a2+3× 积为V.则V-弓Smk,记正四棱锥底面正方形的 4 边长为a,连接PO,OA,OA,则PO过点O,AO ×。=3V5。,所以该点落在白色部分的概率为1 =号公+7-号，图为0<号<1，所以0<u< =1-33c=二区故选D. S v2,所以正四棱锥的高为h=OP+OO=OP+ 8.C【解折】因为1=号×1X3,1+2+1=号×2 V0A-0A=1+√1-2，所以V= ×9,1+2+3+2+1= 3 ×3×19,1+2+3+ 3(1+√1-2a)令4=√-，所以0< +3*+2+1P=号×4×3，所以1+2+3+… 11,则V=号(--f++1D,放V=号(-3n +r+…+3+2+1=号(2m+1),所以第15个 -2+1)=-号(31-1)(+10，当0≤<吉时.V 1 J·E 文数（四） 参考答案及解析 >0,V单调递增，当号<1<1时，V<0,V单调递 15.号 【解析】取AB的中点为O,连接OE,FC,EF 诚，所以当1一号时，V有最大值，此时a-子，h 4 BF,BE,记BF∩CE=M,连接OM,因为AE=BE, 专故选B CF=DF,所以E,F分别为AB,CD的中点，所以EF ∥BC,EF=BC.所以四边形BEFC为平行四边形， 则M是BF的中点，又O是AB的中点，则AF∥ OM,则∠OME(或其补角)是异而直线AF与CE所 成的角.因为圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正 方形，AE-BE,CF-DF,所以BE=CF-区，EM EC-EFCF-.AF-VAD FDF .0 =后，OM=号AF-,所以在△OEM中，由余弦 A 定理得cos∠OME=OMf+EM-OE 2OM·EM 12.B【解析】由题意得了(x)=一2+m·二2 2 31 (x-2)(me+x）,且x=2是了(x)在区间(0， 2 2 re 十∞)上唯一变号的零点，令h(x)=me十x,则需 满足h(x)在(0，十∞)上没有变号零点.令h(x) me+r-0,得-m=号，令g)=号(x>0),则 g(x)=2卫，当x>2时，g(x)<0.g(x)单调 递诚，当0<x<2时，g'(x)>0,g(x)单调递增，故 D 当x=2时，g6x)取得最大值g(2)=号，其大致图 象如图，要使()没有变号零点，则需一m≥兰或 16.(-1.1) 【解析】因为C=号，所以A+B=x一C 一m≤0，即m≤一合或n≥0，即m的取值范围是 受，因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<受：0< (-,-]U[o,+e.故选B -A<受：得音<A<受，由正弦定理可得“少 3 mA8产B-专(smA-m》.因为mA sinC simB=imA-sim(经-A）=21-cos2A) [-(售-2)]=-号m(2A+号)又晋 <A<吾所以要<2A+吾<要，得-复< 二、填空题 1.- 【解析】sin(e+g）)=sin(a+晋+x) sin(2A+吾)<号，所以sinA-simB的取值范围 sin(a+吾）=-子 是（一子，），所以产的取值花偶是(-11。 14.3【解析】设C的焦距为2，虚轴长为2h.由题知， 三、解答题 17.解：(1)由表中数据可知， 2c=47,则c=2√7，则a2+a2-4=2=28,得a2= 甲民宿“综合满意度”评分从小到大排列依次为8.2， 16,a=4,则b=√a一4=2√3，则该双曲线的渐近 9.2,9.3,9.5,9.5,9.5,9.8,10,10.10, 线方程为y=士停所以受-得m=8 故甲民宿“综合满意度”评分的极差为10一8.2= 2 1.8, (1分) ·2 J·E 信息卷B 文数（四） 中位数为9.5十9.5=9.5 (2分) =2-2n+2 2 3” 乙民宿“综合满意度”评分从小到大排列依次为9， n+1 9.1,9.2,9.2,9.7,9.7,9.7,9.7,9.7,10, 即H.=3- 37, (10分) 所以乙民宿“综合满意度”评分的极差为10一9=1， 所以不.=3-共±-D=3--. (3分】 31 2 中位数为87十9.1=9.7 (12分) 2 (4分) 19.解：(1)取AF的中点G,连接DG,BG,EG 1 因为AB=AF=BF=4, (2)由题意得=0×(8.2+9.2+9.3+9.5+9.5 所以△ABF为等边三角形 +9.5+9.8+10+10+10)=9.5, (6分) 所以BG⊥AF, f=0×[82-9.5r+(9.2-9.5)+(93 因为EF⊥AF,EF⊥BF,AF∩BF=F,AF,BFC平 面ABF, 9.5)2+(9.5-9.5)×3+(9.8-9.5)2+(10- 所以EF⊥平面ABF, 9.5)2×3]=0.266. (8分) 因为BGC平面ABF, (3)结合(2)可知甲、乙两家民宿“综合满意度”评分 所以EF⊥BG, (3分) 的平均数相同，但乙的方差较小，较稳定， 因为EF∩AF=F,EF,AFC平面ADEF, 所以小李选择乙民宿更合适. (12分) 所以BG⊥平面ADEF, 18.解：(1)由题知2S.+a。=2-2n 因为DFC平面ADEF, 所以n=1时.2S,+a1=2a41+a1=0, 所以BG⊥DF, 解得a1=0, 因为BE⊥DF,BENBG=B,BE,BGC平面BEG, 故a十1=1， (1分) 所以DF⊥平面BEG, 当n≥2时，由2S。十a.=2-2n, 因为EGC平面BEG 可得2S。1十a.-1=4-2n, 所以DF⊥EG, 两式相减可得2a.十a。一a,-1=一2， 因为四边形DEFG为矩形， 所以,-4一号 2 (3分) 所以四边形DEFG为正方形， 所以EF=GF=2. (6分) 所以a.十1=子(a+1),n≥2. 又EF-=BC, 所以BC=2. 所以数列{口十1)是以1为首项，了为公比的等比数 列. (5分) (②)由1D得a,+1=1X品， 1 故a3-1 所以(2n-1)a,=(2m-1D×(号）'-(2n-1. 令H.=1×1+3×号+5×(3）广+…+(2m-) ×(号) (2)由(1)得BG⊥平面ADEF, 则号H.=1×号+3×（号）+5×(3）+…中 在等边△ABF中，BG=2V3, 所以VH-ADE= 3SaA0E·BG=1 ·×2×2× 2m-1)×(号）， (8分) (8分) 两式作差，得号H,=1+2(号+ 2v3=43 3 在Rt△AEF中，AE=VAF+EP=25, 3品）-(2m-D×(3) 在Rt△BEF中，BE=√BF+EF=2V5, 所以Sar-专×4XV2/6r-2=8 (10分) 1-3 设点D到平面ABE的距离为d, 则由V-E=Vo-E, 3 J·E 文数（四） 参考答案及解析 得45=是×8×d, 联立 x2=2y 3 3 ly=kz 解得4 解得x=0(舍去)或x1=2k, 2 联立{r+y+2y=0 故点D到平面ABE的距离为 (12分) Ay=kr 解得=0（舍去）或=1十衣： 一2k 20.解：(1)当m=0时，f(x)=(.x-2)e+1, (7分) 则f(r)=(.x-1)c, 所以AM1=√/个+|1-x 因为心>0恒成立， 所以由f(x)≥0，得x≥1，由f(x)<0,得x<1, =√1十k 2+ 所以f(x)的单调递增区间为[1，十∞)，单调递减区 21k1(2+2) 间为（一∞，1） (4分) =个+F.2k(+2)= 1+k2 1+k (2由x0>受r-2e 2-[)广+2] 得xe-m.x-m十1>≥0， 同理可得BN 因为xc一m.x一m十1≥0， W+() 所以m(r十1)≤xe十1. 2(2k+1D (9分) 当x=-1时，0≤-1+1恒成立. k°√1+k图 e 当x>-1时m≤e十 x+ (8分) 所以四边形ABMN面积S=号AM·BN 令g()=e+1 _2(2+)(2k0+1)_2(2+53+2 x+1 k(+1) kk十k 则g'(x)=(x+x十1)-1 2(2+是+5)2[2(1+)广+1] (x+1)2 令h(.x)=e(x2十x十1)-1， k十 k十 因为h'(x)=c2(了+1)(x+2)>0在(-1，+∞)上 (10分) 恒成立， 所以h(x)在（一1，十o∞）上单调递增。 (10分) 又因为h(0)=0, 所以g(x)在（一1,0）上单满递减，在(0，十)上单 则≥2√k1·为=2，当且仅当k=1时等号 调递增， 成立， 则g(x)mm=g(0)=1. 所以m≤1， 则s=22+D=2(2+） 综上，m的取值范围为（一o©，1门. (12分) 21.解：1由题意知一专=一之 因为$=2(2-}）-22>0. 所以S在[2，十∞)上单调递增， 解得p=1, 所以当=2时，S取得最小值9， 所以x2=2y. (2分) 即当k=士1时，四边形ABMN面积的最小值为9， 由题意得（的斜率存在， (12分) 设1的方程为y=mx十2，A(y),B(y), 由 22.解：1)由1二：04为参数) y=a-2t 消去参数1得2x+y十4=0， 得z2-2m.x-4=0, 所以1的普通方程为2x十y十a=0. (2分) 则△=4m2+16>0, =号×=4 因为= 4 (4分) √/1+3cos20 16 所以Oi·O=xx十为为=一4十4=0， 所以p-1+3cos日即p+3pcos0=16, 所以OA⊥OB. (5分) 又p2=2+y,0os0=,x, (2)由题意知直线OA斜率存在，设为k,且k≠0， 则直线0B的斜*为一。 所以x”+y2+3x2=16,即 设直线OA的方程为y一kr,M(), 所以C的直角坐标方程为+盖-1 (5分) 4 J·E 信息卷B 文数（四） (2)设P(2cos0,4sin0), 4√2，当且仅当b=c时等号成立， (2分) 则点P到直线l的距离d=4cos0+4sin+a 同理可得v石(a十e)≥4v2,当且仅当a=c时等号 5 成立， 4 sin(叶子+u c(a+b)≥4W2,当且仅当a=b时等号成立， (7分) 5 所以√a(h+c)+b(a+c)+E(a+b)≥122，当且 因为点P到直线（距离的最大值为2√10， 仅当a=b=c=2时等号成立. (5分) 所以当a>0时.4E+4=2√而，解得a=62, (2)(a+b)2+(b+c)2+(a+c)9 5 =2(a+b+c2)+2(ab+ac+bc), (7分) 当4<0时，4②二4-2V0,解得4=-6v2, 由基本不等式得a°++2>≥3a6c=12, 5 ab+ac+bc≥3a6r=12,当且仅当a=b=c=2 所以a=士6√2. (10分) 时等号成立， 23.解：(1)因为abc=8, 所以(a十b)+(b十c)”十(a十c)≥48，当且仅当a =b=c=2时等号成立. (10分) 所以是， 所以G6+e0--2区(+瓷)产 ·5 J·E