2024年高考文科数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（JJ·A）04

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 7.中国剪纸是一种用前刀或效刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动 文数[四) 的民辩艺术,蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息,现有一幅剪纸的设计图. 从睡中取一个正三角形,在每个边以中间的三分之一部分为一边,向外凸出作一个正 三角形,再把原来边上中间的三分之一部分擦掉,就成了一个很像雪花的六角星,如 本试卷共4页,23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 图所示,若向该因中随机没一点,则该点落在白色部分的概率为 注意事项: 1 1.答题前,先将自已的姓名,考号等填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 D 2.选择题的作答:选出每小题答案后,用2B铅笔地答题卡上对应题目的答案标号 B.观察下列等式 涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答,用答字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内,写在 -x1 试题卷,草稿故和答题卡上的非答题区城均无效。 4.选考题的作答:先她所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑,答 案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷,草稿纸和答题卡上的答题区域无效。 5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 1+2+3+2+1-10: 第I卷 1+2+3+4+3+2+1-4×11; 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 _ 题目要的。 此规律.1+?+3+.+15+14++3+2+1 A2 B.2245 C.2255 D.2265 1.已知集合A-llg(6-1 1.B-[-3 7.期AB- Ar-417i B-3 9.已知率径为1的球0中有一内接正四校锥(四校维的5个顶点均在球0的表面),则 C.一C) D1-613 A_ 当正四株修的体积最大时,其底面边长为 _ 1 1一 2.复数- 1-在复平面上对应的点在 D.2 A.第一象限 B.第二阳 10.如图1所示的艺阳树位于何南省信阳市,是一自多种中国古建筑元素汇聚而成的 C.第三象限 D.四象 塔式阁楼,如图2.线段AB表示艺附阁的高,C.D.E为三个可供选择的测量点,且 C.E两点与艺阳阁底部的中心B位于同一水平面上,CD与点B.C.E所确定的水 3.已知命题{:xB,f+2024-.命题q:Vn,3,下列命题为真命题 平面垂直,记在C.D.E处观察点A的仰角分别为。,3.7.为估算出艺阳闻的高度. 的是 B.()V 阁高度的方案有 设计了三种测量方案,则可以计算出艺阳 A.p/ C.(-) D.()() ①CD..②CE..乙ACE.乙AFC oCE.y.CBE. A. . B.① C. D.②③ C. D. 10t 5.函数---2+3的最小航为 B 。 11已知C.-1(一b句>0)的左焦点为F.左点为A.直线y-与C交于 M.N两点,若在线段AF上存在点P读足PMIPN,则C的离心率的取值范用为 6.已知向量a.b的夹角为2-,且1al-2.a·(a-26)-10,则$在a方向上的投影为 A.0 B.[ A.- _态 C.02} p.[2,1) C一) 12.若诵数/(r)-acco5-在区词(-,2-]上有3个极值点,期a的取值范围是 B(一) C(一1一) A.(-.0) D.(一1.一) 水全卷·先享题·健息 文数四1第1页(共4页) 文数(四)第:页(共4页) 口,A 第I卷 18.(本小题满分12分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第13一21题为必考题,每个试题考生都必须作 已知数列1的前n项和为S,28.+.-2-2r 答。第22~23题为选考题,考生根据要求作答。 (1)证明:数列a.士1)为等比数列: 二、填空题:本题共4小题,幅小题5分。 (2)求数列(2一1的前:项和T 13.已知in{+)-,则:n(+{)- 1.(本小题分12分 的中点:点E在CD上.且EF1AB,将四边形RCEF沿EF折起,得AB一4.BE1 如图1所示:在四边形ABCD中.AB/CD.AB BC.AB-8.DC-6.点F为AB DF,得到如图?所示的多面体 15.已知悦角△ABC的内角A.B.C的对边分题为i.&.c.且a=2.2inA-hsinB (1证明:DFI寻面ACD: (2)求点D到平面ABE的距离. 16.如图所,在正三校台ABC-A.BC 中,AB=2A.B-2AA =4.D.E分判为校 B.C,IC的中点,则异面直线DE与A.B所成角的余荡蕴为. 20.(本小题满分12分) 已知抛物线C.-2ppD)的集点为F.点Q(2.2)在C上 (1)求入Q0F(0为坐标厚点)外接的方程; (均异于点Q),证明:直线AB过定点. (2)过点0作因P.+(-1)一(0 1)的两条切线.分题与C交于点A.B 21.(本小题满分12分) 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 已知涵数)一(m十十1. 17.(本小题满分12分) (1当m时,讨论/z)的单调性; 不负青山,力换”金山”,民宿旅游逐渐成为一种热洲,山野乡村的民宿深受广大 游爱好者的喜劳,基市定游部门为了促遗生奇特色域镇和新农村建设,将里,乙两家 (2)当x[o.十)时,fr(r+1)一re,求n的取值范 宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传,该平台邀请部分曾在这两家民宿体验 过的游客参与词查,得到了这两家民宿的”综合满意度”评分(满分10分),评分题高,表 明游客体验越好,现从这两家民宿的“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,题按所做的第一题计分。 ) 22.(本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程 甲 82 0.2 10 9.5 10 9.8 9.5 9.8 10 9.5 在平面直角坚标系1O中,直线7的参数方程为 乙 ,1.2 9. 18.7 97.19.7 9.2 5.7 记甲,乙两家民宿“综合满意度“评分的样本平均数分别为二,,样本方差分别为 0为极点,:轴正半翰为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为。一 .. 1+s0 (1)分别求这两家民宿“综合满意度”评分的极差和中位数; (1)求/的善避方程和C的直角坐标方程; (: (2)若P是C上一动点:且点P到(距离的最大值为210,求. 指更合适? (3)若二一9.5.对一0.104.根据”综合满意度”的评分情况,判断小李选择哪一家民 23.(本小题满分10分)选修1一5.不等式法讲 已知正实数,6.r满足ab一B. (证明o)++o)+(+一12②: (2)征明++(十(+一48 文数(四)第3页(共4页) 水金卷·先享题·情息卷 文数(四)第4页1共4页] A信息卷A 文数(四) 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷A·文数(四) {命题要素一览表 注: 1.能力要求: I.抽象概括能力 II.推理论证能力 III.运算求解能力 IV.空间想象能力 V.数据处理能力 V.应用意识和创新意识 2.核心素养: ②逻辑推理 ①文数抽象 ③文数建模 ④直观想象 文数运算 数据分析 能力要求 核心素养 知识点 预估难度 题号 题型 (主题内容) 档次 V ② ④ ③ 系数 5 交集运算 易 选择题 / 0.80 复数的混合运算(涉 2 5 易 选择题 及i的周期性),确定 。 0.78 点所在象限 。s 含有量词的命题,判 。 选择题 ,_ 易 0.75 断复合命题的真假 辅助角公式,求三角 5 中 选择题 0.68 函数的最小正周期 复合型函数的最值 选择题 5 中 1 0.65 问题(不涉及导数) 求一个向量在另一 _{ 选择题 5 ,_ 个向量方向上的投 / 中 0.62 影(不涉及坐标) 面积型几何概型(数 _ 5 中 选择题 / 0.60 学文化题) 归纳推理 。/ 中 选择题 0 5 0.50 利用四校锥体积的 0 中 选择题 。 。/ 0.48 最值求边长 利用三角函数知识 。 。 10 中 选择题 / $ 0.40 测量高度 11 求圆的离心率的 _过 选择题 5 / 难 / / 取值范围 _ 0.26 利用导数研究函数 。 12 难 选择题 5 / 。 。/ / 。 , 0.20 的极值问题 3 。 填空题 诱导公式的应用 1 0.75 填空题 双曲线的简单性质 中 14 。 。 0.65 (不涉及离心率) ·1. 1·A 信息卷A 文数(四) 三角变换与解三角 15 填空题 5 & 形(不涉及基本不等 0.40 式) 求异面直线所成 ) 16 填空题 5 难 / 1 0.20 的角 计算样本平均数与 _ __ 17 12 中 解答题 方差,利用平均数或 0.55 方差进行方案决策 由递推关系证明数 _ 18 12 解答题 中 列为等比数列,利用 0.50 错位相减法求和 折叠问题,证明线面 19 12 中 解答题 垂直,等积法求点到 0.40 面的距离 抛物线与圆的综合; _ 20 12 解答题 难 定点问题 0.22 以指数型函数为载 体,讨论函数的单调 _ 21 12 难 解答题 0.10 性,由不等式恒成立 求参 直线的参数方程与 22 10 中 选考题 圆的极坐标方程, 0.50 参数方程的应用 利用基本不等式证 23 10 选考题 中 0.50 明不等式(两问) .2. 11·A 信息卷A 文数(四) ## 参考答案及解析 文数(四) 一、选择题 -2255.故选C 1.B 【解析】由lg(6-x)<1,得0<6-x10,即-4 9.A 【解析】如图,记球O的内接正四校锥为P一AB- <<6,所以AOB-x-3 x<6.故选 B$ CD.底面正方形ABCD所在的圆面为圆O.,设顶点 -1-1-5-(4-20(1+21 P到底面ABCD的距离为人;正四梳锥的体积为V --6+13i,所以复数:在复平面上对应的点 连接PO,OA:OA,则PO 过点O.AO= (-,)在第二象限,故选B. 3.C【解析】因为yc的值域为R,所以3xER,x 所以正四校锥的高为h-OP+OO=OP+ --2024,故 为真命题;当n-3时,3”-n,故q为 假命题,所以,V(-q)为真命题,pAq.(-p)Vq. OA-0A=1+ (一p)A(一q)均为假命题,故选C. ##(1+1-)令#一1-,所<# ##\(sin号-co- sin(## 2/1)-- V单调递增,当<1<1时,V<0.V单调递减,所 5.B【解析】令1-2,则0,y--2+3-(t-1 以当(-时,V有最大值,此时a-一.故选A. +22,即y=4-21+3的最小值为2.故选B. 6.B 【解析】因为a·(a-2b)=al-2a·b-4-2x 2|bíx(一)-10.所以lbl-3,所以b在a方向上 7.D【解析】设原正三角形的边长为3a,圆的半径为 10 .D....... )o 的面积S一xR一3na”.由题意,凸出来的小正三角 10.D【解析】对于①,在△ACD中,/ACD--a, --33--3 ADC-+B.CAD-a-9.所以AC .故选D. sin(+a) S 3ra* 8.C【解析】因为1*-×1×3,1+2-+1*-一 CD -×2 sina-),所以Acos sin(a-) .CD.所以AB一 AC· sina-co ing.CD.①可以计算出阳阁 sin(一}) $ +3+2+1-1×4×33,所以1+2+3-+.. 的高度;对于②,已知ACE和AEC,则CAE “-乙ACE-乙AEC.由AAEC=snCCAE= AC CE ++.+3+2+1:-1 3(2n{}+1),所以第15个 CE sin/AEC sin(ACE十乙AEC).所以AC-- 等式为1+2+3+..+15+14+..+3+2+1 sin(ACE十/AEC) .1· 1]·A 文数(四) 参考答案及解析 sinAEC.sina ·CE,所以AB-ACsin。=- sin(ACEAEC). $8,得a^-16,a-4,则b-a-4-2v③,则该双曲$ CE.②可以计算出著阳阁的高度;对于③,BC= AB.BE-AB AB.又CBE.CF已知,由余弦定理 -3. tana 15.() 可得AB,③可以计算出著阳阁的高度,故选D. 【解析】因为a-2,2sinA一bsinB= 11.A 【解析】设M(3y,y),因为在线段AF上存在 bsin C,所以asinA-bsinB-bsinC,所以a-= 点 P,使得PM1 PN,所以|OF OM ,即3+ .b+--be bc,所以由余弦定理得cosA= 2hc 20 _-bsinC-sin B B.整理得2sin Bcos A-sinC a”6 2 ②,由①②得3 4a62 二,所以 2sinB #3} 一sin B,又C-"-(A+B),所以 sinC=sinLn-(A +B)]-sin(A+B),所以2sin Bcos A=sin(A+B) 一sin B- sin Acos B+cos Asin B-sin B,整理得 3 -8e”+4>0,解得0<< sin B-sin Acos B-cos Asin B.所以 sin B-sin(A 一B),因为△ABC为锐角三角形,所以B一A-B. 12.B【解析】因为函数/(x)在区间(一,2t)上有3 b sinB 个极值点,所以/(r)-a+二sinx-cosr-o在 sinB sin B sinB sin B+sin 3B sin B+sin(2B+B) 4sin B-4sin B (一,2n)上有3个不相等的实数根,即a= 4cosB因为△ABC为锐角三角形,所以0<B< sinx+co在(-,2-)上有3个不同的解,设 n { -0.解得x-0或x=x,当&(x)>0时,解得-- 为(},). <r 0或x<x<2x,g(x)单调递增,当g’(x) 0 时,解得0<x<π,g(x)单调递减,g(x)大-g(0) -1,g(x)&小 =g(π)=- *,因为g(-)= 接A.F,BF,则在正△A BC 中.A.D IBC .AD =AB-BD=3,在正△ABC中,AE1BC. -e,g(2)-e-*.所以g(r)-1,g(x)= AE-AB-BE-23,又在正三枝台ABC 一e,画出y-g(x)的图象,如图所示,则当一e*< A.BC 中,BC /BC.所以AD// AE:XF为AE a<e*时有3个交点,故a的取值范围为(一c, 的中点,所以A.D-EF-3,所以四边形A.DEF e).故选B 是平行四边形,所以A.F/DE,则 FA.B(或其补 角)是异面直线DE与A.B所成的角,过A. 作A.G AA.=2,所以 AAG=60,所以在△AAB中,由 2 余弦定理得A. B=AA{ +AB{*}-2AA · AB$cos A AB-12,则A B-2③,A.F-$DE /BB一(BE-B D ) -3,在Rt△EBF中,BF =EF+BE-V7,所以在△A:BF中,由余弦定 二、填空题 理得cos FAB-AP+AB-BF* 2A.F·A.B 。 13.一- 【解析】sin(a+7)=sin(a+吾+*)= #-sin()--# 14.3【解析】设双曲线C的焦距为2c,虚轴长为2b 由题知,2c-4v7,则c-27,则a+a-4- .2. 11·A 信息卷A 文数(四) 所以(2n-1)a-(2n-1)x()-(2n-1); 令H-1×1+3+$×()++(2n-1) #()”. 则 H=1\+3×() +5×()+.+ (2-1)×(). (8分) 三、解答题 )-(2n-1)() 17.解:(1)由表中数据可知. 甲民宿“综合满意度”评分从小到大排列依次为8.2. 寸(1-) 9.2,9.3,9.5,9.5,9.5,9.8.10,10,10. -(2a-1)x()” -1+2x- 1- 故甲民宿“综合满意度”评分的极差为10一8.2= (1分) 1.8. -2-202. 中位数为9.5+9.5-9.5. (2分) 2 3{ 乙民宿“综合满意度”评分从小到大排列依次为9. 即H-3-1. 3~, (10分) 9.1.9.2.9.2.9.7,9.7,9.7.9.7,9.7.10. 所以乙民宿“综合满意度”评分的极差为10一9-1; 31 (3分) 2 中位数为9.7+9.7-9.7. (12分) (4分) 2 19.解:(1)取AF的中点G,连接DG,BG,EG. 因为AB-AF-BF-4. (2)由题意得:,-1×(8.2+9.2+9.3+9.5+9.5 所以△ABF为等边三角形, (6分) +9.5+9.8+10+10+10)-9.5. 所以BG |AF. 因为EF I AF,EF BF,AFOBF-F,AF,BFC平 面ABF. 9.5)+(9.5-9.5)×3+(9.8-9.5)+(10- 所以EF1平面ABF. 9.5)×3]-0.266. (8分) 因为BGC平面ABF. 所以EF]BG. (3)结合(2)可知甲、乙两家民宿“综合满意度”评分 (2分) 的平均数相同,但乙的方差较小,较稳定, 因为EFDAF=F,EF,AFC平面ADEF 所以小李选择乙民宿更合适: (12分) 所以BG 平面ADEF 18.解:(1)由题知2S.+a.-2-2n. 因为DFC平面ADEF 所以n-1时,2S+a.-2a.+a.-0. 所以BG DF. 解得a-0, 因为BE DF,BEO BG=B,BE,BGC平面 BEG 故a+1-1. (1分) 所以DF1平面BEG. 当n2时,由2S.+a-2-2n. 因为EGC平面BEG. 可得2S1+a.-4-2n. 所以DF1EG. 两式相减可得2a.十a.-a.:=-2. 又四边形DEFG为矩形. 2 (3分) 所以a.一 {△- 所以四边形DEFG为正方形, 立. 所以EF-DG-GF-2,DG/EF. (4分) 又EF//BC,且 EF=BC. 所以数列(a。+1)是以1为首项,为公比的等比数 所以DG/BC.DG-BC. 所以四边形DGBC是平行四边形, 列. (5分) 所以BG/CD. 所以DF1CD. 在Rt△DEF中,DF-DE+EF*-2②. .3. 1·A 文数(四) 参考答案及解析 在R△ADG中:AD=AG +EF-2②. 所以DF*+AD=AF, -2(r-2). 所以DF1AD. 即(r+2)x-2y-2x-0. (7分) 因为CDOAD=D.CD.ADC平面ACD. (6分) 所以DF1平面ACD. 由题可知P(0,1),直线QA与圆P相切. 则,__- 12+2r| (2) 整理得(^-4)x+(4^-8)x:+8r”-4-0.$ 同理可得(r^-4)x^{+(4r^-8)x。+8^-4-0$ 所以x,x为方程(r-4)r^+(4^-8)x+8r^-4 一0的两个不等实根, 0<r<1满足△>0,-40. 故。+。8-4P{} (10分) #-4_84 代人_8一2二40 一4 -4 (2)由(1)得BG1平面ADEF: 即(8-4^)-2(-4)-(8^-4)-0,$ 在等边△ABF中,BG=2/3. 所以(2x+y+4)-(4x+4y+2)-0. 所以V-r- 令 (2x+y+4-0 -3 2/3-4v3 (8分) 所以直线AB过定点(-7,3). (12分) 在Rt△AEF中,AE-AF+EF-25 21.解:(1)由题得,/(x)-[mr+(2m十1)x+2]e 在Rt△BEF中,BE-BF+FF=25 当一时, 所以$Ar-×4×(2\)-23-8. (10分) /(x)0,/(x)在B上单调递增; (2分) 设点D到平面ABE的距离为d, ##时,# 则由Vn-apr-Vp-Aar. 行) -x8x. 令/(c)<0,得-2<r-1. n 令/(r)>0,得x-2或>-1 n 所以/(2)在(-2.-)上单调递减,在(-oo, (12分) 20.解:(1)将Q(2,2)代入-2y,得 =1. 所以抛物线Ctrx}-2y,焦点F(o,). (2分) 综上:当m--时,/(x)在R上单调递增; 设△QOF外接圆的圆心为(t。,-). 当→时:f(2)在(-2.-)上单调递减,在 (5分) 解得x。- (2)不等式f(x)<(x十1)e一xe 在xE[o.+o) 上恒成立, 所以△QOF外接圆的方程为(x-)*+ 等价于(x+1)e-(nr+2x+1)0恒成立, (# 令g(x)=(x+1)e-(mr+2x+1). (5分) 则g(0)-0. (2)A(”,),B(,)x g'(x)-(x+2)e-2mx-2; 则g'(0)-0. (7分) 设h(x)=(r+2)e-2mx-2. 则h'(x)-(x+3)e-2m. 则直线AB:y- 故'(0)-3-2m. (6分) 即(xr+x)x-2y-xx=0.① 设t(x)-(r+3)e-2m .4. 1·A 信息卷A 文数(四) 则7()-(r+4e0. (2)设P(2cos0.4sin9. 所以t(x)即’(x)在[o,十c)上单调递增,(8分) 则点P到直线i的距离d-4coso+4sin9+al ①若二}。# 5 4V2sin(+)+a 则当x>0时,h'(x)>h'(0)>0. (7分) 则h(x)即g’(x)在[0,十oo)上单调递增, 5 所以当x>0时,g'(x)>g'(0)=0. 因为点P到直线/距离的最大值为210. 所以g(x)在[0,+oo)上单调递增, 所以当a→o时,42+a-210,解得a-6\2; 所以当x0时,g(x)g(0)-0,符合题意,(10分) #}# 5 则 '(0)0,h'(2m-3)=2m(e*-3-1)0 因为r'(x)在[0,+o)上单调递增; 所以a-士6v2. (10分) 所以b(1)在[0,十o)上有唯一零点r 23.解:(1)因为abc一8. (0,2n-3). 且当0xx。时,h'(x)<0. # #() 所以h(x)即g(x)在(0,x。)上单调递减, 所以v(b十)- 所以当0<x<x时,g'(x)<g(0)=0. 所以g(x)在(0,x)上单调递减; 4②,当且仅当一c时等号成立, (2分) 所以当0<x<x。时,g(x)<g(0)=0,不符合题意. 同理可得/(a+c)4v②,当且仅当a=c时等号 (12分) 成立, (=-a(t为参数). (a+b4②,当且仅当a=b时等号成立; 22.解:(1)由 ly-a-2t 所以(+c)+(a+c)+(a+b)>12②,当且 仅当a=b-c-2时等号成立. 消去参数:得2x十y十a-0. (5分) (2分) 所以/的普通方程为2x十y+a-0. (2)(a+b)*十(b十c)十(a十c) =2(a’++c)+2(ab+ac+bc), (7分) 1+3cos 由基本不等式得a+P+^3Va=12. 所以二 $ $+ac+b>3 ac-12,当且仅当a-b-$ - 又p-r”+y},cosθ-x. 时等号成立, 所以(a十b)十(b十c)十(a十c)三48,当且仅当a= 所以?+y{+3--16,即 b-(-2时等号成立. (10分) (5分) .5. 11·A