小专题3 平行线与三角形的有关证明-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

小专题３　平行线与三角形的有关证明 １．如图，不能推断ＡＤ∥ＢＣ的是 （　　） Ａ．∠１＝∠５ Ｂ．∠２＝∠４ Ｃ．∠３＝∠４＋∠５ Ｄ．∠Ｂ＋∠１＋∠２＝１８０° 第１题图 　　　　　　　　 第２题图 ２．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 （　　） Ａ．同位角相等，两直线平行 Ｂ．内错角相等，两直线平行 Ｃ．同旁内角互补，两直线平行 Ｄ．两直线平行，同位角相等 ３．如图，直线ｌ１∥ｌ２，线段ＡＢ分别交ｌ１，ｌ２于点Ｄ，Ｂ，过点Ａ作ＡＣ⊥ＡＢ，交直线ｌ１于点 Ｃ。若∠１＝２０°，则∠２＝ （　　） Ａ．７０° Ｂ．１００° Ｃ．１１０° Ｄ．１６０° 第３题图 　　　　　　　 第４题图 ４．如图，将△ＡＢＣ沿 ＢＣ翻折，使点 Ａ落在点 Ａ′处，过点 Ｂ作 ＢＤ∥ＡＣ交 Ａ′Ｃ于点 Ｄ。 若∠Ａ′ＢＣ＝３０°，∠ＢＤＣ＝１４０°，则∠Ａ的度数为 。 ５．如图，已知∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＦ，过 ＡＣ上一点 Ｄ作 ＤＦ∥ＡＢ交 ＢＣ于点 Ｆ。求证： ∠ＤＦＣ＝２∠ＢＤＦ。 ７３ ６．如图，∠１＝∠２，∠３＝∠４，∠５＝∠６。求证：ＤＥ∥ＢＦ。 ７．如图，在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ＝１２∠Ｂ＝ １ ３∠ＡＣＢ。 （１）△ＡＢＣ是什么三角形？请说明理由； （２）ＣＤ是△ＡＢＣ的高，ＣＥ是∠ＡＣＢ的平分线，求∠ＤＣＥ的度数。 ８．如图１，有一个五角形 ＡＢＣＤＥ，你能证明∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＝１８０°吗？如 果点Ｂ移动到ＡＣ上（如图２）或 ＡＣ的另一侧（如图３）时，上述结论是否仍然成立 呢？分别说明理由。 　　 图１　　　　　　图２　 　　　　图３ ８３ ６．６０°　【解析】由折叠可知∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＥ，∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＣＤ。由三角形外角可知∠θ＝∠ＥＢＣ＋∠ＤＣＢ。 ∵∠ＢＡＣ＝１５０°，∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°－１５０°＝ ３０°。∴∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＋∠ＡＢＥ＋∠ＡＣＤ＝３０°＋ ３０°＝６０°。∴∠θ＝∠ＥＢＣ＋∠ＤＣＢ＝６０°。 ７．解：（１）∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∠ＢＡＣ＝８０°， ∴∠ＤＡＣ＝１２∠ＢＡＣ＝４０°。 ∵∠ＡＤＢ是△ＡＤＣ的外角，∠Ｃ＝６０°， ∴∠ＡＤＢ＝∠Ｃ＋∠ＤＡＣ＝１００°。 （２）∵∠ＢＥＤ是△ＡＢＥ的外角，∠ＢＥＤ＝６０°， ∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＥ＝∠ＢＥＤ＝６０°。 ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ， ∴∠ＢＡＣ＝２∠ＢＡＤ，∠ＡＢＣ＝２∠ＡＢＥ。 ∴∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＝２（∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＥ）＝１２０°。 ∵∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＋∠Ｃ＝１８０°， ∴∠Ｃ＝１８０°－（∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ）＝６０°。 小专题３　平行线与三角形的有关证明 １．Ｂ　２．Ａ ３．Ｃ　【解析】标注∠３，如图。 ∵ＡＣ⊥ＡＢ，∴∠Ａ＝９０°。 ∵∠１＝２０°， ∴∠ＡＤＣ＝１８０°－９０°－２０°＝７０°。 ∵ｌ１∥ｌ２，∴∠３＝∠ＡＤＣ＝７０°。 ∴∠２＝１８０°－７０°＝１１０°。 故选Ｃ。 ４．１３０°　【解析】∵将△ＡＢＣ沿ＢＣ翻折，使点Ａ落在点 Ａ′处，∠Ａ′ＢＣ＝３０°， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ａ′ＢＣ＝３０°，∠ＡＣＢ＝∠Ａ′ＣＢ。 ∵ＢＤ∥ＡＣ， ∴∠ＡＣＤ＋∠ＢＤＣ＝１８０°。 ∵∠ＢＤＣ＝１４０°， ∴∠ＡＣＤ＝４０°。 ∴∠ＡＣＢ＝∠Ａ′ＣＢ＝２０°。 ∴∠Ａ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠ＡＣＢ＝１８０°－３０°－２０°＝１３０°。 ５．证明：∵ＤＦ∥ＡＢ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＦ。 ∵∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＦ， ∴∠ＢＤＦ＝∠ＤＢＦ。 ∵∠ＤＦＣ＝∠ＤＢＦ＋∠ＢＤＦ， ∴∠ＤＦＣ＝２∠ＢＤＦ。 ６．证明：∵∠３＝∠４， ∴ＡＣ∥ＢＤ（内错角相等，两直线平行）。 ∴∠６＋∠２＋∠３＝１８０°。 ∵∠６＝∠５，∠２＝∠１， ∴∠５＋∠１＋∠３＝１８０°（等量代换）， 即∠ＦＢＤ＋∠３＝１８０°。 ∴ＤＥ∥ＢＦ（同旁内角互补，两直线平行）。 ７．解：（１）△ＡＢＣ是直角三角形。理由如下： ∵∠Ａ＝１２∠Ｂ＝ １ ３∠ＡＣＢ， ∴∠Ｂ＝２∠Ａ，∠ＡＣＢ＝３∠Ａ。 ∵∠Ａ＋∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＝１８０°， ∴∠Ａ＋２∠Ａ＋３∠Ａ＝１８０°。 解得∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝６０°，∠ＡＣＢ＝９０°， 即△ＡＢＣ是直角三角形。 （２）∵ＣＤ是△ＡＢＣ的高， ∴∠ＡＣＤ＝９０°－３０°＝６０°。 ∵ＣＥ是∠ＡＣＢ的平分线， ∴∠ＡＣＥ＝１２×９０°＝４５°。 ∴∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＤ－∠ＡＣＥ＝６０°－４５°＝１５°。 ８．证明：如图，∠１＝∠Ａ＋∠Ｄ，∠２＝∠Ｂ＋∠Ｅ。 在△ＭＮＣ中，∵∠Ｃ＋∠１＋∠２＝１８０°， ∴∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＝１８０°。 在题图２、图３中，结论仍然成立。理由如下： 在题图２中，∠ＣＢＭ＝∠Ａ＋∠Ｄ，∠ＣＭＢ＝∠ＤＢＥ＋∠Ｅ。 在△ＢＣＭ中，∠Ｃ＋∠ＣＢＭ＋∠ＣＭＢ＝１８０°， ∴∠Ａ＋∠ＤＢＥ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＝１８０°。 在题图３中，∠ＮＭＥ＝∠Ａ＋∠Ｃ，∠ＭＮＥ＝∠Ｂ＋∠Ｄ。 在△ＮＭＥ中，∠Ｅ＋∠ＮＭＥ＋∠ＭＮＥ＝１８０°， ∴∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＋∠Ｅ＝１８０°                                                               。 ７０１