8.4平行线的判定定理-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

４　平行线的判定定理 【边学边练】 知识点　平行线的判定定理 １．如图，下列条件中不能判断直线ｌ１∥ｌ２的是 （　　） Ａ．∠１＝∠３ Ｂ．∠２＝∠３ Ｃ．∠４＝∠５ Ｄ．∠２＋∠４＝１８０° ２．如图，直线ＤＥ与ＢＦ相交于点Ｃ，ＣＮ平分∠ＢＣＤ，∠Ｂ＝２∠ＢＣＮ。求证：ＡＢ∥ＤＥ。 【随堂小测】 １．如图，已知直线ａ，ｂ被直线ｃ所截，下列条件不能判断ａ∥ｂ的是 （　　） Ａ．∠２＝∠６ Ｂ．∠２＋∠３＝１８０° Ｃ．∠１＝∠４ Ｄ．∠５＋∠６＝１８０° ２．（易错题）如图，四种沿ＡＢ折叠的方法中，不一定能判定两条边线ａ，ｂ互相平行的是 （　　） Ａ．如图①，展开后测得∠１＝∠２ Ｂ．如图②，展开后测得∠１＝∠２且∠３＝∠４ Ｃ．如图③，测得∠１＝∠２＝６０° Ｄ．如图④，展开后再沿ＣＤ折叠，两条折痕的交点为Ｏ，测得ＡＢ⊥ＣＤ ９２ ３．过直线ｌ外一点Ｐ作直线ｌ的平行线，下列尺规作图中错误的是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ４．如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平 行的直线。这样画的依据是 。 第４题图 　　　　 第５题图 ５．（核心素养·推理能力）如图，点 Ｅ在 ＣＤ的延长线上，下列条件：①∠Ｃ＝∠５； ②∠Ｃ＋∠ＢＤＣ＝１８０°；③∠１＝∠２；④∠３＝∠４。其中能判定 ＡＣ∥ＢＤ的是 。（将所有正确的序号都填入） ６．在学习平行线的判定条件时，涉及同位角、内错角、同旁内角，如图１，在“三线八角” 中类比内错角，具有∠１与∠８这样位置关系的角称为“外错角”，试完成下面的探究 问题： （１）探究定义：如图１，请另写出另外一对“外错角”； （２）猜想判定：外错角相等，两直线平行。 如图２，∠１与∠２是直线 ａ，ｂ被直线 ｃ截出的一对外错角，且∠１＝∠２，试说 明 ａ∥ｂ。 ０３ 图１ 　　 图２ 图３ 　　 图４ ４．如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线 平行 ５．解：（１）不是命题；（２）是命题。条件：两负数相乘。结 论：积为正数。是真命题；（３）是命题。条件：两个角相 等。结论：这两个角是对顶角。是假命题；（４）是命题。 条件：在同一平面内，过一点画已知直线的垂线。结 论：能够画一条而且只能画一条。是真命题。 ６．解：（１）如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁 内角互补，那么这两条直线平行。 条件：两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角 互补。 结论：这两条直线平行。 （２）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形 的两个底角相等。 条件：一个三角形是等腰三角形。 结论：这个三角形的两个底角相等。 ２　证明的必要性 【边学边练】 １．Ｄ　２．Ｄ ３．解：这一结论不对。因为３＋３＜８，所以另一边不能 为３，只能为８，此时周长为３＋８＋８＝１９。 【随堂小测】 １．Ｂ ２．Ａ　【解析】因为３人分别读了 Ａ，Ｂ，Ｃ三本书，所以 甲：Ａ，Ｂ，Ｃ，乙：Ｂ，Ｃ，Ａ，丙：Ｃ，Ａ，Ｂ。因为甲读的第三 本书是乙读的第二本书，所以丙读的第二本书是甲读 的第一本书。故选Ａ。 ３．①②③　【解析】由题目知每次碰撞都会减少一颗粒 子，现在共有１５颗粒子，碰撞１４次后只剩１颗粒子， （１）每次碰撞后乙粒子的数量增多或者减少一颗，题 目中开始有４颗乙粒子，１４次碰撞之后剩余的乙粒 子颗数也是偶数不可能是１颗；（２）每次碰撞之后， 甲、丙粒子的总数不变或者减少两颗，题目中甲和丙 粒子之和为１１颗，无论碰撞多少次甲和丙都没有了 是不可能的。综上，剩下的粒子可能是甲或丙不可能 是乙。故正确结论的序号是①②③。 ４．ＣＡＤＢ　【解析】①假设甲说的Ｃ得亚军正确，则甲说 的Ｄ得季军错误，于是乙说的Ａ得亚军错误，则乙说 的Ｄ得冠军正确，故丙说的 Ｂ得亚军正确，与假设甲 说的Ｃ得亚军正确互相矛盾，所以①错误；②假设甲 说的Ｃ得亚军错误，则甲说 Ｄ得季军正确，于是乙说 的Ｄ得冠军错误，则乙说的Ａ得亚军正确，故丙说的 Ｂ得亚军错误，Ｃ得冠军正确，故冠、亚、季、殿军分别 为Ｃ，Ａ，Ｄ，Ｂ。 ５．解：武冠军的做法错误，他将 ＢＤ，ＣＥ当作角平分线， 这是没有根据的。 ６．解：设赤道半径为Ｒｍ， 则缝隙大小为 ２πＲ＋３０ ２π －Ｒ＝１５ π ｍ， 因此一只老鼠和一头大象均能通过。 ３　基本事实与定理 １．Ｄ　２．Ｂ 【随堂小测】 １．Ａ　２．Ａ　３．Ｃ　４．垂线段最短　５．１４０° ６．解：船Ｍ的航向ＡＭ与船Ｎ的航向ＢＮ平行。 证明：∵船 Ｍ的航行方向与船 Ｎ的航行方向都是北 偏东５４°， ∴∠ＭＡＣ＝∠ＮＢＣ＝３６°。 ∴ＡＭ∥ＢＮ（同位角相等，两直线平行）， 即船Ｍ的航向ＡＭ与船Ｎ的航向ＢＮ平行。 ７．（１）解：ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝３０°　∠ＣＤＡ＝３０° （２）证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝３０°， ∴∠ＣＤＡ＝∠Ａ＝３０°（两直线平行，内错角相等）。 （本题答案不唯一，合理即可） ８．解：∵ＯＡ∥ＣＤ，ＯＢ∥ＣＤ，且ＯＡ，ＯＢ交于点 Ｏ，根据过 直线ＣＤ外一点Ｏ有且只有一条直线与已知直线ＣＤ 平行，∴ＯＡ，ＯＢ共直线。∴Ａ，Ｏ，Ｂ三点共直线。 ∴∠ＡＯＢ是平角。 ４　平行线的判定定理 【边学边练】 １．Ｂ ２．证明：∵ＣＮ平分∠ＢＣＤ，∴∠ＢＣＤ＝２∠ＢＣＮ。 又∵∠Ｂ＝２∠ＢＣＮ，∴∠Ｂ＝∠ＢＣＤ。 ∴ＡＢ∥ＤＥ（内错角相等，两直线平行）。 【随堂小测】 １．Ｄ　【解析】Ａ．∠２和∠６是内错角，内错角相等，两直 线平行，能判定ａ∥ｂ，不符合题意； Ｂ．∠２＋∠３＝１８０°，∠２和∠３是同旁内角，同旁内角 互补，两直线平行，能判定ａ∥ｂ，不符合题意                                                               ； ４０１ Ｃ．∠１＝∠４，∠１与∠２是对顶角，∴∠１＝∠２＝∠４。 ∠２和∠４是同位角，同位角相等，两直线平行，能判 定ａ∥ｂ，不符合题意； Ｄ．∠５＋∠６＝１８０°，∠５和∠６是邻补角，不能判定 ａ∥ｂ，符合题意。故选Ｄ。 ２．Ｄ　３．Ｄ ４．内错角相等，两直线平行 ５．①②③ ６．（１）解：∠２和∠７ （２）证明：∵∠１＝∠３（对顶角相等），∠１＝∠２ （已知）， ∴∠２＝∠３（等量替换）。 ∴ａ∥ｂ（同位角相等，两直线平行）。 ５　平行线的性质定理 【边学边练】 １．Ｄ ２．解：（１）∠ＢＥＤ＝∠Ｂ＋∠Ｄ。理由如下： 如图，过点Ｅ作ＥＦ∥ＡＢ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴ＥＦ∥ＡＢ∥ＣＤ。 ∴∠Ｂ＝∠ＢＥＦ，∠Ｄ＝∠ＤＥＦ。 ∴∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＦ＋∠ＤＥＦ＝∠Ｂ＋∠Ｄ。 （２）∵∠ＢＥＤ＝∠Ｂ＋∠Ｄ，∠Ｂ＝４６°，∠Ｄ＝５８°， ∴∠ＢＥＤ＝４６°＋５８°＝１０４°。 【随堂小测】 １．Ｂ　２．Ｄ ３．Ａ　【解析】如图， ∵ａ∥ｂ，∴∠２＋∠３＋∠１＝１８０°。 ∵∠３＝９０°，∠１＝５０°，∴∠２＝４０°。 故选Ａ。 ４．４６　【解析】∵ＤＥ∥ＢＣ， ∴∠ＥＡＣ＝１８０°－１２４°＝５６°。 ∴∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＤＡＢ－∠ＥＡＣ＝１８０°－７８°－ ５６°＝４６°。 ５．１３５°　【解析】如图，延长ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｃ＝４５°， ∴∠ＡＦＣ＝∠Ｃ＝４５°。 ∵ＡＥ⊥ＣＥ， ∴∠ＡＥＦ＝９０°。 ∵∠１＋∠ＥＡＦ＝１８０°，∠ＥＡＦ＋∠ＡＥＦ＋∠ＡＦＥ＝１８０°， ∴∠１＝∠ＡＥＦ＋∠ＡＦＣ＝９０°＋４５°＝１３５°。 ６．证明：∵ＡＢ∥ＤＥ（已知）， ∴∠１＝∠ＡＥＤ（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠１＝∠２（已知）， ∴∠２＝∠ＡＥＤ（等量代换）。 ∴ＡＥ∥ＤＣ（内错角相等，两直线平行）。 ７．证明：∵ＥＭ平分∠ＢＥＦ，ＦＮ平分∠ＣＦＥ， ∴∠ＭＥＦ＝１２∠ＢＥＦ，∠ＮＦＥ＝ １ ２∠ＣＦＥ。 ∵ＥＭ∥ＦＮ， ∴∠ＭＥＦ＝∠ＮＦＥ。 ∴ １２∠ＢＥＦ＝ １ ２∠ＣＦＥ，即∠ＢＥＦ＝∠ＣＦＥ。 ∴ＡＢ∥ＣＤ。 ８．解：（１）如图１，过点Ｐ作ＰＱ∥ＡＢ， 图１ ∴∠Ａ＋∠ＡＰＱ＝１８０°。 ∵∠Ａ＝１２０°， ∴∠ＡＰＱ＝１８０°－∠Ａ＝１８０°－１２０°＝６０°。 ∵ＡＢ∥ＣＤ，∴ＰＱ∥ＣＤ。 ∴∠Ｃ＋∠ＣＰＱ＝１８０°。 ∵∠Ｃ＝１３０°， ∴∠ＣＰＱ＝１８０°－∠Ｃ＝１８０°－１３０°＝５０°。 ∴∠ＡＰＣ＝∠ＡＰＱ＋∠ＣＰＱ＝６０°＋５０°＝１１０°。 （２）∠ＡＰＣ＝∠Ａ－∠Ｃ。理由如下： 如图２，过点Ｐ作ＰＱ∥ＡＢ， 图２ ∴∠ＡＰＱ＝１８０°－∠Ａ                                                               。 ５０１