新高考常考小题练习12024届高三数学三轮复习

常考小题练习1 班级 姓名 【题型1 集合】 1．已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．在整数集中，把被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断不正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数a、b属于同一“类”． 5．（多选）已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 6．已知集合或，，若，则实数的取值范围是 ． 【题型2 逻辑】 1．已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 6.已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a范围是___________. 7.命题“若，则”的否定是____ ______. 【题型3 复数】 1.在复数范围内，方程的两根在复平面内对应的点关于（ ） A. 直线对称 B. 直线对称 C. y轴对称 D. x轴对称 2.复数为虚数单位在复平面内对应点，则下列为真命题的是(     ) A. 若，则点Z在圆上 B. 若复数z满足，则复数z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆 C. 若复数z满足，则复数z在复平面内所对应点的轨迹是双曲线 D. 若，则点Z在抛物线上 3．（多选）已知为复数，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则或 4．（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则在复平面内对应的点在第二象限 C．若，则 D．若，复数在复平面内对应的点为，则直线（为原点）斜率的取值范围为 5．（多选）在复平面内，复数对应的向量(O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为θ，那么复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示， 17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：。根据以上信息，下列说法正确的是（  ） A． B． C． D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数 6.在复数范围内分解因式：__ __． 7．若复数为纯虚数，则______． 8．复数满足，则__________． 【题型4 平面向量】 1．下列命题中正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 ＝ B．若=， 则A、B、C、D四点构成平行四边形 C．若∥，且∥，则∥ D．与是两平行向量 2．在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则（    ） A． B． C．10 D．20 3．已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. （多选）已知同一平面内的两个向量，，则（ ） A. 与同向的单位向量是 B. 不能作为该平面的基底 C. 和的夹角是 D. 在上的投影向量等于 6．（多选）定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．，则 D． 7．已知平面向量，，与的夹角为钝角，则的取值范围是 ． 8．当时，称有序实数对为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题：①线段AB的中点的广义坐标为；②向量平行于向量的充要条件为；③向量垂直于向量的充要条件为；其中真命题是 ． 【题型5 不等式】 1．已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则的最小值是______． 10．已知，则的最小值为___________． 11．设，，，若，，则的最大值为__________． 12．已知实数，，，则的最小值是________. 13．已知正数，满足，则当______时，的最大值为______. 【题型6 实际应用】 1．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 2．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间t（分钟）（在植物学上t表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：（b为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为，则当该种玫瑰花新鲜程度为时，其凋零时间约为（参考数据：）（    ） A．3分钟 B．30分钟 C．33分钟 D．35分钟 3．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 驾驶行为类别 酒精含量值（mg/100mL） 饮酒驾驶 醉酒驾驶 4． “开车不喝酒，喝酒不开车．”，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值随着时间x（小时）的变化规律，可以用函数模型来拟合，则该人喝一瓶啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（    ）（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 5．1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（    ） A． B． C．4 D．8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常考小题练习1参考答案 【题型1 集合】 1．已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【详解】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 2．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得集合对应函数的定义域和值域，根据集合之间的包含关系和集合运算即可求得结果. 【详解】，， 故，，不包含于，，则ACD错误，B正确. 故选：B. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出两个集合和之间的关系，即可得出答案. 【详解】若，则，所以，故. 又，但，所以是的真子集， 又，，但，所以 故选：A. 4．在整数集中，把被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断不正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数a、b属于同一“类”． 【答案】B 【分析】根据“类”的定义对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，，所以，A选项正确. B选项，，所以B选项错误. C选项，根据“类”的定义可知表示被5除所得余数为的数的总体， 也即，C选项正确. D选项，，则除以余数相同，即整数属于同一“类”，D选项正确. 故选：B 5．（多选）已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 【答案】AC 【分析】结合集合的运算，根据充分条件的定义判断即可. 【详解】因为由可推出，所以p是q的充分条件，A对． 因为不能推出，所以p不是q的充分条件，B错． 若，则，则，∴p是q的充分条件，C对． 若，则，∴，∴p不是q的充分条件，D错． 故选：AC. 6．已知集合或，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，结合得出关于实数的不等式组，解出即可得出实数的取值范围. 【详解】当时，，即，满足要求； 当时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或， 解得或．    综上，实数的取值范围为或. 故答案为或. 【题型2 逻辑】 1．已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．B 【详解】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B. 2．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．C 【详解】因为，，由可得，则，即， 因此，若，，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．B 【详解】若，则， 作出函数图象，   ， 由图象可知成立，但显然不为减函数； 若为减函数，又，则， 所以“”是“为减函数”的必要不充分条件.故选：B 4．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．C 【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：题设命题的否定为，. 故选：C 5．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 5．D 【详解】由，推不出，排除AB； 由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C； ，反之不成立，D正确； 故选：D． 6.已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a范围是___________. 【答案】 【题型3 复数】 1.在复数范围内，方程的两根在复平面内对应的点关于（ ） A. 直线对称 B. 直线对称 C. y轴对称 D. x轴对称 【答案】D 【解析】 【详解】由可得或， 两根在复平面内对应的点分别为和， 所以两点关于轴对称， 故选：D 2、复数为虚数单位在复平面内对应点，则下列为真命题的是(  BD  ) A. 若，则点Z在圆上 B. 若复数z满足，则复数z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆 C. 若复数z满足，则复数z在复平面内所对应点的轨迹是双曲线 D. 若，则点Z在抛物线上 3．已知为复数，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则或 【答案】ABD 【解析】设复数， 对于A，，A正确； 对于B，，， ，，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，即， 则，即， 因此或，即或，D正确.故选：ABD 4．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则在复平面内对应的点在第二象限 C．若，则 D．若，复数在复平面内对应的点为，则直线（为原点）斜率的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对于A，设，则，若，则， 则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以在复平面内对应的点 在第四象限，故B错误； 对于C，设，由，可得， 则，即，则，故C正确； 对于D，设，则，若， 则，即点在以为圆心，为半径的圆上， 设过原点与圆相切的直线为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 所以直线（为原点）斜率的取值范围为，故D正确. 故选ACD 6.在复数范围内分解因式：______． 【解析】 7．若复数为纯虚数，则______． 7． 【详解】, 所以，所以. 故答案为：. 8．复数满足，则__________． 8．/ 【详解】因为复数满足，所以， 故答案为：. 【题型4 平面向量】 1．下列命题中正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 ＝ B．若=， 则A、B、C、D四点构成平行四边形 C．若∥，且∥，则∥ D．与是两平行向量 【答案】D 【分析】按照向量的概念及共线向量依次判断四个选项即可. 【详解】选项A中单位向量方向可以不同，故不一定成立；选项B中A、B、C、D四点可能共线，不能组成四边形； 选项C中当时，、为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量. 故选：D. 2．在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则（    ） A． B． C．10 D．20 【答案】C 【分析】结合图形，利用垂径定理得到，再利用向量的线性运算及数量积运算即可求得结果. 【详解】记的中点为，连结，如图， 因为点为的外心，为的中点，所以，则， 所以. 故选：C. 3．已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式可求向量与夹角余弦值. 【详解】在上的投影向量为，故， 而，故，故， 故即， 故选：A. 4．如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．D 【详解】，， 梯形为直角梯形， ， ，即， 由，同理可得， 又向量在向量上的投影向量的模为4，所以， 以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， ， 所以， 由且可得， 令，则由对勾函数单调性知， 当时单调递减，时单调递增， 故，由知，， 故， 故选：D 5.已知同一平面内的两个向量，，则（ ） A. 与同向的单位向量是 B. 不能作为该平面的基底 C. 和的夹角是 D. 在上的投影向量等于 【答案】ACD 【解析】 【详解】，， 则与同向的单位向量是，A正确； ，故与不平行，且为非零向量， 故可以作出该平面的基底，B错误； ， 因为，所以， 故和的夹角是，C正确； 在上的投影向量等于，D正确. 故选：ACD 6．（多选）定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C．，则 D． 【答案】BC 【分析】根据的运算法则，逐项化简求解，即可得出答案. 【详解】对于A项，， ，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，由已知可得，， 所以. 因为，所以或，所以，故C项正确； 对于D项，因为与相同或互补，所以. ，，故D项错误. 故选：BC. 7．已知平面向量，，与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的夹角公式求出，再由判断出，即可得到答案. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以. 所以，即，解得：. 而与反向时，，此时，即，解得：，不符合题意. 所以且. 故选：D 8．当时，称有序实数对为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题：①线段AB的中点的广义坐标为；②向量平行于向量的充要条件为；③向量垂直于向量的充要条件为；其中真命题是 ． 【答案】①② 【分析】对于①：设为中点，利用向量的中线公式直接求解；对于②：利用向量平行直接求解；对于③：利用向量垂直计算后判断. 【详解】由题意：,. 对于①：设为中点，所以. 所以线段的中点的广义坐标为.故①正确； 对于②：向量平行于向量，其中，故②正确； 对于③：向量垂直于向量. 而. 故③不一定成立. 故答案为：①②. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解广义坐标的定义，再结合中线定理和向量共线定理以及向量垂直的充要条件一一判断即可. 【题型5 不等式】 1．已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 1．B 【详解】由得，，结合在上单调递减， 则必有，显然B正确，A错误， 而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.故选：B 2．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．B 【详解】由知, 结合，以及换底公式可知， ， 当且仅当，， 即时等号成立， 即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B. 3．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．A 【详解】令，则，所以当时，，所以在上单调递减， 因为，，， 而，所以，即.故选：A. 4．设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 故选：C. 5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】易知，则 ， 当且仅当，即时取得等号. 故选：B 6．若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为x＋2y＋xy＝7， 所以， 所以． 因为，则 所以， 当且仅当，即x＝1，y＝2时，等号成立， 所以x＋y的最小值为3． 故选：D 7．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质判断A；作差法比较大小判断BD；幂函数的性质判断C. 【详解】解：对于A，由于，，故，A选项正确； 对于B，由于，，故，B选项正确； 对于C，时，由幂函数在上单调递增，故，C选项正确； 对于D，若，则， ，故，D选项错误. 故选：ABC 8．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D. 【详解】由题意得，， ，，则，则， 对A，根据对数函数在上单调递增，则，故A正确； 对B，因为，即，则，故B正确； 对C，因为，根据指数函数在上单调递减，则，故C错误； 对D，因为，， ， 当且仅当时等号成立，而显然，则，故D正确； 故选：ABD. 9．已知，则的最小值是______． 9． 【详解】， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值是. 故答案为：. 10．已知，则的最小值为___________． 10． 【详解】, 当且仅当，即时取等.故答案为：. 11．设，，，若，，则的最大值为__________． 11．3 【详解】因为，所以，. 又，， 所以，. 因为，，根据基本不等式有， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 则， 所以的最大值为. 故答案为：. 12．已知实数，，，则的最小值是________. 12． 【详解】由， 得， 又， 得， 则， ， 当且仅当时，即取等号. 故答案为：. 13．已知正数，满足，则当______时，的最大值为______. 13． 4 【详解】解：由得， 令，则，且， 又，当且仅当即时等号成立， ∴，即，化简得， ∴，或（舍去）， ∴， 故答案为：4；． 【题型6 实际应用】 1.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】D 【分析】由已知条件得出，，，代入等式，求出即可得出结论. 【详解】由题知，，，所以，，可得， 所以，，. 故选：D. 2.据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间t（分钟）（在植物学上t表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：（b为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为，则当该种玫瑰花新鲜程度为时，其凋零时间约为（参考数据：）（    ） A．3分钟 B．30分钟 C．33分钟 D．35分钟 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合待定系数法，求出的值，再将代入函数中，即可求解 【详解】由题意得，则，令，即，解得． 故选：C． 3.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案. 【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以． 再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为． 故选：A. 4. “开车不喝酒，喝酒不开车．”，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值随着时间x（小时）的变化规律，可以用函数模型来拟合，则该人喝一瓶啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（    ）（参考数据：，） 驾驶行为类别 酒精含量值（mg/100mL） 饮酒驾驶 醉酒驾驶 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】可结合分段函数建立不等式，利用指数不等式的求解即可. 【详解】对于 由，则，函数先增后减， 当时，， 所以，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量可能大于20， 则驾车只能在2个小时之后，令，即， 解得， ，的最小值为6，故至少经过6小时才可以驾车. 故选：B. 5. 1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，再利用二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【详解】依题意，角可视为某直角三角形的内角， 由锐角三角函数定义及已知得， 所以 . 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $$