2024年中考数学模拟卷（内蒙古通辽地区适用）

2024年中考数学模拟卷 一、选择题（每小题3分。共36分） 1．（3分）﹣5的绝对值是（　　） A． B．5 C．﹣5 D．﹣ 2．（3分）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．32° C．22° D．68° 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．5+＝5 B．（x2）3＝x5 C．＝﹣3 D．4x2•x＝4x3 4.（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8 5．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 6．（3分）在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为（　　） A．70（1+x2）＝90 B．70（1+x）2＝90 C．90（1﹣x2）＝70 D．90（1﹣x）2＝70 7．（3分）“乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为a，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设乌鸦衔来的石子个数为x，水位高度为y，假设石子的体积一样，下列图象中最符合故事情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a，b是常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）已知方程x2﹣3x+1＝0，求作一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数，则这个一元二次方程是（　　） A．x2+3x+1＝0 B．x2+3x﹣1＝0 C．x2﹣3x+1＝0 D．x2﹣3x﹣1＝0 10．（3分）下列命题：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（2）相等的圆心角所对的弦相等（3）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．（3分）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是15cm，当重物上升15cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为（　　）（π取3.14，结果精确到1°） A．115° B．60° C．57° D．29° 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置时，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 13．（3分）因式分解：x3﹣x＝　 　． 14．（3分）某中学初三、②班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，相片上共有　 　人. 15．（3分）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为 　 　m． 16．（3分）下列4个函数， ①y＝3x﹣1 ②y＝ ③y＝2x2 ④y＝2x（﹣1≤x＜1）， 其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 　 　． 三、解答题（69分） 18．（5分）计算； 19.（6分）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 20．（6分）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接BC，已知点C（2，0），BD＝3，S△BCD＝3． （1）求点B坐标及反比例函数解析式； （2）若AB所在直线的解析式为y2＝ax+b（a≠0），根据图象，请直接写出不等式的解集． 21．（10分）某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．参与数学游戏；E．挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 　 　名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；③扇形统计图中圆心角α＝　 　度； （2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名； （3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率． 22.（7分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡角为30°（即∠DAC＝30°）的坡面AD走了200米到达D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号） 23．（7分）（1）操作发现： 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系　 　； （2）问题解决： 如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC＝，直接写出DE的长． 24．（8分）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按60元/件销售，每星期可卖出300件．小强：我发现在售价60元/件的基础上调整价格，每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．小红：我发现在售价60元/件的基础上调整价格，每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件． （1）若设每件涨价x元，则每星期实际可卖出 　 　件，每星期售出商品的利润y1（元）与x的关系式为y1＝　 　，x的取值范围是 　 　； （2）若设每件降价a元，则每星期售出商品的利润y2（元）与a的关系式为y2＝　 　； （3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 25．（8分）如图所示，在△ABC中，经过A、B两点的⊙O交BC于点E，圆心O在BC上过点OD⊥BC交⊙O于点D，连接AD交BC于点E．若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）若CF＝，CE＝1．求OF的长； 26．（12分）已知，在以点O为原点的平面直角坐标系中，抛物线的原点的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3）与x轴分别交于C、D两点． （1）求直线OB及抛物线的解析式； （2）如图1点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值； （3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴．点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD分别与AE交于F、G两点．当P点运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值．若不是．请说明理由． 2024年中考数学模拟卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分。共42分） 1．（3分）﹣5的绝对值是（　　） A． B．5 C．﹣5 D．﹣ 【分析】利用绝对值的定义求解即可． 【解答】解：﹣5的绝对值是5， 故选：B． 2．（3分）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．32° C．22° D．68° 【分析】由平行线的性质得到∠3＝∠1＝68°，由平角定义即可求出∠2的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠3＝∠1＝68°， ∵∠2+∠4+3＝180°，∠4＝90°， ∴∠2＝180°﹣90°﹣68°＝22°． 故选：C． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．5+＝5 B．（x2）3＝x5 C．＝﹣3 D．4x2•x＝4x3 【分析】根据二次根式的加减法，幂的乘方与积的乘方和单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解答】解：A、5，故选项A不符合题意； B、（x2）3＝x6，故选项B不符合题意； C、＝3，故选项C不符合题意； D、4x2•x＝4x3，故选项D符合题意； 故选：D． 4．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为7×10﹣9． 故选：A． 5．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3 【分析】直接利用二次根式的定义得出x的取值范围． 【解答】解：式子在实数范围内有意义， 则x﹣3＞0， 解得：x＞3． 故选：C． 6．（3分）在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为（　　） A．70（1+x2）＝90 B．70（1+x）2＝90 C．90（1﹣x2）＝70 D．90（1﹣x）2＝70 【分析】利用2023年下学期平均每天书面作业时长＝2022年下学期平均每天书面作业时长×（1﹣该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：90（1﹣x）2＝70． 故选：D． 7．（3分）“乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为a，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设乌鸦衔来的石子个数为x，水位高度为y，假设石子的体积一样，下列图象中最符合故事情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【解答】解：∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 8．（3分）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a，b是常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由一次函数y＝ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+1的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A．由一次函数的图象可知a＜0，由抛物线图象可知，开口向下，a＜0，但是一次函数与y轴的交点和二次函数与y轴的交点，不是同一点（0，1），故A选项错误； B．由一次函数的图象可知a＞0，由抛物线图象可知，开口向下，a＜0，两者相矛盾，故B选项不正确，不符合题意； C．由一次函数的图象可知a＞0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0，且两函数相交y轴于同一点（0，1），故C选项正确，符合题意； D．由一次函数的图象可知a＜0，由抛物线图象可知，开口向上，a＞0两者相矛盾，故D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 9．（3分）已知方程x2﹣3x+1＝0，求作一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数，则这个一元二次方程是（　　） A．x2+3x+1＝0 B．x2+3x﹣1＝0 C．x2﹣3x+1＝0 D．x2﹣3x﹣1＝0 【分析】设方程x2﹣3x+1＝0两个为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1•x2＝1，再分别计算+和•，然后根据根与系数的关系写出以和为两根的一元二次方程． 【解答】解：设方程x2﹣3x+1＝0两个为x1，x2， 根据题意得x1+x2＝3，x1•x2＝1， 所以+＝＝3，•＝1， 所以以和为两根的一元二次方程为x2﹣3x+1＝0． 故选：C． 10．（3分）下列命题：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（2）相等的圆心角所对的弦相等（3）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】利用平行公理、正方形的判定方法、相似三角形的性质、弦与圆心角的关系判定即可． 【解答】解：一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的81倍，故（1）是假命题； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故（2）是假命题； 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故（3）是假命题； 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故（4）是真命题；共有1个真命题， 故选：D． 11．（3分）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是15cm，当重物上升15cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为（　　）（π取3.14，结果精确到1°） A．115° B．60° C．57° D．29° 【分析】重物上升15cm，说明点A转过的路径长为15cm，然后根据弧长公式l＝得到n的方程，解方程即可． 【解答】解：根据题意得，15＝， 解得，n＝≈57°， 所以OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为57°． 故选：C． 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置时，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】根据题意，判断出Rt△ABC斜边BC的长度，根据勾股定理算出AC的长度，且AB1＝AB＝BC＝1，所以△ABB1为等边三角形，可得旋转角为60°，同理，∠CAC1＝60°，故△ACC1也是等边三角形，CC1的长度即为AC的长度． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，将其进行顺时针旋转，B1落在BC的中点处， ∴Rt△AB1C1是由Rt△ABC旋转得到， ∴AB1＝AB＝1， ∵∠BAC＝90°，点B1恰好落在边BC的中点处， ∴BC＝2AB1＝2， 根据勾股定理：， ∵AB1＝AB＝1，且， ∴△ABB1为等边三角形， ∴旋转角∠BAB1＝60°， ∴∠CAC1＝60°，且， ∴△ACC1也是等边三角形， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．（3分）因式分解：x3﹣x＝　x（x+1）（x﹣1）　． 【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）， 故答案为：x（x+1）（x﹣1） 14．（3分）红星中学初三、②班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，相片上共有　12　人 【分析】设相片上共有x人，则相片上共有（x﹣1）名学生，利用总价＝一张彩色底片的费用+扩印一张相片的费用×相片上的人数，结合每个学生交0.6元刚好，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设相片上共有x人，则相片上共有（x﹣1）名学生， 根据题意得：0.6+0.5x＝0.6（x﹣1）， 解得：x＝12， ∴相片上共有12人． 故答案为：12 15．（3分）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为 　　m． 【分析】因为M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理，EM⊥CD，则CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC． 【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点， 根据垂径定理：EM⊥CD， 又CD＝4则有：CM＝CD＝2m， 设圆的半径是x米， 在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2， 即：x2＝22+（6﹣x）2， 解得：x＝， 所以圆的半径长是m． 故答案为：． 16．（3分）下列4个函数，其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有　1 　个. ①y＝3x﹣1 ②y＝ ③y＝2x2 ④y＝2x（﹣1≤x＜1）， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【解答】解：①y＝3x﹣1的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点，故①不符合题意； ②y＝的图象是中心对称图形，且对称中心在原点，故②符合题意； ③y＝2x2的图象不是中心对称图形，故③不符合题意； ④y＝2x（﹣1≤x＜1）的图象不是关于原点对称的中心对称图形，故④不符合题意． 其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有1个． 故答案为：1. 17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是 　80　． 【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解． 【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N， ∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4， ∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°， ∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°， ∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN， ∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS）， ∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4， ∴DM＝NF， ∴△DMI≌△FNI（AAS）， ∴DI＝FI，MI＝NI， ∵∠DCF＝90°， ∴DI＝FI＝CI＝5， 在Rt△DMI中，由勾股定理可得： MI＝＝＝3， ∴NI＝MI＝3， ∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2， ∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10， ∵四边形ABHL为正方形， ∴AL＝AB＝10， ∵四边形AJKL为矩形， ∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80， 故答案为：80． 三、解答题（69分） 18．（5分）计算； 【分析】根据算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值分别计算即可； 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝； 19.为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m，根据矩形ABCD的面积为72m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）矩形ABCD的面积不能为80m2，假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m，根据矩形ABCD的面积为80m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣60＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2． 【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m， 根据题意得：x（28+2﹣3x）＝72， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， 当x＝4时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去； 当x＝6时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×6＝12＜15，符合题意． 答：AB的长为6m； （2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下： 假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m， 根据题意得：y（28+2﹣3y）＝80， 整理得：3y2﹣30y+80＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2． 19．（8分）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接BC，已知点C（2，0），BD＝3，S△BCD＝3． （1）求点B坐标及反比例函数解析式； （2）若AB所在直线的解析式为y2＝ax+b（a≠0），根据图象，请直接写出不等式的解集． 【分析】（1）根据点C（2，0），BD＝3，可表示出点A，B的坐标，根据S△BCD＝3可算出CD的长，由此即可求解； （2）根据（1）可求出点A，B的坐标，根据图象即可求解． 【解答】解：（1）点A，B是反比例函数图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，点C（2，0）， ∴点， ∵BD＝3， ∴， 即点， ∵， ∴CD＝2， 即， 解得，k＝12， ∴反比例函数解析式为， ∴A（2，6），B（4，3）， ∴点B的坐标为（4，3），反比例函数解析式为； （2）已知点A（2，6），B（4，3）， ∴由图象可知，当0＜x≤2时，， 即； 当x≥4时，， 即； 综上所述，当0＜x≤2时或当x≥4时，． 20．（10分）某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．参与数学游戏；E．挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 　400　名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；③扇形统计图中圆心角α＝　54　度； （2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名； （3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率． 【分析】（1）①根据B讲述数学故事的名数是100名，所占的比例是25%，据此即可求得此次调查的学生人数；②用总人数乘以A项所占百分比即可得阅读数学名著的人数，再用总人数减去A、B、D、E的人数即可得C的人数，从而画出条形统计图；③将360°乘以C所占百分比即可得解； （2）利用总人数1100乘以对应的百分比即可求得； （3）根据题意画出树状图即可得解． 【解答】解：（1）①100÷25%＝400（名）， 故答案为400； ②A阅读数学名著400×15%＝60（名）， ∴C制作数学模型400﹣60﹣100﹣140﹣40＝60（名）， 补全统计图如下： ③， 故答案为：54； （2）D项目的学生：（名）； （3） 男1 男2 男3 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2） 男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种， ∴． 21.（8分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡角为30°（即∠DAC＝30°）的坡面AD走了200米到达D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号） 【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题． 【解答】解：作DF⊥AC于F． ∵∠DAC＝30°，AD＝200米， ∴（米）， ∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴EC＝DF＝100（米）， ∵∠BAC＝45°，BC⊥AC， ∴∠ABC＝45°， ∵∠BDE＝60°，DE⊥BC， ∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°， ∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝45°﹣30°＝15°， ∴∠ABD＝∠BAD， ∴AD＝BD＝200（米）， 在Rt△BDE中， ， ∴BE＝BD•sin∠BDE＝200×＝（米）， ∴（米）． 22.（8分）（1）操作发现： 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系　AB＝AC+CD　； （2）问题解决： 如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论； （3）类比探究： 如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC＝，直接写出DE的长． 【分析】（1）如图①，设CD＝t，由∠C＝2∠B＝90°易得△ABC为等腰直角三角形，则AC＝BC，AB＝AC，再根据折叠的性质得DC＝DE，∠AED＝∠C＝90°，又可判断△BDE为等腰直角三角形，所以BD＝DE，则BD＝t，AC＝BC＝t+t＝（+1）t，AB＝•（+1）t＝（2+）t，从而得到AB＝AC+CD； （2）如图②，根据折叠的性质得DC＝DE，∠AED＝∠C，AE＝AC，而∠C＝2∠B，则∠AED＝2∠B，根据三角形外角性质得∠AED＝∠B+∠BDE，所以∠B＝∠BDE，则EB＝ED，所以ED＝CD，于是得到AB＝AE+BE＝AC+CD； （3）作BH⊥AC于H，如图③，设DE＝x，利用（1）的结论得AC＝（2+）x，根据等腰三角形的性质由BA＝BC，∠CBA＝120°得到∠BCA＝∠BAC＝30°，且CH＝AH＝AC＝x，在Rt△BCH中，利用含30°角的直角三角形的性质得BH＝+1，再利用勾股定理解方程求出x即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝2∠B＝90°， ∴∠B＝45°，∠BAC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝BC， 由翻折的性质可知AC＝AE，CD＝CE，∠AED＝∠C＝90°， ∴∠BED＝90°， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴BE＝DE＝CD． ∴AB＝AE+BE＝AC+CD． 故答案为：AB＝AC+CD； （2）AB＝AC+CD．理由如下：如图②， ∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处， ∴DC＝DE，∠AED＝∠C，AE＝AC， ∵∠C＝2∠B， ∴∠AED＝2∠B， 而∠AED＝∠B+∠BDE， ∴∠B＝∠BDE， ∴EB＝ED， ∴ED＝CD， ∴AB＝AE+BE＝AC+CD； （3）作BH⊥AC于H，如图③， 设DE＝x，由（1）的结论得AC＝（2+）x， ∵BA＝BC，∠CBA＝120°， ∴∠BCA＝∠BAC＝30°， ∵BH⊥AC， ∴CH＝AH＝AC＝x， 在Rt△BCH中，∠BCH＝30° ∴BH＝BC＝＝+1， ∵BH2+CH2＝BC2 ∴（+1）2+（x）2＝（2+2）2， 解得x＝或﹣（舍去）， 即DE的长为． 23．（8分）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按60元/件销售，每星期可卖出300件．小强：我发现在售价60元/件的基础上调整价格，每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．小红：我发现在售价60元/件的基础上调整价格，每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件． （1）若设每件涨价x元，则每星期实际可卖出 　（300﹣10x）　件，每星期售出商品的利润y1（元）与x的关系式为y1＝　　，x的取值范围是 　0≤x≤30，且x为整数　； （2）若设每件降价a元，则每星期售出商品的利润y2（元）与a的关系式为y2＝　y2＝﹣20a2+100a+6000　； （3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件，由此即可求解； （2）根据每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件，由此即可求解； （3）根据（1）中数量关系，将变形为顶点式，即可求解． 【解答】解：（1）进价为40元/件，按60元/件销售，每星期可卖出300件，每涨价1元，每星期比销售量300件要少卖出10件，设每件涨价x（x≥0）元， ∴现在每件的销售价格为：（60+x）元，销售量为：（300﹣10x）件，每件的利润为60+x﹣40＝x+20元， ∴，即， ∵300﹣10x≥0，则x≤30， ∴0≤x≤30，且x为整数， 故答案为：（300﹣10x），，0≤x≤30，且x为整数． （2）进价为40元/件，按60元/件销售，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期比销售量300件要多卖出20件，设每件降价0≤a元， ∴现在销售价为：（60﹣a），销售量为：（300+20a）件，每件的利润为：60﹣a﹣40＝20﹣a元， ∴y2＝（20﹣a）（300+20a）即y2＝﹣20a2+100a+6000， 故答案为：y2＝﹣20a2+100a+6000． （3）由（1）可知，，0≤x＜30（x为整数）， ∴， ∴当x＝5时，商品的利润最大，最大利润y1＝6250， ∴商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元． 24．（8分）如图所示，在△ABC中，经过A、B两点的⊙O交BC于点E，圆心O在BC上过点OD⊥BC交⊙O于点D，连接AD交BC于点E．若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）若CF＝，CE＝1．求OF的长； 【分析】由AO＝DO知∠D＝∠OAD、由CF＝CA知∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，根据∠D+∠OFD＝90°可得∠CAF+∠OAF＝90°，据此由切线判定即可得； （2）①设OA＝OE＝x，在Rt△OAC中根据勾股定理可得x＝1，继而由EF＝CF−EF＝−1，根据OF＝OE−EF可得答案； 【解答】解：（1）连接OA， ∵AO＝DO， ∴∠D＝∠OAD， ∵CF＝CA， ∴∠CAF＝∠CFA， ∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD， ∵∠D+∠OFD＝90°， ∴∠CAF+∠OAF＝90°，即∠CAO＝90°， ∴OA⊥CA， 又∵OA是半径， ∴CA是⊙O的切线； （2）①设OA＝OE＝x， ∵CF＝， ∴CA＝， 在Rt△CAO中，由OA2+AC2＝OC2可得（）2+x2＝（x+1）2， 解得：x＝1， ∴OF＝OE−EF＝1−（−1）＝2−； 25．（12分）已知，在以点O为原点的平面直角坐标系中，抛物线的原点的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3）与x轴分别交于C、D两点． （1）求直线OB及抛物线的解析式； （2）如图1点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值； （3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴．点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD分别与AE交于F、G两点．当P点运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值．若不是．请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为（t﹣s），由MN∥x轴，得：t2+2t﹣3＝（t﹣s），则s＝﹣（t+）2+，即可求解； （3）证明△CEF∽△CQP，得到EF＝＝（﹣t2﹣2t+3），同理可得：EG＝＝（﹣t2﹣2t+3），即可求解． 【解答】解：（1）根据抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣4， ∵抛物线经过点B（﹣2，﹣3）， ∴a（﹣2+1）2﹣4＝﹣3， 解得a＝1， 则y＝x2+2x﹣3； 设直线OB的解析式为y＝kx，过点B（﹣2，﹣3），则﹣2k＝﹣3， 解得：k＝， 那么直线OB的解析式为y＝x； （2）设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s， 则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为（t﹣s）， 由MN∥x轴，得：t2+2t﹣3＝（t﹣s）， 则s＝﹣（t+）2+≤， 当t＝﹣时，MN有最大值，最大值为； （3）EF+EG为定值．理由如下， 如图，过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q， 在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0解得x＝﹣3或x＝1， 故C（﹣3，0），D（1，0）， 设P（t，t2+2t﹣3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t， ∵PQ∥EF， ∴△CEF∽△CQP， ∴， ∴EF＝＝（﹣t2﹣2t+3）， 同理，△EGD∽△QPD， ∴， ∴EG＝＝（﹣t2﹣2t+3）， ∴EG+EF＝（﹣t2﹣2t+3）+（﹣t2﹣2t+3）＝8， 故EF+EG是定值，且为8． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/29 18:55:56；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$